第十一章11.311.3.3第二課時平面與平面平行的性質2019(秋)數學必修第四冊人教B版(新教材)改題型

1、第二課時平面與平面平行的性質課標要求素養(yǎng)要求1 .掌握平聞與平向平行的性質，會應用 性質解決問題.2 .掌握線線平行、線向平行及聞聞平行 之間的相互轉化.應用面面平行的性質，進行各種平行關 系的轉化，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)， 提升邏輯推理素養(yǎng).課前頊習知識探究教材知識探究上情境四平整的桌面與地面是平行的，教室的左、右兩面墻也是平行的.生活中隨處可見互 相平行的平面.問題兩個平面平行有怎樣的性質?提示 兩平行平面同時與第三個平面相交，則交線平行M新知梳理1 .平面與平面平行的性質定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行用符號表示為：如果all & aA y= l, K

2、產m,則m果.2 .兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例一. 教材拓展補遺微判斷1 .若 all 機 a? a , b? B ,則 a/ b.(x)提示 兩直線a與b 一定沒有交點，可能是異面或平行2 .如果 all B, a/ a,則 a/ 0( X)提示 a還可能在平面B內.微訓練1 .a/ % b/ & all &則a與b的位置關系是()A.平行B.異面C.相交D.平行或異面或相交解析按不同位置關系擺放，看是否符合即可.答案 D2 .若平面a/平面&直線a/ %點BC 3且B?a則在0內過點B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a

3、平行的直線C.存在無數條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線解析過一點有且只有一條直線與已知直線平行.答案 D微思考1 .若兩個平面a與B平行，則平面a內的直線與平面B有何關系？提示 平行.因為若a/ B,則兩平面沒有公共點，則平面a內的任一條直線都與B無交點，故平行.2 .若a/機則在這兩個平面內各取一點連得線段長相等嗎？提示 不確定，當各線段平行時，才相等.課堂互動題型一平面與平面平行的性質【例1】 已知AB, CD是夾在兩個平行平面 & B之間的線段，M, N分別為線 段AB, CD的中點.求證：MN/平面a證明 若AB, CD在同一平面內，則平面 ABDC與a, 0的交

4、線分別為AC, BD. v all & .AC/ BD.又M, N分別為線段 AB, CD的中點，a MN / BD./p又BD?平面a, MN?平面a,. MN/平面a.第若AB, CD異面，如圖所示，/bLV/過點A作AE/CD交a于點E,取線段AE的中點P,連接MP, PN, BE, ED. AE/CD,.AE, CD 確定平面 AEDC,且平面AEDC與a, B的交線分別為ED, AC.v all & .AC/ ED.又P, N分別為線段AE, CD的中點，.PN/ED.又 ED?平面 的 PN?平面 % ；PN/ a,同理可證 MP/ BE, MP / a,又 MPA

5、PN = P, .平面 MPN/平面 a.又MN?平面MPN,.MN/平面a規(guī)律方法 1利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看 作是平面的交線，往往需要有三個平面，即有兩平面平行，再構造第三個面與兩 平行平面都相交.2.面面平行？線線平行，體現了轉化思想，與判定定理的交替使用，可實現線線、 線面及面面平行的相互轉化.【訓練11 如圖所示，平面a/平面& AABC, AABC分別在a, B內，線段 AA', BB', CC'共點于 O, O 在 a, B之間，若 AB = 2, AC= 1, /BAC = 60°, OA : OA =

6、3 : 2,求ABC'的面積.解 相交直線AA； BB所在平面和兩平行平面 的B相交于AB, AB由面面平行的性質定理可得 AB / A B'同理易得 BC/BC', AC/AC'. / BAC與/ B AC'的兩邊對應平行且方向相反,./ BAC=/BA'C' .同理/ABC=/ABC', /BCA=/BCA . ABC與 A B C '的三內角對應相等,.ABCs/XABC；AB' OA' 2 =- = AB OA 3.而及ABC = 2ABAC sin/ BAC1c, 33=2X 2X1Xj2- =

7、22",2$ ABC AB'4又 ' S"BC = AB =5,Sa ABC = 4S ABC：4*：23 9929題型二平行關系的相互轉化【例2】已知M, N分別是底面為平行四邊形的四棱錐 P ABCD棱AB, PC的中點，平面 CMN與平面PAD交于PE,求證: (1)MN /平面 PAD;(2)MN / PE.證明 （1）如圖，取DC中點Q,連接MQ, NQ.,. NQMAPDC 的中位線，.NQ/ PD.v NQ?平面 PAD, PD?平面 PAD,NQ / 平面 PAD.M是AB中點，ABCD是平行四邊形， .MQ/AD,又 MQ?平面 PAD,

8、AD?平面 PAD,從而MQ /平面PAD. MQnNQ = Q, 平面 MNQ/平面 PAD. MN?平面 MNQ, . MN/平面 PAD.(2)由(1)知平面 MNQ/平面PAD,又平面PECO平面MNQ=MN,平面PECO平面 PAD = PE, .MN / PE.規(guī)律方法 線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，平行關系的判定 定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵，其內在聯系如下圖所示：或蚊與 -.龍境島劃定.平面嚀行“社平行飛一定一平西平行 -.解題時，往往通過構造輔助平面將線線平行、線面平行轉化為面面平行【訓練2】 如圖，平面四邊形ABCD的四個頂點A, B, C, D均在平

9、行四邊形ABCD'所確定的平面a外，且AA', BB； CC ； DD互相平行.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明 在?ABCD'中，A'B7/C'D'. AB?平面 CD DC, CD?平面 C'D'DC, .AB'/ 平面 CD DC.同理A A/平面CD DC.又 AAnA'B'= A',平面 ABBA/平面 CD DC.平面 ABCDA 平面 AB'BA=AB,平面 ABCDA 平面 CDDC = CD, - AB/ CD.同理AD / BC.四邊形ABCD是平行四邊形.核，匕素

10、養(yǎng)至面我升一、素養(yǎng)落地1 .通過應用面面平行的性質及各種平行關系的轉化解決問題，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng),提升邏輯推理素養(yǎng).2 .常用的面面平行的其他幾個性質(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.3 .空間中各平行關系間可以相互轉化，如圖.二、素養(yǎng)訓練1 .已知平面a/平面 就過平面a內的一條直線a的平面子與平面B相交，交線 為直線b,則a, b的位置關系是()

11、A.平行B.相交C.異面D.不確定解析 用面面平行的性質定理即可判斷 答案 A2 .若平面a/平面& a? a ,下列說法正確的是 (填序號).a與B內任一條直線平行；a與B內無數條直線平行；a與B內任一直線不 相交；a與B無公共點.解析 . a? a, a/B,a/B,a與0無公共點，從而a與B內任一直線不相交，正確；如圖，在正方體中，令線段BiCi所在的直線為a,平面A1B1C1D1為平面平面ABCD為平面3顯然a與B內無數條直線平行，故正確；又BiCi 與AB異面，故錯誤.答案3 .過正方體 ABCD AiBiCiDi的三頂點Ai, Ci, B的平面與底面 ABCD所在平面 的交

12、線為I,則l與AiCi的位置關系是.解析 因平面 ABCD/平面 AiBiCiDi,平面 ABCDn平面 AiCiB=I,平面AiBiCiDi平面AiCiB=AiCi,所以 A AiCi（面面平行的性質定理）.答案平行/ CAB= / CAB',4 .如圖，P是AABC所在平面外一點，平面 a/平面ABC, a 分別交線段 PA, PB, PC 于 A', B', C；若 PA'： AA'= 2 ： 3,解析 由平面 a/平面 ABC,得 AB/AB', BC/BC',AC/AC；由等角定理得 / ABC=/A'BC',

13、/ BCA= /B'C'A,Sa ABC AB'2 PA'24從而ABCs/XAB'C； AFABAFAB； =- =二 =寶.''Sa abcAB PA 25 答案245課后作業(yè)鞏國提高基礎達標一、選擇題1 .下列命題中，錯誤的是()A.若平面內一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行B.平行于同一個平面的兩個平面平行C.若兩個平面平行，則位于這兩個平面內的直線也互相平行D.若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一平面解析 由面面平行的判定定理和性質知 A, B, D正確；對于C,位于兩個平行平面內的直線也可

14、能異面.答案 C2 .設all機AS & BC B, C是AB的中點，當A, B分別在平面 內0內運動時， 那么所有的動點C()A.不共面B.當且僅當A, B分別在兩條直線上移動時才共面C.當且僅當A, B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D.不論A, B如何移動，都共面解析 由面面平行的性質定理知，點C應在過AB中點且平行于 或份的平面內.故選D.答案 DABC,線段 PA, PB, PC 分3 .如圖，P是4ABC所在平面外一點，平面 a/平面別父”于點 A, B, C ,若 &ABC =49 則A7'二(A.43BsB.4978D.4解析 由a/平面ABC,得

15、AB7/ AB,BC7/ BC.又由等角定理得/ABC'=/ABC,同理,/BAC'=/BAC,故ABCs/XABC；.A_B_'_3兇 .FA_， 3左=7=麗. AA= 4.答案 D4 .給出下面四個命題：分別在兩個平行平面內的兩直線平行；若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一平面；如果一個平面內的兩條直線平行于另一平面，則這兩個平面平行；如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行其中正確的命題是（）A.B.C.D.解析 錯，可能異面；對；錯，只有這兩條直線是相交直線才滿足； 對.答案 B5 .已知平面a/平面B, P是%

16、B外一點，過點P的直線m與% B分別交于A,C,過點P的直線n與a, B分別交于B, D且PA=6, AC = 9, PD = 8,則BD的長為（）_,、24_A.16B.24 或石C.14D.20解析 過P點的直線m, n確定一個平面丫; all 3則AB/CD,黑:黑當PAC BD24,，1在a, B的同側可得：BD = = ；當P在 BN何時得BD = 24.5答案 B二、填空題6 .給出四種說法：若平面 all平面 3平面 "/平面丫則平面a /平面T ；若平面a /平面B ,直線a與a相交，則a與B相交；若平面a/平面3 PC a, PQ/機則PQ? a ；若直線a/平面3

17、直線b/平面%且all &則a/ b.其中正確說法的序號是解析 正確，因平面a與丫沒有公共點；正確.若直線a 與平面B平行或a? B,則由平面a/平面B知a?域a與a無 公共點，這與直線a與a相交矛盾，所以a與B相交；正確.如圖，過直線 PQ作平面 下 /a= a,/B= b,由all B得a/b.因為PQ/ &PQ? Y,所以PQ/b.因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以直線a與直線PQ重合.因為a? a,所以PQ? a；錯誤.若直線a/平面B,直線 b/平面%且all 3則a與b平行、相交和異面都有可能答案7 .如圖，在長方體 ABCD AiBiCiDi中，

18、過BBi的中點E作個與平面ACBi平行的平面交AB與M,交BC與N,則MNAC解析 因為an平面GAC = AC, Bn平面GBD=BD,且all機 所以AC/BD,同理可證AE/ BF.又因為/ EAC與/FBD的兩邊同向，所以/ EAC=/FBD.又因為 GA= 9, AB= 12, AC/BD,所以=.BD GB 9+12 73答案3 三、解答題9 .如圖，在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD為等腰i梯形，AB/CD, AB = 2CD, E, Ei 分別是棱 AD, AAi 上的 T一： T 點.設F是棱AB的中點，證明：直線EEi/平面FCCi.證明 因為F為AB的

19、中點，所以AB=2AF,又因為AB = 2CD,所以CD = AF,因為 AB/ CD,所以 CD /AF,所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以 FC/AD,又 FC?平面 ADDiAi,AD?平面 ADDiAi,所以 FC/平面 ADDiAi, 因為 CCi / DDi, CCi?平面 ADDiAi,DDi?平面 ADDiAi,所以 CCi/平面 ADDiAi,又 FCACCi = C, 所以平面 ADDiAi /平面FCCi.又 EEi?平面 ADDiAi,所以EEi /平面FCCi.10 .如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，點N在BD上，點M在BiC上，且CM = DN.求證

20、：MN/平面 AAiBiB.證明 如圖，作MP/ BBi交BC于點P,連接NP,. MP / BBi,.CM CP. MBi = PB.BD = BiC,DN = CM, a MBi = NB,CM DNCP DNMBi NB'PB NB' .NP/ CD /AB. NP?平面 AAiBiB, AB?平面 AAiBiB, .NP/ 平面 AAiBiB. MP/ BBi, MP?平面 AAiBiB, BBi?平面 AAiBiB, . MP/平面 AAiBiB.又MP?平面 MNP, NP?平面 MNP, MPANP=P, 平面 MNP / 平面 AAiBiB. MN?平面 MNP

21、, . MN/平面 AAiBiB.能力提升11 .（多選題）已知平面a/平面B,直線a? a ,直線b? B ,則a與b的位置關系可 能為（）B.a±bA.a / bC.a與b異面D.a與b相交解析 因為平面all平面就直線a? %直線b? B,所以直線a與直線b無公共點.當直線a與直線b共面時，a/b;當直線a與直線b異面時，a與b所成的角 大小可以是90°.綜上知，A, B, C都有可能出現.答案 ABC12 .已知底面是平行四邊形的四棱錐 P ABCD中，點E在PD上，且PE ： ED =2 ： 1,在棱PC上是否存在一點F,使BF /平面AEC?若存在證明你的結論，

22、并 說出點F的位置；若不存在，請說明理由.解 當點F是PC的中點時，BF/平面AEC.證明如下：如圖，連接BD交AC于。點，連接OE,過B點作OE的平行線交PD于點G, 過點G作GF / CE,交PC于點F,連接BF. BG/OE, BG?平面 AEC, OE?平面 AEC,BG / 平面 AEC.同理，GF/平面 AEC,又 BGAGF = G.平面BGF /平面AEC,又BF?平面BGF,BF / 平面 AEC.BG/OE,。是BD的中點，；E是GD的中點.又 v PE : ED= 2 ： 1, . G 是 PE 的中點.而GF/ CE, . .F為PC的中點.綜上，當點F是PC的中點時，BF/平面AEC.創(chuàng)新猜想13 .（開放題）如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E, F, G,H分別為CCi, C1D1, DiD, CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH 及其內部運動，則M滿足時，有MN/平面BDDiBi（填上一個你認為正確的條件即可）.解析如圖，取BiCi的中點P,連接 NP, NH, MN, HF, PF,則可證明平面NPFH