數(shù)學(xué)建模 數(shù)碼相機定位參考模板

1、一 問題的提出1.1背景數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點， 同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組

2、像點的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現(xiàn)。 圖 1 靶標上圓的像有人設(shè)計靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像，如圖3所示。1 / 4圖 2 靶標示意圖 圖3 靶標的像1.2問題（1）

3、 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024×768；（3） 設(shè)計一種方法檢驗?zāi)銈兊哪Ｐ停Ψ椒ǖ木群头€(wěn)定性進行討論；（4） 建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二 問題的假設(shè)1考慮光的衍射，色散，只考慮反射和折射； 2假設(shè)所有場景中感興趣的點都在鏡頭前面； 3將相機簡化為一個小孔成像機

4、構(gòu)，對于產(chǎn)生的相差，以及相機對像平面成像的調(diào)整作用不予考慮； 4像平面是由一個個有大小的像素點組成，是一個不連續(xù)的點空間，而幾何定義大都 是在連續(xù)空間內(nèi)定義的，這里假定，在幾何推理中，像平面是連續(xù)的面，也即每個 象素點除了表示坐標外，不再具有實際的大小； 5為了在離散空間中求解，在解答過程中對相切、相割的含義做了一些調(diào)整，具體論述見正文； 6對于題中隨給相機中的幾何關(guān)系有如下描述：焦點，透鏡中心，像平面中點三點共三 符號說明四 問題分析問題涉及的是數(shù)碼相機的定位問題，問題出現(xiàn)在雙目定位的背景下，要解決的問題是如何實現(xiàn)物體表面某些特征點在物平面和像平面之間的坐標轉(zhuǎn)換，其中如何在像平面中找到發(fā)生變

5、形的靶標（圓）像的圓心是需要解決的核心問題。 4.1 基本思路 題目中給出了已經(jīng)得到的靶標的像和一些可測量的參數(shù)，如相機的像距，分辨率及靶標圓的半徑和各圓之間的相對位置等。精確確定兩部相機的相對位置是最終目的；實現(xiàn)物體表面某些特征點在物平面和像平面之間的坐標轉(zhuǎn)換，是解決問題的基礎(chǔ)；而像的變形決定了找到圓心在像上的投影是問題的核心也是難點。我們考慮先找出實現(xiàn)物體表面某些特征點在物平面和像平面之間的坐標轉(zhuǎn)換的方法，在此基礎(chǔ)上找到靶標圓心在像平面上的圓心的具體位置，然后通過坐標轉(zhuǎn)換，把空間點從圖像中恢復(fù)出來，最后根據(jù)兩次恢復(fù)中求出的空間點位置的不一致關(guān)系，通過坐標系轉(zhuǎn)換推出兩部相機的相對位置。 4.

6、2 具體分析 問題1需要確定靶標上圓的圓心在相機像平面的像坐標。有兩種方法可以考慮實現(xiàn)，第一是利用物與像之間某些不變的相對位置關(guān)系找到對應(yīng)與圓心的像點； 另一種方法就是借助計算機圖形處理中的霍夫變換和聚類算法在一定模型假設(shè)基礎(chǔ)上求解。問題2主要是模型的求解。根據(jù)問題一中得到的模型和算法，具體的編制程序進行實現(xiàn)，具體用到的有matlab幫助求解。 問題3是對問題1中的模型以及模型2中的計算結(jié)果的檢驗。我們考慮通過在三維空 間內(nèi)尋找另外一個攝影角度，數(shù)碼相機在此角度可以得到圖2的另外一個像，同時可以出在像平面內(nèi)圓心的靶標的像坐標。利用問題1的模型和算法求得的圓心坐標與之進行比較，如果圓心坐標可以重

7、合的很好，說明模型的精度比較好；同時在本文中我們還對模型和算法的精度進行了初步的討論。 問題4是需要找出可以確定兩部固定相機相對位置的方法。我們借助該靶標在兩部 相機的像平面中所成的像，求出其在像平面中的坐標，并通過逆變換，把空間點從像平面的二維圖像中恢復(fù)到三維坐標系中，通過兩次恢復(fù)得到的坐標之間的不一致關(guān)系確定出兩部相機相對位置。五 模型的建立與求解1前期像圖的轉(zhuǎn)換處理 在本問題中，像平面是一個二維空間，相應(yīng)的像素值即為空間內(nèi)各點的橫縱坐標。在圖像平面坐標系統(tǒng)中。首先，我們通過邊緣檢測的方法確定靶標在像平面中各個圓像的邊界。即通過檢測每個像素和其直接鄰域點灰度是否連續(xù)，以決定該像素是否確實處

8、于一個物體的邊界上。因此，我們需要將像平面圖轉(zhuǎn)化為二維灰度圖，當圖像中各個像素的灰度發(fā)生很大的跳躍產(chǎn)生不連續(xù)時，這時出現(xiàn)像的邊界，同時記下邊界在相圖平面中的坐標。兩個具有不同灰度值的相鄰區(qū)域之間總存在邊緣，邊緣是灰度值不連續(xù)的結(jié)果。邊緣檢測的基本思想是利用邊緣增強算子，突出圖像中的局部邊緣，然后定義像素的“邊緣強度”，通過設(shè)置門限的方法提取邊緣點集。 具體操作步驟如下： 1：把二維像圖讀入MATLAB的變量中； 2：提取靶標圖像的邊界確定邊緣的方法 3：靶標圖像的邊界是由若干個點組成的，各點坐標可以通過讀取圖像的過程獲得。 常用的邊緣檢測算子有很多種，我們使用Sobel算子、Robert算子、Prewitt算子、LOG算子、Canny算子和Zerocross算子對圖3中的靶標圖像進行邊緣檢測和確定，結(jié)果如圖。通過不同算子邊緣提取效果比較，Sobel算子的效果最好，Zerocross效果最差，我們最終確定選用Sobel算子進行靶標像圖的邊緣檢測，然后提取出圖像的邊界。通過邊緣檢測和邊界提取，我們將圖像從二維轉(zhuǎn)化為邊界線離散點， 實質(zhì)上是一個降維操作過程，有利于模型的簡化，同時減小計算