藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)23二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃

1、考點(diǎn)二十三二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃知識梳理1 .二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域直線l: Ax+ By+C=0把直角坐標(biāo)平面內(nèi)的所有點(diǎn)分成三類：在直線Ax+By+C= 0上的點(diǎn)；在直線Ax+By+C= 0上方區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；在直線Ax+By+C= 0下方區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).(2)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域：不等式組中各個不等式表示平面區(qū)域的公共區(qū)域.2 .確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法基本方法：“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，即先作直線，再取特殊點(diǎn)并代入不等式組.若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€與特殊點(diǎn)同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點(diǎn)異側(cè)的平面區(qū)域.(2)關(guān)

2、于邊界問題：當(dāng)不等式中帶等號時(shí)，邊界為實(shí)線，不帶等號時(shí)，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點(diǎn)常取 原點(diǎn).3 .線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義約束條件變量x、y滿足的一次不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的線性函數(shù)可行域約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題4.利用線性規(guī)劃求最值的基本步驟(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形.(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值

3、或最小值典例剖析題型一 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1 (1)已知點(diǎn)P(3, 1)和A(1,2)在直線ax+2y1 = 0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為x-3y+60（2）不等式組5表布的平面區(qū)域是.（填序號）|x-y+20答案 (1)(8, 1)U(3, +8)(2)解析 (1).P、A 在直線 ax+2y1=0 的兩側(cè)，(3a-3)(- a+3)3 或 a1.（2）把（0,0）代入第一條直線，滿足不等式，所以在x- 3y+6 = 0的下方區(qū)域（含邊界），把（0,0）代入第二條直線，不滿足x y+20,所以在直線xy+2=0的上方區(qū)域（不含邊界），取二者公共區(qū)域， 答案為.r2x+

4、y-60,表示的平面區(qū)域的面積.y 22x+y-60,表示的平面區(qū)域如圖所示（陰影部分），4ABC的面積即為所求.2求出點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo)分別為1A(1,2), B(2,2), C(3,0),則 ABC 的面積為 S= 2X(21)X2=1.解題要點(diǎn) 判斷在直線哪一側(cè)，一般取特殊點(diǎn)，如果直線不過原點(diǎn)，就取原點(diǎn)判斷；若直線過原點(diǎn), 就另取點(diǎn)（1,0）或（0,1）等判斷.題型二 求線性目標(biāo)函數(shù)最值問題-x1,答案 7z= x+ 3y,解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.y=- 1x+ z. 33將直線y=1x向上平行移動，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) C時(shí)，z取得最大值，由方程組1y x-1,3X+y=

5、3,x= 1,得 i，C(1,2),y=2.二. z 的最大值為 zmax= 1 +3X2 = 7.x+ y - 2 w 0,變式訓(xùn)練 (2015新課標(biāo)I文)若x, y滿足約束條件x 2y+1W0,則z=3x+y的最大值為12x y+20,答案 4解析 x,y滿足條件的可行域如圖所示的陰影部分，當(dāng)z=3x+ y過A(1,1)時(shí)有最大值，z=4.解題要點(diǎn)求z= ax+ by(abw 0)的最值方法將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=-7x+7,通過求直線的截距 :的最值間接求出z的 b bb最值.(1)當(dāng)b0時(shí)，截距z取最大彳1時(shí)，z也取最大值；截距 后取最小值時(shí)，z也取最小值;當(dāng)b0時(shí)

6、，截距z取最大彳1時(shí)，z取最小值；截距z取最小值時(shí)，z取最大值. bb準(zhǔn)確做出可行域，是解決此類問題的關(guān)鍵題型三利用線性規(guī)劃求解非線性問題最值x-4y+3 1.設(shè)z= y,求z的最小值；(2)設(shè)z= x2+ y2,求z的取值范圍.x-4y+3 0,解析 由約束條件3x+ 5y-25 1,x= 1,F 22 1由:525 0 解得人，5 /r .x= 1,由1解得C(1, 1).|x 4y+3=0,x- 4y+3=0,由f解得B(5, 2).l3x+5y-25= 0,y y 0(1).z=,J x x- 0z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率.觀察圖形可知Zmin=koB = 2.5(2)z

7、= x2+ y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中, dmin=OC|=皿，dmax=OB|=V29.2z- x+ 1,yWx+1,答案1, 5,即為求不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（0, 1）的連線斜率k解析由題可知y+1 y ( 1)x 0的取值范圍，由圖可知kC 1, 5.解題要點(diǎn) 解決此類問題，關(guān)鍵是弄清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解。常見 的目標(biāo)函數(shù)及其幾何意義如下:斜率型：y表示點(diǎn)（x, y）與原點(diǎn)（0, 0）連線的斜率值； x匕b表示點(diǎn)（x, y）與點(diǎn)（a, b）連線的斜率值. x a（2）距離型：W+y2表示點(diǎn)

8、（x, y）與原點(diǎn)（0, 0）的距離；N （x a） 2+ （ yb） 2表示點(diǎn)（x, y）與點(diǎn)（a, b）的距離；題型四 利用線性規(guī)劃求解實(shí)際問題例4 （2013湖北高考）某旅行社租用 A, B兩種型號的客車安排 900名客人旅行，A, B兩種車輛的 載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于 A型車7輛，則租金最少為 .答案 36 800元3 36x+60y900,yxW7,解析 設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，則約束條件為,y+x0,1. （2015安徽文）已知x, y滿足約束條件 儀+y4W 0, 則z= 2x

9、+ y的最大值是 . yfi,答案 1解析 約束條件下的可行域如圖所示，由z= 2x + y可知y=2x + z,當(dāng)直線y=2x+z過點(diǎn)A（1,1）時(shí),截距最大，此時(shí)z最大為1.Zx+ 5y 8,2. （2015廣東理）若變量x, y滿足約束條件1WxW3,則z= 3x+ 2y的最小值為 10 W y W 2 ,答案23 5解析 不等式組所表示的可行域如下圖所示,z取得最小值即由z= 3x+ 2y得y=3x+ z,依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l: y= x+W經(jīng)過A* , 4 I 22225c , c 423Zmin=3X1 + 2X5=T.x+ y 4,3. （2015湖北文）設(shè)變量x, y滿足約束條

10、件x y 0,答案 10解析 作出約束條件表示的可行域如圖所示:易知可行域邊界三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是3x+y,求得的值分別為10,6, 6,比較可得(3,1), (1,3), (1, 3),將三個點(diǎn)的坐標(biāo)依次代入3x+ y的最大值為10.x 一 2 w 0,則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為4. (2015天津文)設(shè)變量x, y滿足約束條件 似2yw 0,、x+2y 8Q5. (2015新課標(biāo)I理)若x, y滿足約束條件ix-y 0,1. （2015福建理）若變量x, y滿足約束條件彳x y 0,答案-5解析 如圖，可行域?yàn)殛幱安糠郑€性目標(biāo)函數(shù)z=2x y可化為y= 2x-z,由圖形可知當(dāng)

11、 y=2xz過點(diǎn)（T，1 M z 最小，zmin=2* （勤1=- 2.x+y 50,則z= 2x+ y的最大值為lx-2y+10,答案 8解析x+ y 50,表示的可行域，為如圖所示的陰影三角形ABC.作直線I。： 2x+y= 0,2y+ K0x+ y 5=0,平移l0到過點(diǎn)A的直線l時(shí)，可使直線z= x+y在y軸上的截距最大，即z最大，解”x- 2y+ 1 = 0x= 3，rr _一 一_ _得； 即 A（3,2）,故 z最大=2X 3+ 2=8.y=24:2*+*口a+X-5-01噸每種產(chǎn)品所需3萬元、4萬元，3. （2015陜西文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用 A, B兩種原料，已知

12、生產(chǎn)原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為 甲乙原料限額A（噸）3212B(噸)128答案 18萬元3 3x+ 2yw 12,一 、_ ,., 一,1x+2y0,1 y 0,目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y,線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn) A處取到最大值.x+ 2y= 8,由 得 A（2,3）.|3x+2y= 12,則 Zmax= 3X2+4X3= 18（萬元）.x-y0,4.（2015山東理）已知x,y滿足約束條件ix+y0,若z= ax+y的最大值為4,則a=答案 2解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.

13、易知A(2,0),x y= 0,由得 B(1,1).由 z= ax+y,得 y= ax+z.y=2,當(dāng)a=2或a=3時(shí)，z= ax+y在O(0,0)處取得最大值，最大值為Zmax=0,當(dāng)a=2或3時(shí)，z= ax+y在A(2,0)處取得最大值，2a = 4,a = 2.x+2y0,則z=2x+ 3y的最大值為 、xW4,答案 5解析 如圖，過點(diǎn)（4, 1）時(shí)，z有最大值Zmax= 2X4-3= 5.x+y1,6. （2015湖南文）若變量 x, y滿足約束條件iy-x1,解析 作出SyxW1,表示的平面區(qū)域如圖：平移直線y=2x-z知，過點(diǎn)M（0,1）時(shí)，x0,7. （2015天津理）設(shè)變量x,

14、 y滿足約束條件x-y+30,則目標(biāo)函數(shù)z=x+ 6y的最大值為i2x+ y 3W 0,答案 18解析 畫出約束條件的可行域如圖陰影，作直線 l: x+6y=0,平移直線l可知，直線l過點(diǎn)A時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=x+ 6y取得最大值，易得 A（0,3）,所以Zmax= 0+6X 3= 18.x+y0,若z=2x y的最大值為2,則實(shí)數(shù)m8. （2015福建文）變量x, y滿足約束條件ix-2y+20, gx yw 0.等于.答案 1解析 當(dāng)m=2時(shí)，可行域如圖（1）,直線y=2xz的截距可以無限小，z不存在最大值.當(dāng)m= - 1時(shí)，mx yW0等同于x+ y 0,可行域如圖（2）,直線y=2x z的

15、截距可以無限小，z不 存在最大值.當(dāng)m= 1時(shí)可行域如圖（3）,當(dāng)直線y=2x-z過點(diǎn)A（2,2）時(shí)截距最小，z最大為2.當(dāng)m= 2時(shí)，可行域如圖（4）,直線y=2x z與直線OB平行，截距最小值為 0, z最大為0.x - y +1 0,9. （2015新課標(biāo)II理）若x, y滿足約束條件ix-2y 0, 則z= x+y的最大值為 x+2y 20,彳x2yW0,表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影三角形ABC.作直線6 x+ y=0,平移1。到過點(diǎn)Ax+2y-2W0x 2y= 0, 的直線l時(shí)，可使直線y=-x+z在y軸上的截距最大，即 z最大，解8+ 2y-2=0x= 1,得 1y=2,%.即 A

16、（1, 2）故 z最大= 1 + 1 = |.x+y3,一,一 r 一一、，-y + 1 , 一 , 一、，10.設(shè)變量x. y滿足約束條件：x-y- 1, 則目標(biāo)函數(shù)z=的取小值為xNxyw 3,答案 1解析 不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中的ABC,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(0,x+ y= 3,1)連線的斜率，顯然圖中AP的斜率最小.由1解得點(diǎn)A的坐2x-y=3,，,一 一 v+1, 一，-1 + 1標(biāo)為(2,1),故目標(biāo)函數(shù)z=匕的最小值為 寧 =1.x2x+ yw 10,11 .已知x和y是實(shí)數(shù)，且滿足約束條件 Jx-y 7,答案232 z2解析 做出不等式對應(yīng)的可仃域如圖所

17、不，由z=2x+3y得y=- -x+-,做直線y=-x,平移直線3 33y= ：x,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，直線y= jx+3的截距最小，此時(shí)z最小，又eg, 2 !,代入目標(biāo)函數(shù)得z= 2x+ 3y= 2X7+3x3=23.*4二、解答題12 .咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙種飲料每杯含奶粉 4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克，甲種飲料每杯能獲利潤 0.7元，乙種飲料每杯能獲利潤 1.2元，每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大?解析 設(shè)每天配制甲種飲料 x杯、乙種飲料y杯可以獲得最大利潤，利潤總額為z元.由條件知：z= 0.7x+ 1.2y,9 9x+4y3600,! 4x+5y2000, 變量x、y滿足3x+ 10y0, y 0,且x、y均為整數(shù).作出不等式組所表示的可行域如圖所示.作直線 l: 0.7x+ 1.2y=0,把直線l向右上方平移至經(jīng)過 A點(diǎn)的位置時(shí)，z= 0.7x+1.2y取最大值.3