平面向量常見題型匯編3坐標(biāo)系法處理平面向量的數(shù)量積

1、坐標(biāo)系法處理平面向量的數(shù)量積在處理向量數(shù)量積問題時，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點的坐標(biāo)，則考慮將向量坐標(biāo)化，一旦所求向量用坐標(biāo)表示,其數(shù)量積等問題迎刃而解。1.數(shù)量積的定值問題例題1：在邊長為1的正三角形ABC中,uurBCuuir uuruur2BD,CA 3CE，則解析:uuu ADuuuBE觀察到本題圖形為等邊三角形，所以考慮利用建系解決數(shù)量積問題，如圖建系： A。后2,B2,0,C2,0卜面求E坐標(biāo)：令x,yuuuCE12,yuur,CAuur 由CAuuu3CE可得:3y12J213蟲6uurADuur ,BE56,6uuurADuuuBE變式1：如圖，

2、在矩形 ABCD中,AB J2, BC 2，點 E 為uuu uuir_uuir uurBC中點，點F在邊CD上，若AB AF 亞，則AE BF的值是解析:本題的圖型為矩形，且邊長已知，故考慮建立直角坐標(biāo)系求解，以A為坐標(biāo)原點如圖建系:B應(yīng)0 ，設(shè)F x, y，由F在CD上可得yuur2 ,再由uuu uur _AB AF 22解出uuuAB_uuir、2,0 ,AFuuurx,2uuu uuur _AB AF ，、2x 、,2F 1,2 , E 72,1uurAE_uuir,21 , BFuurAEuur _BF 2 1變式2:如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于，點P是MD的中點,u

3、urABuuur2, ADuuir uuuBAD 60o,則 AP CP分析：本題抓住 BAD 60o這個特殊角，可以考慮建立坐標(biāo)系,uuu同時由ABuuu2 , AD可以寫出各點坐標(biāo)，從而將所求向量坐標(biāo)化后即可求解解析：以AB為x軸，過A的垂線作為y軸,可得:2,0C 1 ,3 C，D 2，T，C5,、,32,P3-38uuuAP3-38uuu ,CP1385.38uurAPuuuCP1381782，er r1 ,則a b最小值是r r r r r r r r r例題2：平面向量a,b,c滿足a e 1,b e 2, a b分析：本題條件中有2可利用向量數(shù)量積的投影定義得到r r ra, b

4、在 e上的投影分別為1,2 ,通過作圖可發(fā)現(xiàn)能夠以re的起點為原點，所在直線為x軸建立坐標(biāo)系,r rr rr r則a,b起點在原點，終點分別在x 1,x 2的直線上，從而 a,b可坐標(biāo)化，再求出 ab的最值即可r r解析：如圖建系可得：a 1,a ,b 2,b,r r a .22由 a b 2 可得：1 1 2 a b 2b a .3r r而a b 2 ab ,由輪換對稱式不妨設(shè) a2 a a 3 3r ra bmin變式3:已知點M為等邊三角形 ABC的中心，AB2,直線l過點M交邊AB于點P ,uuu交邊AC于點Q ,則BQuuuCP的最大值為分析：本題由于l為過M的任一直線，所以 AP

5、: AB,AQ : AC的值不確定，從而不容易利uuur uuu用三邊向量將BQ,CP進(jìn)行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點，建立直角坐標(biāo)系，從而A,B,C,M坐標(biāo)可解，再借助解析幾何的思想設(shè)出直線l方程，與AB, AC方程聯(lián)立解出uuu uur解析：以BC,AM為軸建立直角坐標(biāo)系,1,0 ,C 1,0 , A 0, .3 ,M0,；設(shè)直線l :y kx蟲由B31,0 ,C1,0,A 0,、3可得:P,Q坐標(biāo)，從而BQ CP可解出最大值3.數(shù)量積的范圍問題AB: ykxJ3 得:Q:kx得:2.33 k 3.3、3,3k 1k ,3uuurBQuuu5,3 3k .3k 1-,CP,33k,3

6、kuuurBQuuuCP5,3 3k3 k 35x3 3kk3k ；3k .3-275 9k9 k2 33k2 1k2 3_ 26k 223 k2 3_ 26k 223 k2 3_2 一6k 1840340k2 31 ,AC:若直線與AB,AC相交，則uuurBQuuu140CP 6 -23k2 3400 3229例題3：如圖，在直角三角形 ABC中，AC J3,BC 1,點M,N分別是AB,BC的中點，點P是VABC內(nèi)及邊界上的任一點，則uuir uuurAN MP的取值范圍是uuur分析：直角三角形直角邊已知，且P為圖形內(nèi)動點，所求MP不便于用已知向量表示，所以考慮建系處理。設(shè)Px,y ,

7、從而可得uur uuur 1 一 5AN MP -x J3y ,而P所在范圍是一塊區(qū)域，所以聯(lián)想到24用線性規(guī)劃求解解析：以AC,BC為軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ) 0,、3 ,B 1,0 ,M1 /3z 1 n一，,N 一,02 22，設(shè) P x,yuurAN1 uuur 132，3，MPx 2，y 萬imr uuur 1AN MP - x -223yA1x ,3y 5224uuir uuur數(shù)形結(jié)合可得：AN MP變式4：如圖，四邊形ABCD是半徑為的圓。的外切正方xyfuuu uuu形，VPQR是圓。的內(nèi)接正三角形，當(dāng) VPQR繞著圓心。旋轉(zhuǎn)時，AQ OR的取值范圍是分析：本題所給的圖形為正方形及

8、其內(nèi)切圓，可考慮建立直角坐標(biāo)系，為了使坐標(biāo)易于計算,可以O(shè)為坐標(biāo)原點如圖建系：O 0,0 ,A1, 1 ,確定Q,R點的坐標(biāo)是一個難點，觀察兩個點之間的關(guān)系，無論VPQR如何轉(zhuǎn)動,2ROQ ，如何從這個恒定的角度去刻回3此圓上兩點坐標(biāo)的聯(lián)系呢:考慮圓的參數(shù)方程（參數(shù)的幾何意義為圓心角,與角度相聯(lián)系），設(shè)R cos ,sin ,從而Q cos,sin 30,2,用的三角函數(shù)將兩點坐標(biāo)表示出來,從而可求出uuuAQuuuOR的范圍解析:uuirAQcos1,sinuuu ,ORcos ,sinumrAQuuuORcoscossinsin=cos1一 cos2, 3 .sin2sin1 .一 sin

9、23一 cos21 -cos2. 3 .sin2coscos1. 2一 sin23 .一 sin cos2sinsincos2 sinQ 0,2uurAQuuuORuuu變式5：在平面上，AB,uuur uuur uuuui uur AB2 , |OB1 OB2I 1,APuuurAB1uuuuAB2uuu , _ _OA的取值范圍是uuiruuuu分析：以AB1AB2為入手點，考慮利用坐標(biāo)系求解,uuur題目中AB1uuuu,AB2和。點坐標(biāo)均未知，為了能夠進(jìn)行坐標(biāo)運算，將其用字母表示：設(shè)UULTAB1uuuua, AB2 b,O x, y ,則4 a,0 ,B2 b,0 ,P a,b ,所求uuuOA范圍即為求的范圍。下一步將題目的模長翻譯成a,b,x,y關(guān)系，再尋找關(guān)M廠的不等關(guān)系即可解析：如圖以AB1, AB2uuurAB1uuuua, AB2b,O x, y ，立坐標(biāo)系：設(shè)a,0 ,B2b,0,P a,