菲涅耳公式 折反射定律

1、Chapter 1 理論基礎(chǔ)1.1 介質(zhì)中的Maxwells equations及物質(zhì)方程微分形式 （1-1）傳導(dǎo)電流密度的單位為安培/米2(A/m2)，自由電荷密度的單位為庫侖/米2(C/m2)。同時(shí)有電磁場對材料介質(zhì)作用的關(guān)系式，即物質(zhì)方程（或稱本構(gòu)方程） （1-2）麥克斯韋方程組及物質(zhì)方程描寫了整個(gè)電磁場空間及全時(shí)間過程中電磁場的分布及變化情況。因此，所有關(guān)于電磁波的產(chǎn)生及傳播問題，均可歸結(jié)到在給定的初始條件和邊界條件下求解麥克斯韋方程組的問題，這也正是用以解決光波在各種介質(zhì)、各種邊界條件下傳播問題的關(guān)鍵及核心。1.2 積分形式及邊界條件由于兩介質(zhì)分界面上在某些情況下場矢量、發(fā)生躍變，因

2、此這些量的導(dǎo)數(shù)往往不連續(xù)。這時(shí)不能在界面上直接應(yīng)用微分形式的Maxwells equations，而必須由其積分形式出發(fā)導(dǎo)出界面上的邊界條件。積分形式 （1-3） 得邊界條件為 （1-4） 式（1-4）的具體解釋依次如下（具體過程詳見光學(xué)電磁理論P(yáng)20）：（1）電場強(qiáng)度矢量的切向分量連續(xù)，為界面的法向分量。（2）為界面上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流的線密度。當(dāng)界面上無傳導(dǎo)電流時(shí)，=0，此時(shí)的切向分量連續(xù)。比如在絕緣介質(zhì)表面無自由電荷和傳導(dǎo)電流。（3）為界面上的自由電荷面密度。（4）磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量在界面上連續(xù)。Chapter 2 電磁波在分層介質(zhì)中的傳播2.1 反射定律和折射定律光由一種介質(zhì)入射到另一

3、種介質(zhì)時(shí)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射?，F(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入社、反射和折射光均為平面光波，其電場表達(dá)式為入射波反射波折射波界面兩側(cè)的總電場為：由電場的邊界條件，有欲使上式對任意的時(shí)間t和界面上均成立，則必然有： （1-5） （1-6）可見，時(shí)間頻率是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會(huì)因折射或反射而變化。 （1-7）由于可以在界面內(nèi)選取不同方向，上式實(shí)際上意味著矢量和 均與界面的法線平行，由此可以推知，、與共面，該平面稱為入射面。由此可得出結(jié)論：反射波和折射波均在入射面內(nèi)。上式是矢量形式的折、反射定律。將上式寫成標(biāo)量形式，并約掉共同的位置量

4、，可得 （1-8）又由于，得 （1-9）2.2 菲涅耳公式折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳播方向之間的關(guān)系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel公式來描述。 電場是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個(gè)振動(dòng)方向垂直于入射面，稱為s分量，另外一個(gè)振動(dòng)方向在（或者說平行于）入射面，稱為p分量。首先研究入射波僅含s分量和僅含p分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時(shí)存在時(shí)，則只要分別先計(jì)算由單個(gè)分量成分的折射、反射電場；然后根據(jù)矢量疊加原理進(jìn)行矢量相加即可得到結(jié)果。 （1）單獨(dú)存在s分量的情形首先規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面，向外為正，向內(nèi)為負(fù)。在界面上電

5、場切向分量連續(xù)： 另外由式（1-5）、（1-6），可得 （2-1）在界面上磁場的切向分量連續(xù)： 注意，如圖所示。所以同理有 （2-2）非磁性各向同性介質(zhì)中、的數(shù)值之間的關(guān)系：那么式（2-1）整理為 （2-3）聯(lián)立式（2-1）（2-3）可得（2）單獨(dú)存在p分量的情形首先規(guī)定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負(fù)。 根據(jù)、的邊界條件得：再利用、的數(shù)值關(guān)系以及正交性，得到綜上所述，S波及P波的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達(dá)式為：上面左邊的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成右邊的形式。 2.3 反射波和透射波的性質(zhì)2.3.1 n1<n2的情況（1

6、）反射系數(shù)和透射系數(shù)兩個(gè)透射系數(shù)ts和tp都隨著入射角增大而單調(diào)降低，即入射波越傾斜，透射波越弱，并且在正向規(guī)定下，ts和tp都大于零，即折射光不發(fā)生相位突變。 rs始終小于零，其絕對值隨著入射角單調(diào)增大。根據(jù)正方向規(guī)定可知，在界面上反射波電場的s分量振動(dòng)方向始終與入射波s分量相反，既存在相位突變（又稱半波損失）。對于rp，它的代數(shù)值隨著入射角單調(diào)減小，但是經(jīng)歷了一個(gè)由正到負(fù)的變化。由公式 ，當(dāng)時(shí)有，即，又由折射定律，聯(lián)立可得此時(shí)入射角為布儒斯特角。布儒斯特定律內(nèi)容：如果平面波以布儒斯特角入射，則不論入射波的電場振動(dòng)如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；反射角與折射角互為余角。（2）反射率和

7、透射率上圖中為波的橫截面面積，為波投射在界面上的面積。若入射光波的強(qiáng)度為，則每秒入射到界面上面積的能量為又由光強(qiáng)表達(dá)式，上式可寫成類似地，反射光和折射光的能量表達(dá)式為于是反射率和折射率分別為類似地，當(dāng)入射波只含有p分量的時(shí)，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp： 與之間、 與之間均存在互補(bǔ)關(guān)系，即： 這表明，在界面處，入射波的能量全部轉(zhuǎn)換為反射波和折射波的能量（條件：界面處沒有散射、吸收等能量損失）。當(dāng)入射波同時(shí)含有s分量和p分量時(shí)，由于兩個(gè)分量的方向互相垂直，所以在任何地點(diǎn)、任何時(shí)刻都有： 從而有：類似還有，可以定義反射率R和透射率T為： ，注意：入射光波的s分量(p分量)只對折射率、反射

8、率的s分量(p分量)有貢獻(xiàn)。如果入射波中s和p分量的強(qiáng)度比為，則有： 和即和分別是、和、的加權(quán)平均。 但是仍然有： 正入射時(shí)，s分量和p分量的差異消失。若用R0和T0表示此時(shí)的反射率和透射率，則有： 以及利用這兩個(gè)等式可以估算非正入射但是入射角很小()的反射率和透射率。 2.3.2 n1>n2的情況這種情形即由光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì)的情形。由折射定律可知，把所對應(yīng)的入射角稱為全反射臨界角，用表示。即。因此分和兩種情況來討論。 （1）當(dāng)時(shí)此時(shí)，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和n1<n2的情形完全相同。對于s分量來說，當(dāng)時(shí)，說明無半波損失，正如上圖中的

9、藍(lán)線所示；對于p分量來說，在范圍內(nèi)，說明有半波損失，而在范圍內(nèi)，說明無半波損失。注意，所以必然是，說明布儒斯特定律依然有效，同時(shí)也說明無論是n1>n2還是n1<n2的情形，布儒斯特定律都成立。ts和tp均大于1，且隨著的增大而增大，但是這不意味著透射率T大于1以及T必然隨的增大而增大。 （2）當(dāng)時(shí)因?yàn)槿瓷渑R界角滿足。由該式可見，當(dāng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象，這顯然是不合理的。此時(shí)折射定律不再成立。但是為了能夠?qū)⒎颇接糜谌瓷涞那闆r，在形式上仍然要利用關(guān)系式。由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在，可以將有關(guān)參量擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。 而始終是實(shí)參量，為此應(yīng)將寫成如下的虛數(shù)形式： 有關(guān)取虛數(shù)的物理意義及其取

10、正號(hào)的原因，留在后面說明。將上式代入菲涅耳公式，得到復(fù)反射系數(shù)并且有式中，是二介質(zhì)的相對折射率；、為反射光與入射光的s分量、p分量光場振幅大小之比。、為全反射時(shí)，反射光中的s分量、p分量光場相對入射光的相位變化。由上式可見，發(fā)生全反射時(shí)，反射光強(qiáng)等于入射光強(qiáng)，而反射光的相位變化較復(fù)雜。他們之間的相位差由下式?jīng)Q定：因此，在n一定的情況下，適當(dāng)?shù)乜刂迫肷浣?，即可改變相位差，從而改變反射光的偏振狀態(tài)。比如菲涅耳棱鏡的原理。當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并在界面上發(fā)生全反射時(shí)，投射光強(qiáng)為零。這就有一個(gè)問題：此時(shí)在光疏介質(zhì)中有無光場呢？當(dāng)把ts、tp的Fresnel公式推廣到復(fù)數(shù)域進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)發(fā)現(xiàn)ts、

11、tp都不等于零，亦即光疏媒質(zhì)內(nèi)有折射光波。在發(fā)生全反射時(shí)，光波場將透入到第二個(gè)介質(zhì)很薄的一層（約為光波波長）范圍內(nèi)，這個(gè)波叫倏逝波。現(xiàn)假設(shè)介質(zhì)界面為xOy平面，入射面為xOz平面，則在一般情況下可將透射波場表示為上式可改寫為這是一個(gè)沿著z方向振幅衰減，沿著界面x方向傳播的非均勻波，也就是全反射的倏逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有取虛數(shù)形式，并且取正號(hào)，才可以得到客觀上存在的倏逝波。倏逝波在入射波剛剛達(dá)到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波電磁場外，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿著界面處傳播，不進(jìn)入第二媒質(zhì)內(nèi)部。因而全反射時(shí)Rs=1、ts0和Rp=1、tp0并不違反能量守恒定律。 具體性質(zhì)參看物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)P382.4 Stocks倒逆關(guān)系Stokes' reversible relation可以導(dǎo)出不同介質(zhì)兩側(cè)折射系數(shù)、反射系數(shù)的關(guān)系。如上左圖所示，假設(shè)入射光束的振幅為A，相應(yīng)反射光束與折射光束為Ar，At。再設(shè)一束振幅為Ar的光束逆向傳播（上右圖中藍(lán)色光束Ar）相應(yīng)反射和折射分別是Arr、A