經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2011秋講義實(shí)用精品資料(00001)

1、第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)： 第一章函數(shù)一 函數(shù)： 定義、符號(hào)y=f（x）及其含義、表示法（公式、圖象）、函數(shù)值 兩個(gè)要素（用于判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同）：對(duì)應(yīng)規(guī)則、定義域（自變量的取值范圍） 定義域的確定原則：使得函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍。 奇偶性及其圖形特點(diǎn) 有界性。主要是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有界二 基本初等函數(shù) 常數(shù)函數(shù)：y=c 冪函數(shù):（為常數(shù)）例， 指數(shù)函數(shù):， y=ex 對(duì)數(shù)函數(shù): 自然對(duì)數(shù) 三角函數(shù):y=sinx、y=cosx、y=cotx，常用關(guān)系， y=sinx、y=cosx有界以上函數(shù)表達(dá)式中，X的位置必須是自變量本身。三 初等函數(shù)：基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算所得函數(shù)（簡(jiǎn)單函

2、數(shù)）和復(fù)合運(yùn)算所得函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）統(tǒng)稱為初等函數(shù)。由y=f(u)、u=u(x)復(fù)合而成的函數(shù)為y=fu(x)四 經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù) 需求函數(shù)：需求量q是價(jià)格p的函數(shù)。記為q=q(p) 供給函數(shù) 成本函數(shù)：總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)。記為C=C(q) 平均成本=C/q 注：總成本=固定成本可變成本 收入函數(shù)：銷售收入R是銷售量q的函數(shù).注：R=pq 利潤(rùn)函數(shù)：利潤(rùn)L是銷售量q的函數(shù). 注：L=R-C第二部分 微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（一）預(yù)備知識(shí)1） 基本初等函數(shù)2） 簡(jiǎn)單函數(shù)3） 復(fù)合函數(shù) 如果在基本初等函數(shù)表達(dá)式中，X的位置不是自變量本身，而是一個(gè)函數(shù)的，那么就是函數(shù)的函數(shù)，是復(fù)合函數(shù)了（二）求導(dǎo)

3、公式微分注：基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式要求做到熟練掌握。（三）導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：1）簡(jiǎn)單函數(shù)直接代公式求出導(dǎo)數(shù)例1 ： 例2 ：例3 ：例4 ：例5：例6：2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)步驟：先將復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，再用鏈?zhǔn)椒▌t。 例8： 例9： 例10： 例11： 例 解：例 解：三、 經(jīng)濟(jì)函數(shù)求最值 解題步驟：（重點(diǎn)）列出要求最值問題的函數(shù)表達(dá)式，確定其定義域（按實(shí)際問題定）求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于零，求出駐點(diǎn)若駐點(diǎn)僅有一個(gè)，則由實(shí)際問題可知，該駐點(diǎn)即最值點(diǎn)若需要，就求出最值注1：本章常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)之間的關(guān)系：設(shè)總成本函數(shù)為 ，則平均成本函數(shù)為銷售收入函數(shù) ，其中為銷售量，為價(jià)格。利潤(rùn)函數(shù) 注2：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱

4、為邊際如，分別稱為邊際成本，邊際收入和邊際利潤(rùn)例1：總成本為，收入為。問產(chǎn)量多少時(shí)，能使利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：例2：生產(chǎn)某種產(chǎn)品單位的生產(chǎn)費(fèi)用為：。問為多少時(shí)，能使平均費(fèi)用最低？最低的平均費(fèi)用是多少？解：例3. 生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為（單位：元，其中產(chǎn)量的單位：件），求：當(dāng)產(chǎn)量時(shí)的平均成本和邊際成本；當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)平均成本最??？解：平均成本函數(shù)為由此得（元件）又因?yàn)?所以即當(dāng)產(chǎn)量時(shí)的平均成本是每件10元邊際成本為每件4元令，解出（舍去），易知其為最小值點(diǎn)即當(dāng)產(chǎn)量為件時(shí)平均成本最小例4. 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加100元。又已知需求函數(shù)，其

5、中為價(jià)格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的，問價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).解 C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400pR(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2利潤(rùn)函數(shù)L(p) = R(p) -C(p) =2400p-4p 2 -250000， 且令=2400 8p = 0得p =300，該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)價(jià)格為p =300元時(shí)，利潤(rùn)最大. 最大利潤(rùn) （元）例5. 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為（萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，問：(1) 產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？ (2) 從

6、利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解 （1）令 得 （百臺(tái)）又是的唯一駐點(diǎn)，根據(jù)問題的實(shí)際意義可知存在最大值，故是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大（2）因?yàn)?， 所以 ， 其中 為固定成本 所以，利潤(rùn) 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元例6. 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元，若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元，試求：(1) 生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本； (2) 售出件該種產(chǎn)品的總收入； (3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少？解 （1）生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總成本為；平均成本為：（2）售出件該種產(chǎn)品的總

7、收入為：（3）生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為：=三、計(jì)算極限1）能直接運(yùn)算的，代入計(jì)算出結(jié)果例：例：= 0，= -1= 1 ， =1 2） 型無窮小量：趨向于0的變量，即極限為0的量。例：例：3） 型無窮大量：絕對(duì)值無限增大的量。記為例：例：4）（1 + 無窮?。o窮大 型 公式：5） 型 公式：例： =6）無窮小*有界的還是無窮小，極限為0常用的有界函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)四、其它（常見的，并不完全。選擇題或填空題）1） 求函數(shù)的定義域：自變量X的取值范圍例：函數(shù)的定義域是.例：若函數(shù)的定義域是0，1，則的定義域是 ( ).A.B.C.D.2） 判斷兩函數(shù)是否相同。相同要求：定義域同、相同的X對(duì)應(yīng)的

8、Y值應(yīng)相同例：下列各對(duì)函數(shù)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等.A.與B.與 C.與D.與3） 分段函數(shù)連續(xù)問題。連續(xù)要求：（左、右）極限 = 函數(shù)值例： 若在點(diǎn)處連續(xù)，則（ C ）A BCD例：函數(shù)，在處連續(xù)，則 B A. B. C. 1 D.24） 函數(shù)單調(diào)性。 單調(diào)增加：導(dǎo)數(shù) 0單調(diào)減少：導(dǎo)數(shù) 0例：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 。 求極值。 解：令得：的符號(hào)為：所以函數(shù)單調(diào)增加的區(qū)間為和；單調(diào)減少的區(qū)間為。函數(shù)極大值為 ，極小值為5） 微分 例：例：設(shè)是可微函數(shù)，則（ D ）A B C D 例：下列等式不成立的是（ A ） A BC D6） 二階導(dǎo)數(shù) 例：7） 需求彈性設(shè)需求函數(shù)為，為價(jià)格，為需求量，則需求彈

9、性例：某種商品的需求量（單位：百件）與價(jià)格（單位：千元）的關(guān)系為。求當(dāng)價(jià)格為9千元時(shí)的需求彈性。解：例：8） 切線斜率、切線方程。（1）切線斜率 = 導(dǎo)數(shù)；（2）切線方程用點(diǎn)斜式方程： 其中 分別為切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率例： 曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線是（ A ）A B C D 例：曲線在處切線的斜率是（ C ）A B C D 9） 函數(shù)的奇偶性：例：下列函數(shù)中，（）是偶函數(shù)：. x3sinx . x3+1 . ax-a-x. x2sinx10） 其它：例：若函數(shù)的定義域是0，1，則的定義域是( ) .A.B.C.D.例：若函數(shù)，則 = ( ) .A.B.C.D.第三部分 線性代數(shù)一、 mn矩陣定

10、義 P50定義（矩形數(shù)表、元素、符號(hào)）二、 特殊矩陣：1） 方陣2） 零矩陣3） 單位陣I4） 對(duì)稱矩陣（P65）5） 階梯形矩陣P866） 行簡(jiǎn)化階梯形矩陣（P127）三、矩陣的運(yùn)算：P55 相等 加、減A+B，A-B（兩個(gè)同形的矩陣，對(duì)應(yīng)位置元素相加，減） 數(shù)乘：kA 一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)矩陣（A中每一個(gè)元素都要乘以k。） 乘法：AB 兩個(gè)矩陣相乘 （左矩陣的行與右矩陣的列的元素對(duì)應(yīng)乘積的和。稱為行乘列法則）例 注意矩陣乘法不符合交換律。兩矩陣相乘的前提條件：必需n=s 轉(zhuǎn)置AT：（A的行、列元素順序調(diào)換）注：乘法不符合交換律。其他運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律相同；當(dāng)AB=BA時(shí)，稱A與B可交換；轉(zhuǎn)置的運(yùn)

11、算律：（AT）T = A（A+B）T = AT+BT（AB）T = BT AT若 AT = A，稱A為對(duì)稱矩陣P55 62 各例P62練習(xí)四、逆矩陣定義P70：對(duì)于矩陣A，若存在矩陣B，使AB = BA = I ，稱A可逆，且稱B 為A的逆矩陣。記為.五、線性方程組定義P118；線性方程組的矩陣表示法P118，系數(shù)矩陣，常數(shù)矩陣，未知數(shù)矩陣，增廣矩陣 P119例1六、矩陣的初等行變換：P77有三種：對(duì)換、倍乘、倍加。應(yīng)用： 求矩陣A的秩：將A化為階梯陣，階梯陣的非零行數(shù)稱為A的秩。記為 例求A的階梯形矩陣及解=3上述階梯形矩陣的主元化為1，主元所在列的其他元素化為0，即得行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：P8

12、6例3、4P87練習(xí)：1（1、2、3）、2 求A的逆矩陣：方法是將（AI）（IB），則A-1=B注：1）若A可化為I（或n階方陣A的秩等于n，即A 滿秩）,則A可逆。 2）另一種方法需要用到行列式，不要求。逆矩陣性質(zhì)：（A-1）-1 = A（A-1）T =（AT）-1（AB）-1 = B-1A-1例 求的逆矩陣解：練習(xí)：求的逆矩陣答案P82例2、3, 解矩陣方程:1) AX = B, 則 X =2) XA = B, 則 X =練習(xí)2。6/1（1，2）、3P83練習(xí)：1（1、2、3）、2 求線性方程組AX = B的解：先將增廣矩陣（AB）化為階梯陣；判斷其解的情況；若有解，進(jìn)一步將階梯陣化為行簡(jiǎn)

13、化階梯陣；寫出解注：方程組解的判定：若r(A)r(AB)，則方程組無解；若r(A)=r(AB)=n (未知數(shù)的個(gè)數(shù))，則方程組有唯一解；若r(A)=r(AB)n，則方程組有無窮多解例 P132已知線性方程組的增廣矩陣分別如下，判斷方程組是否有解；有解的話，請(qǐng)求出解。 （1） 方程組無解（2）（）所以， 方程組的解為：，（3）（）所以， 方程組的解為：， ， 例P134例2、3齊次線性方程組AX = O的解的判定：若r(A)=n ，則方程組只有零解；若r(A)n，則方程組有非零解線性代數(shù)重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算 求逆矩陣 解線性方程組練習(xí)1）設(shè)矩陣，求解 所以，=2）求線性方程組的一般解解：于是方程組的一般解是 （其中是自由未知量）3）設(shè)矩陣，計(jì)算解：由此得4）求當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當(dāng)時(shí)，方程組有解當(dāng)時(shí)，方