斷裂力學的研究意義.doc

1、1 緒論1.1 斷裂力學的研究意義斷裂是一種失效模式。在各種工程領域中，經(jīng)常發(fā)生起源于斷裂或者終結(jié)于裂紋擴展的災難性破壞事故，如地震引起的地質(zhì)構(gòu)造開裂和結(jié)構(gòu)工程垮塌、碰撞引起的交通運載工具損壞、壓力管道的裂紋失穩(wěn)擴展和機械構(gòu)件的斷裂等，這些事故對人民的生命和財產(chǎn)造成了重大損失。由于起裂的原因難以量化確定，因此，起裂后的裂紋能否繼續(xù)擴展或者發(fā)生止裂的斷裂力學研究具有十分重要的理論意義和應用前景。當代斷裂力學的繁榮和它在未來的生命力正是緣于它已深深地根植于現(xiàn)代高科技領域和工程應用之中。例如， 大型計算機的硬件條件使我們有可能對復雜的斷裂過程進行數(shù)值模擬，現(xiàn)代物理學提供的新的實驗手段，如高倍電子顯微

2、鏡、表面分析、 高速攝影等觀測和測量技術使我們能夠更深入地研究宏觀、細觀乃至微觀的斷裂過程。正是這種對于斷裂基本規(guī)律的深入認識，有助于發(fā)揮斷裂力學在工程應用中的理論指導作用。例如， 材料增韌和新材料的研制、生物和仿生材料的開發(fā)、 建筑和核反應堆等結(jié)構(gòu)的抗震設計和建造、微電子元器件的研究和制備、地質(zhì)力學與地震預報、油氣開采和儲運、航空航天的新飛行器設計等。斷裂力學與現(xiàn)代科學和高技術成果的有機結(jié)合，使其呈現(xiàn)出嶄新的面貌。現(xiàn)實中的裂紋一般都是三維的，并且具有復雜的形狀和任意擴展的路徑。長期以來， 在三維結(jié)構(gòu)中裂紋沿曲線或曲折路徑擴展是一個棘手的力學難題，傳統(tǒng)斷裂力學中對裂紋是平直的假設不再成立，因此

3、理論的研究手段顯得束手無策，對它的研究更多地是從實驗方面展開，唯象的經(jīng)驗性的結(jié)果占據(jù)多數(shù)，而且是以平面裂紋為主。近幾十年來，計算機技術的發(fā)展為數(shù)值模擬奠定了基礎，有限元等計算力學方法的提出和發(fā)展也為用數(shù)值方法解決這一難題提供了條件，應用計算力學的方法對裂紋在三維實體和曲面中任意擴展進行模擬分析已成為這個領域的研究熱點。目前常用的斷裂力學計算方法有傳統(tǒng)有限元自適應網(wǎng)格(Miehe 和Gu rses,2007)、節(jié)點力釋放方法(Zhuang和O Donoghue 2000)、單元間內(nèi)聚力模型 (Xu 和 Needleman， 1994)及嵌入不連續(xù)模型(Belytschko 等， 1988)等。在

4、處理復雜形狀裂紋時這些方法都有著一定的局限性，比如裂紋擴展路徑必須預先給定、 裂紋只能沿單元邊界擴展、計算成本偏高等。為了更好地解決這些問題，擴展有限單元法應運而生，成為解決復雜斷裂問題的最有效方法之一。1.2 擴展有限元介紹科學家在20 世紀對人類最偉大的貢獻之一是發(fā)明了計算機，這一發(fā)明極大地推動了相關科學學科研究和產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。以力學學科的計算力學為例，隨之誕生和發(fā)展的有限元、有限體積和有限差分等方法，使傳統(tǒng)的繁雜的力學問題得以進行數(shù)值模擬和計算分析，更關鍵的是解決了大量的工程和科學仿真問題。在現(xiàn)代信息技術和各種計算科學高度發(fā)展的今天，基于仿真的工程與科學( simulation-based

5、 engineering and science )已經(jīng)成為科學家探索科學奧秘的得力助手，成為工程師們實施工程創(chuàng)新或產(chǎn)品開發(fā)，并確保其可靠性的有效工具。而有限元及其計算程序正是我們實現(xiàn)工程與科學仿真的工具之一。自 20 世紀 50 年代中期第一篇有關有限元的文章問世以來，發(fā)表了大量的有限元文章和出版了許多專著，其中一些成功的實驗報道和專題文章，對有限元的發(fā)展做出了重要貢獻。直到60 年代，有限元軟件的開發(fā)和迅速應用，對工程分析造成了巨大沖擊，順應了蓬勃興起的有限元數(shù)值計算環(huán)境，滿足了基于仿真的工程與科學的大量需求。如果把有限元比作一棵大樹，正是它的幾個重要分支的興起與發(fā)展，如雜交元、邊界元、無

6、網(wǎng)格、擴展有限元等，才使得有限元這棵參天大樹扶搖直上，枝繁葉茂。傳統(tǒng)的有限元方法是將一個物理實體模型離散成為一組有限個、且按一定方式相互連接在一起的單元組合體，但是在剖分單元網(wǎng)格的時候必須考慮物體內(nèi)部的缺陷，如界面、裂紋、孔洞和夾雜等，使單元邊界與幾何界面一致，這就難免形成局部網(wǎng)格加密，而其余區(qū)域稀疏的非均勻網(wǎng)格分布。在網(wǎng)格中單元的最小尺寸決定了顯式計算時間增量的臨界步長，這無疑增加了計算成本；再是裂紋擴展路徑必須預先給定，裂紋只能沿單元邊界擴展，難以形成任意裂紋路徑。針對有限單元法處理裂紋等非連續(xù)界面問題存在的弊端，1999年，美國西北大學的Belytschko和Mo s提出了一種新的計算方

7、法擴展有限單元法（Belytschko和Black, 1999; Moes等，1999）,在傳統(tǒng)有限單元法的基礎上進行了重要的 改進。 近十年來擴展有限單元法不斷完善并發(fā)展，逐漸成為了一種處理非連續(xù)場、局部變形和斷裂等復雜力學問題的功能強大、極具應用前景的新方法，在土木工程、航天航空、材料科學等諸多領域得到了廣泛應用。擴展有限元的核心思想是用擴充的帶有不連續(xù)性質(zhì)的形函數(shù)基來代表計算域內(nèi)的間斷， 因此在計算過程中，不連續(xù)場的描述完全獨立于網(wǎng)格邊界，這使其在處理斷裂問題上具有得天獨厚的優(yōu)勢。圖 1-1 所示為三維斷裂的擴展有限元模擬結(jié)果 （Areias 和 Belytschko ， 2005）。

8、從圖中可以看到裂紋面和裂紋前沿完全獨立于網(wǎng)格。 利用擴展有限元，還可以方便地模擬裂紋沿任意路徑擴展，圖 1-2 所示為應用擴展有限元模擬裂紋分叉擴展（Belytschko 等， 2003）。圖1-1三維斷裂XFEM奠擬： 位移擴大200倍（Areias 和 Belytschko ， 2005）1-2 擴展有限元模擬分叉裂紋（Belytschko 等， 2003）擴展有限元不僅可以模擬裂紋，還可以用來模擬含孔洞和夾雜的非均質(zhì)材料（Belytschko 等，2003； Sukumar 等， 2001）。圖 1-3 碳納米管復合材料模擬（Belytschko 等， 2003）在裂紋兩側(cè)間斷的是位移，

9、而在夾雜和兩相材料邊緣兩側(cè)間斷的是應變位移的空間導數(shù)。這兩種情況分別被定義為強間斷（位移場不連續(xù)）和弱間斷（位移場導數(shù)不連續(xù)）， 在擴展有限元計算時只要采用不同形式的擴充形函數(shù)即可對它們進行精確捕捉。圖 1-3 是應用擴展有限元研究碳納米管復合材料胞元的有效模量的算例（Belytschko 等， 2003），由于網(wǎng)格邊界不必與材料界面重合，模擬中完全使用六面體結(jié)構(gòu)單元對代表體積單元（RVE進行網(wǎng)格劃分，極大地提高了建模效率。擴展有限元的另一個優(yōu)點是可以充分利用已知解析解答構(gòu)造形函數(shù)基，在較粗網(wǎng)格上即能得到較精確解答。在使用傳統(tǒng)有限元方法模擬奇異場時必須局部加密網(wǎng)格， 如裂紋尖端或位錯核附近的應

10、力場，而在擴展有限元中則可以通過把已知的裂紋或位錯的位移場漸進解引入擴充形函數(shù)中，使用較粗網(wǎng)格即可得到滿意解答。 圖 1-4 所示為一邊含有裂紋的有限大板，改變裂紋長度可以得到一組應力強度因子。XFEM真擬中無須對裂紋尖端進行網(wǎng)格細化，使用 41X41四邊形網(wǎng)格即 可得到與解析解吻合較好的結(jié)果。1-4 有限大板內(nèi)靜止裂紋尖端應力強度因子值得指出的是，邊界元法 （ boundary element method） 及無網(wǎng)格法（ element freemethod）也在處理裂紋等不連續(xù)問題中有著重要的應用（Blandford等，1981;Belytschko 等，1994），但是由于這些方法一些

11、固有的缺陷限制了它們的推廣，如： 邊界元法不便于處理非線性、多介質(zhì)等復雜問題；無網(wǎng)格法缺少堅實的理論基礎和嚴格的數(shù)學證明，存在一些未確定的參數(shù)如插值域大小、背景積分域大小等； 沒有成熟的商業(yè)軟件包。而擴展有限元在標準有限元框架內(nèi)研究問題，保留了傳統(tǒng)有限元的所有優(yōu)點，目前一些商業(yè)有限元軟件如ABAQU、 SLS-DYNA等已經(jīng)初步具備了 XFEM勺斷裂分析模塊。綜上所述，XFEM勺優(yōu)越性可以歸結(jié)為以下幾點：（1） 允許裂紋在單元內(nèi)部和穿過單元，可以在規(guī)則網(wǎng)格上計算復雜形狀裂紋，模擬裂紋擴展時，不需要對網(wǎng)格進行重新剖分，節(jié)省了計算成本；（2） 在裂紋面和裂紋尖端采用增強函數(shù)構(gòu)造非連續(xù)性，對裂紋面和

12、裂紋尖端附近的單元節(jié)點增加附加自由度，通過滿足適當性質(zhì)的形函數(shù)來捕捉裂紋尖端奇異場，可以在粗網(wǎng)格上獲得精確解答；（3） 與連續(xù)剖分的有限元比較，在不同的剖分單元之間不需要那么多的映射；（4） 與邊界元相比，它適用于各種材料性質(zhì)和多介質(zhì)問題，更適用于幾何和接觸非線性問題；（5） 可以用于大型有限元并行計算技術，其程序可以寫入商用有限元軟件。這些優(yōu)勢是其能夠得到成功推廣和應用的重要原因。1.3 擴展有限元研究現(xiàn)狀和發(fā)展擴展有限元自1999 年誕生，已經(jīng)歷經(jīng)十多年的成長和發(fā)展。我們把其發(fā)展大體歸結(jié)為以下兩個方面：一是其自身相關理論的完善，如混合單元(blendingelement)的處理、不連續(xù)場的

13、分區(qū)域積分、顯式積分穩(wěn)定性、擴充形函數(shù)基的拓展等，后面章節(jié)將陸續(xù)分別予以詳細介紹；二是單元類型的發(fā)展，從二維單元逐步發(fā)展到三維實體單元和殼體單元，這部分至今仍是XFEMW究的重點方向之一。1.3.1 擴展有限元理論的發(fā)展Belyschko 和 Black(1999) 首次提出用獨立于網(wǎng)格剖分的有限元思想來解決裂紋擴展問題，在傳統(tǒng)有限單元法的基礎上對裂紋尖端或裂紋面附近的單元節(jié)點采用裂紋近場位移解進行增強，解釋裂紋的出現(xiàn)。隨后，Moe s等(1999)引入階躍函數(shù)和裂尖函數(shù)兩種擴充形函數(shù)(enrichment shape function )分別對裂紋面和裂尖進行描述，并把該方法稱為“擴展有限單

14、元法” (XFEM o通過在裂紋尖端 所在單元加入多個擴充形函數(shù)，Daux等(2000)又實現(xiàn)了裂紋分叉的XFEMK擬。然后Belytschko 等( 2003)在擴展有限元中引入了一種新的開裂判據(jù)雙曲性缺失判據(jù)：用介質(zhì)中雙曲性質(zhì)的缺失情況來判斷裂紋的擴展路徑和速度。當對裂尖或裂紋面所在單元進行 XFEM曾強后，其相鄰單元一部分節(jié)點同時具有擴展有限元自由度和標準有限元自由度，一部分節(jié)點則只具有標準有限元自由度，這種單元被稱為混合單元(blending element)?；旌蠁卧某霈F(xiàn)會影響計 算的收斂性。Chessa等(2003)通過擴展應變法改善混合單元的性能，Legay等 (2005) 發(fā)

15、現(xiàn)混合單元的收斂性能隨著單元階次的增加而提高，即在高階單元中無須對混合單元進行特殊處理。早期的擴展有限元只對最靠近裂尖的單元節(jié)點進行強化， Ventura 等 (2005) 研究了裂紋尖端強化區(qū)域的大小對收斂速度的影響，發(fā)現(xiàn)擴大強化區(qū)域或固定強化區(qū)域而細化網(wǎng)格都能提高收斂效率。擴展有限單元法對整體位移求解是精確的，但是對于裂紋尖端的應力強度因子的計算則需要通過一個后處理程序用主域形式的等值線積分或者最小二乘法實現(xiàn)。Liu 等 (2004) 為了不通過后處理程序直接獲得精度較高的裂紋尖端應力強度因子， 不僅使用裂紋近場解的一階項還使用高階項對裂紋尖端節(jié)點進行增強(在擴展有限單元法只使用一階項)。

16、 其采用減縮積分方法的數(shù)值模擬結(jié)果表明，該方法不需要后處理程序就可以直接提高應力強度因子的精度。Song等(2006)通過重新安排XFEMK函數(shù)和節(jié)點自由度，實現(xiàn)了用疊加單元和虛擬節(jié)點來描述含裂紋單元。該方法不引入多余自由度，便于在已有的有限元程序中實現(xiàn)擴展有限元功能；另一方面，該方法采用一點減縮積分，在精度允許的范圍內(nèi)避免了分區(qū)域積分的使用。但該方法只適用于對裂紋進行階躍函數(shù)增強的情況。Menouillard 等 (2006) 對擴展有限元的顯式積分穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)研究，給出了顯式分析中質(zhì)量陣的對角化方法。Fries 和 Belytschko(2006) 把擴展有限元與無網(wǎng)格方法結(jié)合起來，這

17、樣可以避免增加額外的未知量。Ribeaucourt(2007) 在其工作中引入了裂紋面之間的接觸。金峰等提出了基于擴展有限元法的粘聚裂紋模型 (方修君， 2007)，并將其應用于模擬重力壩地震開裂過程(方修君， 2008)。裂紋尖端特別是動態(tài)裂紋的模擬方面的精度很難達到，Menouillard 引入 Zhuang和Cheng(2011)應用XFEMFF展了雙材料亞界面裂紋擴展路徑的研究。Liu等(2011)把譜單元和擴展有限元相結(jié)合，有效地改善了動態(tài)裂紋擴展模擬中的數(shù)值擾動問題。除了在斷裂力學方面外，擴展有限元與其他力學領域相結(jié)合后也結(jié)出了豐碩的果實。Chessa和Belytschko把在空間

18、上擴充形函數(shù)的思想推廣到了時間尺度上(Chessa 和 Belytschko ， 2004； Belytschko 和 Chessa， 2006)，這種方法被稱為時空擴展有限元(STX-FEM。在處理時間問斷問題時，時空擴展有限元表現(xiàn) 出得天獨厚的優(yōu)勢。Re thor和Gravouil(2005)采用了一種類似的時空擴展有限 元格式，取得了顯著成效。Sukumar等(2001)通過構(gòu)造新的擴充形函數(shù)基用 XFEM 成功模擬了含孔洞和夾雜的非均質(zhì)材料，在復合材料數(shù)值模擬領域具有重要意義?；赩olterra 位錯模型，Gracie 等 (2008) 應用擴展有限單元法在細觀尺度上模擬了二維和三維

19、固體材料中的位錯，首次實現(xiàn)了位錯的有限元模擬。此外，擴展有限元在剪切帶演化(Samaniego和Belytschko , 2005)、多相流(Chessa和Belytschko ， 2003)、 納米界面力學(Farsad 等， 2010)、 多尺度模擬(Belytschko和 Gracie ， 2009)等研究領域也方興未艾，展示了其廣闊的應用前景和蓬勃的生命力。1.3.2 三維擴展有限元的發(fā)展擴展有限元早期的研究主要集中在解決二維斷裂問題，隨其應用的迅速推廣，平面單元已經(jīng)不能滿足科學研究和工程應用需求，一些復雜斷裂問題如地震引起的道路開裂和房屋橋梁垮塌，碰撞引起的車輛、飛機和船舶損壞，壓力

20、管道的裂紋失穩(wěn)擴展和機械構(gòu)件的斷裂等迫切需要三維擴展有限元的出現(xiàn)。Sukumar等人(2000)首次將擴展有限元拓展到三維，當研究平面I型裂紋問題時， 在垂直裂紋尖端的平面內(nèi)建立極坐標系表示裂尖擴充形函數(shù)，其函數(shù)形式與二維問題相同。三維動態(tài)斷裂模擬中的難點是如何保持裂紋面和裂紋擴展方向的連續(xù)性和光滑性。Areias 和 Belytschko(2005) 通過調(diào)整裂紋面法線使該條件得到近似滿足。Duan等(2009)通過引入單元水平集描述裂紋面，采用最小二乘法進一步改進了裂紋面方向和由開裂準則預測的擴展方向的連續(xù)性。三維裂紋分叉、應力強度因子求解及裂紋擴展準則等仍是該研究方向的熱點問題。Arei

21、as 和 Belytschko (2005) 首次將擴展有限元引入殼單元，他們的工作基于4節(jié)點 Belytschko-Lin-Tsay 殼單元。 通過引入擴展有限元，垂直于殼中面的穿透裂紋可以在殼單元內(nèi)任意擴展。由于強制引入了纖維不可伸長條件，因此殼體變形時不考慮厚度的變化。為了便于編制程序，Areias 和 Belytschko (2006) 還使用另一種方法成對單元疊加來處理 Kirchhoff-Love 四邊形殼單元上的裂紋。 所謂成對單元疊加方法是指在同一個位置鋪設兩層單元，殼的位移場由這兩層單元的節(jié)點自由度組合而成。在這些工作中，有如下三點假設：殼上沒有裂紋的區(qū)域滿足一般本構(gòu)方程，有

22、裂紋的區(qū)域滿足內(nèi)聚力法則，兩區(qū)域互相獨立；連續(xù)體應力僅與變形梯度的有界項有關；假設變形場與協(xié)調(diào)變形梯度的無界項無關。在模擬中判斷裂紋擴展用到的準則是內(nèi)聚力模型，應力強度因子的計算借用了平面薄膜應力強度因子Kmffi平板彎曲應力強度因子Kb分開計算的概念。借助這些方法，薄殼中任意形狀裂紋擴展得以實現(xiàn)。此后 Song和 Belytschko(2009) 利用這種方法對管道開裂進行了模擬，結(jié)果如圖1-5 所示。最近，Zhuang和 Cheng(2011)基于連續(xù)體的殼單元(continuum-based shell , CB殼)建立了新的殼體擴展有限元格式，其優(yōu)勢是：在殼體變形時，允許厚度發(fā)生變化，

23、以改進現(xiàn)有的TB 殼擴展有限元不考慮殼厚度的變化因而只適用于薄殼的局限；統(tǒng)一了含裂紋殼體擴展有限元的理論模型，以改進在裂紋尖端附近采用Mindlin-Reissner 理論、 在遠離裂紋尖端采用Kirchhoff-Love 理論的復雜計算模型；新的殼體擴展有限元格式對裂紋面的構(gòu)造進行創(chuàng)新，允許裂紋面不垂直于殼中面，這樣可以模擬更復雜的斷裂模式；在新的殼體擴展有限元格式中包含三維應力強度因子的計算及其裂紋擴展準則。由此基于三維斷裂的概念建立了一套全新的殼體擴展有限元格式，并且自主完成了程序編制，目前約有一萬條程序。該方法將在第6 章進行詳細介紹。1.4 本書章節(jié)安排本書第 2 章和第 3 章為斷

24、裂力學簡述，分別介紹靜態(tài)線彈性和動態(tài)斷裂力學的基本內(nèi)容， 如裂紋擴展準則和計算應力強度因子的相互作用積分方法等，以及應用傳統(tǒng)有限元模擬擴展裂紋的節(jié)點力釋放技術。這兩章為后續(xù)章節(jié)準備了所需要的斷裂力學基礎知識，熟悉斷裂力學的讀者可以跳過這兩章。第 4 章和第 5 章為擴展有限元的基本內(nèi)容。第 4 章介紹擴展有限元的理論基礎、水平集方法擴充形函數(shù)的數(shù)學描述、弱形式及有限元離散格式等。第 5 章以二維擴展有限元計算格式為依據(jù)， 通過自編程序?qū)⑵鋺糜诟黝惡唵纹矫骈g斷問題，以討論擴展有限元的控制方程、應用技巧和計算精度，并驗證公式和程序。第 6 章至第 9 章為若干應用舉例， 介紹本書作者的科研成果。

25、第 6 章描述了基于連續(xù)體的殼單元的擴展有限元格式，以模擬曲面殼體上任意形狀裂紋擴展，以及三維擴展有限元程序中所用到的數(shù)值方法、擴展準則和應力強度因子的計算方法、動態(tài)問題的隱式和顯式積分算法，及其在三維曲面殼體上任意擴展裂紋的算例等。第 7 章對平面復雜形狀裂紋擴展問題進行深入研究，作為案例，重點研究了在非均勻的材料(如雙材料) 中裂紋擴展的機理，描述了二維擴展有限元程序在雙材料亞界面裂紋擴展問題中的實際應用，模擬了雙材料亞界面裂紋擴展的實驗，討論了雙材料試件的材料非均勻性、載荷非對稱性和初始裂紋位置與長度對亞界面裂紋I型擴展平衡態(tài)的影響。 第 8 章為擴展有限元在非均質(zhì)材料及復合材料模擬中的

26、應用，研究了聚合物基復合材料的力學性能，以及超聲波在三維顆粒/ 短纖維夾雜復合材料中的傳播， 并與實驗及理論結(jié)果進行比較，驗證了該方法在復合材料模擬中的有效性。第9章描述了 XFEMfc二維兩相流模擬中的應用，展示了 XFEW算多場多相問題的應用前景。第10 章結(jié)合作者課題組的科研工作介紹了擴展有限元在微納米力學、多尺度計算等新領域的應用。1.5 練習1-1說明發(fā)展XFEM勺科學意義及其基本思想。1-2針對計算裂紋擴展和非連續(xù)界面問題，比較XFEMff傳統(tǒng)有限元、邊界元、無網(wǎng)格等方法的優(yōu)勢和不足。1-3舉例說明XFEM勺潛在應用。2 線彈性斷裂力學基礎2.1 引言在固體中發(fā)生的斷裂幾乎都是源于

27、在材料中形成位移的間斷面。一般將裂紋問題劃分為三種基本類型：類型I為張開型(opening mode),其裂紋表面位移彼此相反， 方向均垂直于裂紋的擴展方向，這是工程上常見的裂紋形式，如圖 2-1(a)所示；類型II為滑開型(slidingmode),裂紋上下表面位移也彼此相反，一個沿著裂紋擴展方向，另一個背離擴展方向，如圖 2-1(b)所示；類型田為撕開型 (anti-plane shear mode)， 裂紋上下表面產(chǎn)生方向相反的離面位移，如圖 2-1(c)所示。圖 2-1 斷裂模型(a) 張開型；(b) 滑開型；(c) 撕開型在斷裂的過程中，裂紋尖端處要釋放出一定的能量。因此， 裂紋尖端附近的應力- 應變場必然與此裂紋尖端處的能量釋放率有關。若裂紋尖端附近應力- 應變場的強度足夠大，斷裂即可發(fā)生; 反之不發(fā)生斷裂。因此， 必須尋求裂紋尖端附近應力 - 應變場的解答。近代斷裂力學是用彈性力學的解析方法得到了一些解答。在實際工程問題中，一般構(gòu)件的受載情況是復雜的，萌生裂紋的位置及其擴展方向受到應力分布的影響，