河北省近五年中考數(shù)學壓軸題綜述

1、學習必備歡迎下載河北省近五年中考數(shù)學壓軸題綜述河北省中考數(shù)學最后一道壓軸題的命制，從 1996年至2001年的近五年來呈現(xiàn)出一個規(guī) 律：都是幾何圖形運動型的綜合題，并且由運動的幾何圖形來看，類型各異，頗具特色。一、單點運動型例1 (1999年河北省中考壓軸題)如圖1-1 ,正方形OABC勺頂點O在坐標原點，且OA力3425與AB邊所在直線的解析式分別為：y=0x和丫=-3乂+了。口 E分別為邊O3口 AB的中點，P為OA邊上一動點(點P與點。不重合)，連結(jié)DE和CP其交點為 Q(1)求證：點Q為COP勺外心；(2)求正方形OABC勺邊長；(3)當。Q與AB相外切時，求點P的坐標。解：(1) .

2、= E分別為正方形OAB價OC AB的中點，才4DE/ OA氣3 '總.Q也是CP的中點。飛耳卜又; CP是RtzXCOP勺斜邊，困L圖片2點Q為COP勺外心。4上25由方程組P'W 不x = 4解得2 點A的坐標為(4 , 3)。過點A作AF，ox軸，垂足為點F。.OF=4 AF=3由勾股定理，得OA=±* =5。如圖1-2,當COP勺外接圓。Q與AB相切時, .圓心Q在直線DE±,且DEL AB,.E為。Q與AB相切的切點。又; AE和APO別是。Q的切線與割線 .AU=AP AO5v OA=5 AE=5. .( )2=AP 5,5 .AP廿5 = 15

3、當。Q與AB相切時，OP=51 百作PHLox,垂足為H。v PH/ AF, OP _ OH _ PH. F ，P*OF .OH=OP* AFPH= ，9點P的坐標為（3, 1）二、雙點互動型例2 （1997年河北省中考壓軸題）已知：如圖2-1，在直角梯形ABC時,AD/ BC / B=90° , AB=8厘米，AD=24E米，BC=26厘米，AB為。0的直徑。動點P從點A開始沿AD邊向點D以 1厘米/秒的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度運動。P、Q分別 從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。設運動時間為t秒。求：（1）t分別為何值

4、時，四邊形PQC3平行四邊形、等腰梯形？（2）t分別為何值時，直線 PQ與。0相切、相交、相離？歸f工解：（1）AD/ BC（ 0） 只要QC=PD四邊形PQCM平行四邊形。此時，有3t=24-t ,圖zt解，得t=6o即當t=6秒時，四邊形PQCM平行四邊形。同理，只要PQ=CDPAQC 四邊形PQC為等腰梯形。過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點（如圖2-2）,則由等腰梯形的性質(zhì)可知:EF=PD QE=FC=21 .2= 3t（24-t）解得t=7；t=7秒時，四邊形PQC師等腰梯形。F BAPDEJZ-2圖 2-3 設運動t秒時，直線PQ與。0相切于點G（如圖2-3）,過P作PHI

5、BC垂足為H。 貝U PH=AB BH=AP即 PH=8 HQ=26-3t-t=26-4t 。由切線長定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t由勾股定理，得pQ=pH+hQ, 即（26-2t） 2=82+（26-4t） 2 化簡整理，得3t2-26t+16=0解，得 t 1= 2 , t 2=82即t= ?秒或t=8秒時，直線PQ與。0相切。%2.t=0（秒）時，PQ與。0相交；當t=7=83（秒）時，Q點運動到B點，P點尚未運動到D 點，但也停止運動，此時 PQ也與。0相交。2.當t=4或t=8時，直線PQ與。0相切；22當0<t< 4或8<t083時，直線P

6、Q與。0相交；2當G <t <8時，直線PQ與。0相離。三、直線平移型例3 （2000年河北省中考壓軸題）在如圖3-1所示的直角坐標系中，點C在y軸的正半軸 上，四邊形OABC；平行四邊形，OA=2 /AOC=60 ,以OA為直徑。P經(jīng)過點C,點D在y軸 上，DM始終與y軸垂直且與AB邊相交的動直線，設DM與AB邊的交點為MR M在線段AB 上，但與A、B兩點不重合），點N是DMt BC的交點設OD=i（1）求點A和B的坐標；（2）設BMN勺外接圓。G的半徑為R,請彳用t表示R及點G的坐標；（3）當。G與。P相切時，求直角梯形 OAMDJ面積。圖3T圖上 2解：（1）連結(jié)AG. O

7、A為OP的直徑，./ ACO=90又. OA=2 /AOC=60, a OC=1 AC=7點A的坐標為（曲,1）又OAB平行四邊形，: AB' OC點B的坐標為（右,2）（2） . DMLy 軸，且 AB/ OC . . DML AB丁. / NMB=90.OG的圓心G為BN的中點。£又/ B=/ AOC=60 ,. BM= BN=R而點B的縱坐標為2,點M的縱坐標二點D的縱坐標工，BM=2t ,. R=2-t過點G作GH/ y軸，交x軸于點H,交DMT點F;過點G作GK/ x軸，交AB于點K（如圖 3-2)。 1 1根據(jù)垂徑定理，得到：FM= MN KM= BM設點G的坐標

8、為(x, y) v NM(2-t)1 94.x=DM、N5-了 (2-t尸 t,1 1 1y=OD+ BM=t+2 (2-t)=1+ 9 t。 g 1.二點G的坐標為(丁 t , 1+入)。(3)連結(jié)GP過點P作PEE/ x軸，交GHT點E 由pn ge根據(jù)勾股定理得：GP=：e -當。G與。P外切時，PG=R+1=3-t o88解得t= 5,經(jīng)檢驗t= $是原方程的根。83此時，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC= 83.止匕時，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC=,.直角梯形OAM的面積為：QD+AM lllx 昭益S= 2, DM= 2=1。四、點線共動型例4 (

9、2001年河北省中考壓軸題)如圖4-1 ,在菱形ABCm,AB=1Q / BAD=60。點M 從點A以每秒1個單位長的速度沿著 AD4向點D移動；設點M移動的時間為t秒(0&t &10)。D C D C圖4T圖燈2(1)點N為BC邊上任意一點。在點M移動過程中，線段MN1否一定可以將菱形分割成面 積相等的兩部分？并說明理由；(2)點N從點B(與點M出發(fā)的時刻相同)以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動, 在什么時刻，梯形ABNM勺面積最大？并求出面積的最大值；（3）點N從點B（與點M出發(fā)的時刻相同）以每秒a（a >2）個單位長的速度沿著射線 BC方向 （可以超越C點）

10、移動，過點M作MP/ AB,交BC于點P。當zMP陣zABC時，設 MPNf菱形 ABCDM疊部分白面積為S,求出用t表示S的關系式，并求出S=0時a的值。解：（1）MN一定能在某一時刻將菱形ABC盼割成面積相等的兩部分。對于中心對稱圖形，過中心的任一直線均能將圖形分割成面積相等的兩部分。而且菱形 是中心對稱圖形（如圖4-2所示）。在點M由A到D的移動過程中，一定存在一個時刻，使得線段MN±菱形的中心。（2）過B作Bn AD 垂足為E（如圖4-3）。在 RtzXABE中，BE=10sin60° =5百. AM=t BN=2t,115由S 梯形 ABN=2 （t+2t） X5

11、 鳳亍 t。V2t<10, /.t<5二當t=5時，S梯形ABN最大。15,行75一最大面積為：3 X5= 2 。 ABC是腰長為10的等腰三角形。當4AB四 ABC時（如圖4-4）MP=10 PN=BC=10 且 MP=PN . NC=PNPC=BC-PC=PBBP=AM=t .PC=10t , NC=t過P作PGL DC垂足為G 立在 RtAPGOt, PG=PCsin60 二 三 （10-t）。 設 MNft DC于 F,. DC/ MP 且 MP=PN ./ NFCW NMP =MNP .FC=NC=i.重疊部分MPCF1梯形，. . S=1 （t+10） X 亍（10-t

12、尸- 彳 12+25出 皂當 S=0,即-4 12+25在=0 時，解得 3=10, t2=-10（舍去）. BN=at,且 BN=PN+PB=10+t at=10+t 。將 t=10 代入 at=10+t ,解得a=2。五、點圓齊動型例5 (1998年河北省中考壓軸題)如圖5-1所示，一11輪船以20浬/時的速度由西向東航 行，途中接到臺風警報，臺風中心正以 40浬/時的速度由南向北移動，距臺風中心 20如,浬 的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風區(qū)。當輪船到A處時，測得臺風中心移到位于點 A正南方向(1)若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最初 遇到臺風的時間；

13、若不會，請說明理由；(2)現(xiàn)輪船自A處立即提高航速，向位于東偏北 30°方向，相距60浬的D港駛?cè)?。為使臺風到來之前，到達D港，問船速至少應提高多少(提高的船速取整數(shù)，E=3.6)?解：(1)設途中會遇到臺風，且最初遇到臺風的時間為 t小時，此時，輪船位于C處，臺 風中心移到E處，連結(jié)CE(如圖5-2)。WJ有 AC=20t, AE=AB-BE=100-40t EC=2酒。在 RtzXAEC中，AC+AE=EC,(20t) 2+(100-40t) 2=(20 M)2。整理，得t2-4t+3=0 . =(-4) 2-4x1X3=4> 0,途中會遇到臺風。解，得 t1 = 1, t

14、2=3o 最初遇到臺風的時間為1小時。(2)設臺風抵達D港時間為t小時，此時臺風中心至M點。過D作DF,AB,垂足為F,連 結(jié)DM在 RtzXADF中，AD=6Q / FAD=60 , . DF=3/，F(xiàn)A=3Q又(30 白)2+(130-40t) 2=(20 加)2,整理，得 4t2-26t+39=013-12 +而解之，得 t1=&, t2=4。13-臺風抵達D港的時間為-小時。1”而 的二.輪船從A處用 4 小時到D港的速度為60+4=25.5。因此，為使臺風抵達D港之前輪船到D港，輪船至少應提速6浬/時。連續(xù)五年的中考壓軸題都以幾何圖形的運動為命題背景，并非純屬巧合。大概主要原

15、因 是命題者看中了這種題目的綜合性強、對思維能力的要求高這一頗具選拔性的功能；而在動 中求靜的辨證統(tǒng)一思想，又成為體現(xiàn)數(shù)學中辯證法的很好素材。由此可見，無論從此類題目 的命題形式、還是考查意圖上，把它放在最后一道壓軸題的位置，都是恰如其分的。,BC=16, DC = 12, AD = 21o 動點 P 從動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒(05河北).如圖12,在直角梯形 ABCD中，AD/BC, /C = 90° 點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動， 1個單位長的速度向點 B運動，點P, Q分別從點D, C同時出 發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運

16、動的時間 為t (秒)。(1)設 BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式；(2)當t為何值時，以B, P, Q三點為頂點的三角形是等腰三 角形？(3)當線段PQ與線段AB相交于點 O,且2AO=OB時，求 / BQP的正切值；(4)是否存在時刻t,使得PQXBD?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。(06河北).如圖13,在RtABC中，/ C=90° , AC=12, BC= 16,動點P從點A出發(fā)沿 AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點 Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動.P, Q分別從點A, C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止

17、運動.在運動過程中，PCQ關于直線PQ對稱的圖形是 PDQ.設運動時間為t (秒).(1)設四邊形PCQD的面積為y,求y與t的函數(shù)關系式;(2) t為何值時，四邊形 PQBA是梯形？(3)是否存在時刻t,使得PD/AB?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由;(4)通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t,使得PDXAB?若存在，請估計t的值在3<t<4);括號中的哪個時間段內(nèi)(0WtW1； 1vtw2; 2vtw3;若不存在，請簡要說明理由.(07 河北).如圖 16,在等腰梯形 ABCM, AD/ BC AB=D(=50,At=75 ,BG135.點P從點B出發(fā)沿折線

18、段 BAADDC以每秒5個單位長的速度向點 C勻速運動；點 Q從點C出發(fā) 沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動， 過點Q向上作射線QKL BC交折線段CDDAABT點E.點 P、Q同時開始運動，當點 P與點C重合時停止運動，點 Q也隨之停止.設點 P、Q運動的時間是t秒(t >0).(1)當點P到達終點C時，求t的值，并指出此時 BQ的長；(2)當點P運動到AD上時，t為何值能使 PQ/ DC ?(3)設射線QK掃過才形ABCD勺面積為S,分別求出點E運動到CD DA上時，S與t的函數(shù)關系式；(不 必寫出t的取值范圍)(4) PQE!歸否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若

19、不能，請說明理由.(08 河北).如圖 15,在 RtzXABC 中，/C =90，, AB = 50, AC = 30, D, E, F 分別是 AC, AB, BC 的中點.點P從點D出發(fā)沿折線 DE -EF -FC -CD以每秒7個單位長的速度勻速運動； 點Q從點B出 發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動， 過點Q作射線QK 1 AB ,交折線BC -CA于點G .點P, Q同時出發(fā)，當點 P繞行一周回到點 D時停止運動，點Q也隨之停止.設點 P, Q運動的時間是t秒 (t >0).(1) D, F兩點間的距離是;(2)射線QK能否把四邊形 CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出 t的值.若不能，說明理由；(3)當點P運動到折線EF - FC上，且點P又恰好落在射線 QK上時，求t的值；(4)連結(jié)PG ,當PG / AB時，請直接寫出t的值.(09河北)如圖16,在RtABC中，/ C=90°, AC = 3, AB = 5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長 的速度向點A勻速運動，到達點 A后立刻以原來的速度沿 AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單 位長的速度向點 B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于點D,交折線QB-BC-CP