考研高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義全

1、第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§7.1 二重積分 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題 口訣（40）：多重積分的計(jì)算，累次積分最關(guān)鍵。 模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù) 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域如果既不符合模型I中關(guān)于的要求，又不符合模型II中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每

2、個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。 在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)再把二重積分化為另外一種順序的累次積分?？谠E（41）：交換積分的順序，先要化為重積分。 二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分 在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對(duì)進(jìn)行積分，然后再對(duì)進(jìn)行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型I 設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 模型II 設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)， 在上連續(xù)。 則 （乙）典型例題 一、二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算，其中

3、由，和軸所圍區(qū)域 解：如果 那么先對(duì)求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。 這時(shí)先對(duì)積分，當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。 原式 例2計(jì)算 解：原式 = = 例3求 解一： （對(duì)稱性） 解二：由積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)的奇偶性可知 原式= = = 二、交換積分的順序 例1交換的積分順序 解：原式= 其中D由和以及所圍的區(qū)域 由 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對(duì)三塊小區(qū)域得 原式= 例2設(shè)連續(xù)，證明 證明：交換積分次序 令，則， 例3計(jì)算解： 三、二重積分在幾何上的應(yīng)用 1求空間物體的體積（數(shù)學(xué)一） 例1求兩個(gè)底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積 解：設(shè)兩正交圓柱面的方程為和，它們所圍立體在第

4、一卦限中的那部分體積 其中為， 因此 而整個(gè)立體體積由對(duì)稱性可知 例2求球面和圓柱面 所圍（包含原點(diǎn)那一部分）的體積 解： 其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算 2求曲面的面積（數(shù)學(xué)一）§7.2 三重積分（數(shù)學(xué)一） （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、三重積分的計(jì)算方法 1直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分 （1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域 其中是平面上的有界閉區(qū)域，在上連續(xù)函數(shù)在上連續(xù)，則 （2）設(shè) 其中為豎坐標(biāo)為的平面上的有界閉區(qū)域，則 2柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 相當(dāng)于把化為極坐標(biāo)而保持不變 3球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 （乙）典型例題 一、有關(guān)三重積分的計(jì)算 例1計(jì)算，其中由曲面，所圍的區(qū)域

5、 解： 例2計(jì)算，其中由曲面所圍的區(qū)域 解：令，（廣義球坐標(biāo)） 則 例3計(jì)算，其中由曲面所圍的區(qū)域 解：用球坐標(biāo)（的球坐標(biāo)方程化簡為） 例4計(jì)算，其中由曲面，所圍的區(qū)域 解： 二、在物理上的應(yīng)用 例1求橢圓錐面和平面圍成物體的重心（設(shè)密度均勻恒為1） 解：設(shè)重心坐標(biāo)物體所占空間區(qū)域?yàn)?由對(duì)稱性可知， 由錐體體積公式可知 令， 而 因此，重心坐標(biāo)， 例2設(shè)有一半徑為的球體，是球表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到的距離平方成正比（比例系數(shù)），求球體重心的位置 解一：設(shè)球面方程為，為，球體的重心坐標(biāo)為由對(duì)稱性可知， 由區(qū)域的對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性，則有 于是 因此，重心坐標(biāo)為 解二：設(shè)球面坐

6、標(biāo)，重心坐標(biāo) 由對(duì)稱性可知， 于是，重心坐標(biāo)§7.3 曲線積分（數(shù)學(xué)一） （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、第一類 曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分） 參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程， 則 （假設(shè)和，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進(jìn)行計(jì)算 二、第二類 曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分） 參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，皆連續(xù)，又，也都連續(xù)，則 這樣把曲線積分化為定積分來計(jì)算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個(gè)負(fù)號(hào)，而第一類曲線積分的值

7、與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。 三、兩類曲線積分之間的關(guān)系 空間情形：設(shè)為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)，則 其中，為曲線孤上上點(diǎn)處沿定向到方向的切線的方向余弦。 四、格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個(gè)十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 定理1（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所圍的單連通區(qū)域，當(dāng)沿正定向移動(dòng)時(shí)區(qū)域在的左邊，函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 五、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的幾個(gè)等價(jià)條件 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾個(gè)條件彼此等價(jià) 1任意曲線在內(nèi)與路徑無關(guān) 2內(nèi)任意逐段光滑閉曲線，都有

8、3成立 4內(nèi)處處有 （乙）典型例題 一、用參數(shù)公式直接計(jì)算 例計(jì)算曲線積分 其中是曲線，從軸正向往負(fù)向看的方向是順時(shí)針方向。 解：曲線是圓柱面和平面的交線，是一個(gè)橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡單可取，根據(jù)題意規(guī)定的定向，則從變到，于是 二、用格林公式等性質(zhì)來計(jì)算曲線積分 例1求，其中，為正的常數(shù)，為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧 解一：用格林公式，但不是封閉曲線，故補(bǔ)上一段，它為從沿到的有向直線。這樣構(gòu)成封閉曲線，為逆時(shí)針方向 于是 ， 令 ，根據(jù)格林公式 這里為由和圍成的上半圓區(qū)域。 另外，在上，故 于是 解二：我們把所給曲線積分拆成兩項(xiàng) 在中，由于，故積分與路徑無關(guān) 又看出 因此 而在中，

9、取的參數(shù)方程，從0到 于是 因此， 例2計(jì)算曲線積分，其中是以為圓心，為半徑的圓周，取逆時(shí)針方向。 解：令， 當(dāng)時(shí)，成立 因此，不能在的內(nèi)部區(qū)域用格林公式 設(shè)法用曲線在的內(nèi)部又包含原點(diǎn)在的內(nèi)部，這樣在與圍成的二連通區(qū)域內(nèi)可以用格林公式 今取曲線： 從到0為順時(shí)針方向 令與圍成區(qū)域?yàn)椋ǘB通區(qū)域） 根據(jù)格林公式 （逆時(shí)針） （順時(shí)針） 于是 （順時(shí)針） （逆時(shí)針） 用的參數(shù)公式代入后，得 注：這里取為上述橢圓周，最后計(jì)算最簡單，如果取為，的圓周，那么最后的積分就比較復(fù)雜 例3設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。 （I）證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光

10、滑簡單閉曲線，有 ； （II）求函數(shù)的表達(dá)式。 （I）證如圖， 設(shè)是半平面內(nèi)的任一分段光滑簡單閉曲線，在上任意取定兩點(diǎn)，作圍繞原點(diǎn)的閉曲線，同時(shí)得到另一圍繞原點(diǎn)的閉曲線。 根據(jù)題設(shè)可知 根據(jù)第二類曲線積分得性質(zhì)，利用上式可得 （II）解：設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 由（I）知，曲線積分在該區(qū)域與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有。 ， ， 比較、兩式的右端，得 由得 ，將代入得 ， 所以，從而 三、應(yīng)用 例在變力的作用下一質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線到橢球面上第一卦限的點(diǎn)問取何值時(shí)，作功最大，并求。 解：設(shè)線段的參數(shù)方程，則在上作功 用拉格朗日乘子法求條件極值。構(gòu)造函數(shù) （1） （2） （3） （4） 得

11、 （5） 由（1）得代入（5）得，則， 同理得， 故原點(diǎn)到作功最大，最大功為§7.4 曲面積分 （數(shù)學(xué)一） （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、第一類曲面積分（對(duì)面積的曲面積分） 基本計(jì)算公式 設(shè)曲面的方程， 在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則 這樣把第一類曲面積分化為二重積分進(jìn)行計(jì)算 二、第二類曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分） 基本計(jì)算公式 如果曲面的方程， 在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 若曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)，這樣把這部分曲面積分化為平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。 三、兩類曲面積分之間的關(guān)系 其中 為曲面在點(diǎn)處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個(gè)方向余弦 令， 四、高斯公

12、式 定理 設(shè)是由分塊光滑曲面圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 其中為在點(diǎn)處的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式 定理：設(shè)是逐段光滑有向閉曲線，是以為邊界的分塊光滑有向曲面，的正向與的側(cè)（取法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 也可用第一類曲面積分 六、梯度、散度和旋度 1梯度 設(shè)，則 稱為的梯度，令是算子 則 2散度 設(shè) 則 稱為的散度 高斯公式可寫成 （外側(cè)） 其中為外側(cè)單位法向量 3、旋度 設(shè) 稱為的旋度。 斯托克斯公式可寫成 其中， （乙）典型例題 一、用基本公式直接計(jì)算曲面積分 例1設(shè)為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切平面，

13、為原點(diǎn)到的距離，求 解： 先求出，設(shè)為上任一點(diǎn)，則的方程為 即 由的方程，于是 這樣 區(qū)域 所以 原式 二、用高斯公式計(jì)算曲面積分 例1計(jì)算（常數(shù)） 其中上側(cè)（） 解： 令曲面下側(cè) 于是為閉下半球面的內(nèi)側(cè) 設(shè)其內(nèi)部區(qū)域?yàn)?，令為平面上圓域 則 例2計(jì)算其中是不通過點(diǎn)的球面的外側(cè) 解： 設(shè)通過計(jì)算可知 （1）當(dāng)?shù)膬?nèi)部不包含點(diǎn)時(shí)，根據(jù)高斯公式可知 （2）當(dāng)?shù)膬?nèi)部包含點(diǎn)時(shí)，作曲面 內(nèi)側(cè) 選充分大，使在的內(nèi)部，于是和是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn)在 根據(jù)高斯公式（二連通區(qū)域） 于是 在（外側(cè)）上，故積分可以化簡 令是以（外側(cè)）為邊界的空間區(qū)域再用高斯公式 例3設(shè)對(duì)內(nèi)任意光滑有向閉曲面都有 其中在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求 解： 設(shè)為由曲面包圍的空間區(qū)域，由題設(shè)和高斯公式得 由于的任意性，可知時(shí) 即微分方程： 得出通解 由 則 得， 則 三、用斯托克斯公式 例1設(shè)，曲面為的上半部，求 解：根據(jù)斯托克斯公式，其中為的邊界曲線 （逆時(shí)針方向） 取的參數(shù)方程，由到 則 例2計(jì)算，其中是平面與柱面的交線，從軸正線看去，為逆時(shí)針方向。 解：記為平面上所圍成部分的上側(cè)，為在坐標(biāo)平面上的投影，由斯托克斯公式得 四、曲面積分的應(yīng)用 例設(shè)有一高度為（為時(shí)間）的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程（設(shè)長度單位為厘米，