羅爾定理論文

1、淺談羅爾定理及拉格朗日定理推廣及應(yīng)用摘 要：微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ).本文在羅爾定理及拉格朗日定理原有描述的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了推廣，使其定理的適用范圍更加廣泛；同時(shí)，對(duì)羅爾定理在討論方程根的存在性問(wèn)題中的應(yīng)用及拉格朗日定理在證明不等式和求極限問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行了討論，證實(shí)所得推廣定理的有效性及實(shí)用性.關(guān)鍵詞：羅爾定理；拉格朗日中值定理；極限；導(dǎo)數(shù)一、羅爾定理推廣及應(yīng)用（一）羅爾定理推廣1.羅爾定理描述若函數(shù)滿足下列條件：在閉區(qū)間連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.2.羅爾定理的推廣2.1羅爾定理推廣1 設(shè)為有限或無(wú)限區(qū)間，在內(nèi)可微，且（A可為有限也可為），則至少存在一點(diǎn)，使. 證

2、明：(1)設(shè)為有限區(qū)間.若A是有限值，令容易驗(yàn)證在上滿足羅爾定理的條件，故，使.(2)若A為， 為有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間，由在內(nèi)的連續(xù)性知，當(dāng)充分大時(shí)，直線與曲線至少有兩個(gè)焦點(diǎn)與，即且.不妨設(shè)，對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理，使得；(3)若A為有限值，為無(wú)限區(qū)間.做變量替換，即選擇函數(shù)，滿足如下要求：，（這里是有限區(qū)間），存在且不變號(hào).然后對(duì)符合函數(shù)在應(yīng)用(1) 的結(jié)果.1)當(dāng)，即.做變換，令，則在上滿足(1)式的全部條件.故，使，而， ，于是取，就是；2)若當(dāng)有限，即，作變換，（其中為正數(shù)）令，則在上滿足(1)式的全部條件.故，使，而，于是取，就有.3)當(dāng)，為有限，即，做變換 ，其中為負(fù)數(shù)，同理可得，取，就

3、有.2.2 羅爾定理推廣2 任意個(gè)函數(shù)的微分中值定理 設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間可微；，則，使得 (1)證明：根據(jù)題設(shè)，函數(shù),在閉區(qū)間連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間可微； ,即，所以由羅爾定理知道，使得. 2.3羅爾定理推廣3設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則，使得.證明：設(shè).由行列式性質(zhì)知，則由于滿足羅爾定理，則，使得，則問(wèn)題得證.（二） 羅爾定理的應(yīng)用1.在討論方程根的存在性問(wèn)題時(shí)，可以應(yīng)用羅爾定理.羅爾定理的條件很寬松，給一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，只需函數(shù)在這個(gè)區(qū)間連續(xù)，可導(dǎo)（并不要求區(qū)間端點(diǎn)可導(dǎo)），在要求滿足條件.因此，可以應(yīng)用羅爾中值定理解決一些復(fù)雜的代數(shù)方程的判根問(wèn)題.其步驟一般是：分析命題條件構(gòu)造輔助函數(shù)

4、驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件應(yīng)用羅爾定理命題結(jié)論.例1：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)，方程至少存在一個(gè)根.證明：令，顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且，根據(jù)羅爾定理，至少存在一個(gè)，使得，則有，故在內(nèi)，方程.至少存在一個(gè)根.2.羅爾定理的推廣也有廣泛的應(yīng)用.在證明不等式時(shí)，首先我們可以根據(jù)不等式倆邊的代數(shù)式選取不同的；其次，驗(yàn)證是否滿足羅爾定理推廣中的某種形式的條件；最后，應(yīng)用定理進(jìn)行解題，下面通過(guò)舉例說(shuō)明其應(yīng)用.例2：設(shè)在內(nèi)可微，且滿足不等式， ,證明存在一點(diǎn)，使得，證明:由已知不等式知 ，.令，則，則由推廣的羅爾定理，使得，即.二、拉格朗日中值定理推廣及應(yīng)用（一）拉格朗日中值定理推廣1.拉格朗日中

5、值定理描述若函數(shù)滿足下列條件：在閉區(qū)間連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo).則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.2.拉格朗日中值定理推廣2.1 推廣1在上述羅爾定理推廣三中若令，并代入上式即得拉格朗日中值定理.則就有下面推廣：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少，使，容易得到.2.2 推廣2 拉格朗日推廣到更一般的形式如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于任意給定的一組實(shí)數(shù)，且，必存在，使得，其中，特別地，當(dāng)，上式可寫(xiě).證明：令.顯示在上均滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理即可得證結(jié)論成立.2.3 推廣3 對(duì)于拉格朗日定理，若把條件減弱的話，定理應(yīng)用將更加廣泛.命題 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)除了有限個(gè)點(diǎn)外可微，則存在使

6、得.證明：不妨設(shè)在僅在不可微，分別在應(yīng)用拉格朗日定理中值定理，則得到， ， .令，使得.2.4 推廣4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若在內(nèi)除了n個(gè)點(diǎn)處可微，則存在個(gè)點(diǎn)，及個(gè)正數(shù)使得且.證明：不妨設(shè)在僅在不可微，則由上述推廣3得， ， ，取使則且.這個(gè)證明方法可以推廣到在n個(gè)點(diǎn)上不可微得情形，可以的以上的推論.2.5 推廣5 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，則存在及，使得.證明：（1）先證明若在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使得.事實(shí)上，由在連續(xù)，得使得又，故必在區(qū)間內(nèi)取得至少一個(gè)最值，不防設(shè)最值點(diǎn)為，或，.（2）作輔助函數(shù)，則由在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)知

7、在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在左，右導(dǎo)數(shù)，且有因?yàn)?，故由上面的結(jié)論使得.不妨設(shè)則，即，又在上連續(xù)函數(shù).且，有介值定理，使得，即，又，則.(二) 拉格朗日中值定理應(yīng)用1.利用拉格朗日定理證明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得等式成立，但對(duì)的確切位置未作任何斷定，這并不影響定理在做理論探討和解決具體問(wèn)題中所起的作業(yè). 利用拉格朗日中值定理證明不等式，關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和對(duì)應(yīng)的區(qū)間，使它滿足拉格朗日中值定理，使得，在用不等式的性質(zhì)可證明數(shù)學(xué)不等式.具體步驟如下：第一步，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和對(duì)應(yīng)的區(qū)間；第二步，對(duì)所取的函數(shù)和對(duì)應(yīng)的區(qū)間，寫(xiě)出拉格朗日中值公式，第三步，確定導(dǎo)函數(shù)在所討論的區(qū)

8、間上的單調(diào)性；第四步，分別，確定在區(qū)間端點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，由的單調(diào)性得出的范圍：， （當(dāng)單調(diào)增加時(shí)）， （當(dāng)單調(diào)減少時(shí)）由 ，這個(gè)等式就得到數(shù)學(xué)不等式；若當(dāng)單調(diào)增加時(shí)則有，或有.等,以下舉例說(shuō)明.例3 當(dāng)時(shí)，則有證明：設(shè)， ，并滿足中值定理?xiàng)l件，且有 ， ，所以在是單調(diào)遞增的.故當(dāng)時(shí)，則有.2.拉格朗日定理在為求極限提供一種簡(jiǎn)單而有效的方法對(duì)于有些求極限的題，如果使用羅比達(dá)法則，則求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算量很大.微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡(jiǎn)單而有效地方法.其方法是對(duì)極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù)，使用微分中值定理，然后求出極限.例4 求，其中.解：對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理，有，其中.參考文獻(xiàn)：1 數(shù)學(xué)分析（上）（第三版）M. 北京：高等教育出版社. 2001 2 劉玉璉 傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上）（第