空間立體幾何講義全

1、一、基本概念1 .空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示.2 .向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模.記為 閑，a特別地：規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作 0 ；模為i的向量叫做單位向量；13 .相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4 .負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量.如a的相反向量記為-a.5 .共線與共面向量(1)共線向量：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a / / b.(2)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量.(3)定理共線向量定理：對(duì)于空間任

2、意兩個(gè)向量 Lb(b 0),ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得a b.共面向量定理：如果兩個(gè)向量 a b不共線，則向量7與向量2、b共面的充要條件是存在唯一的有序史書對(duì)(x, y),使得p xa yb.6 .注意：零向量的方向是任意的，規(guī)定 0與任何向量平行；單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1 ；方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共面向量；一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大小.林拈向更t平行間里)表示空Tfi同量的口應(yīng)網(wǎng)所在的白叱丘邕嶼一興£向邕平行于同一平面國(guó)向量-共能量定至共赤堡定理若兩

3、個(gè)向近.7戶榭叫向堂5與何量片.聯(lián)面o存在畸一的有序玦對(duì)以y), 哈嗝空地量基本定累門)定他 如果三個(gè)向量之、1、環(huán)其面那時(shí)空間任一向量%,存在有序潮超任用*+熊(2 rtiti 30、Ai B、立而三口點(diǎn)-對(duì)間一點(diǎn)唯存13工一0T三十行序只曲九六 麻片呼*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量: 首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)實(shí)數(shù)入與空間向量a的乘積 入a仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)入0時(shí)，入a與a的方向相同;當(dāng)入0時(shí)，入a與a的方向相反;當(dāng)入=0寸，入a = 0 .入a®入|?印入a的長(zhǎng)

4、度是a的長(zhǎng)度的入倍.一條直線i有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行.直線i的方向向量也是所有與i平行的直線的方向向量.2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量.Z且,+F*E=1二、空間向量的運(yùn)算1、加減法(1)空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們 的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法.= 0A + AB = a + bOB = OAb BA =0A -OB = a - b那法的三角形法則力的平行四邊形法則贏詼的三角形法則(2)加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律.交換律：結(jié)合律：(3)推廣（2）運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律分配律： （a

5、 b） a b （ ）a a b結(jié)合律：（a） （ ）a3.空間向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算1 .兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）女*3二|仃 131c口戶 1二=藐=口刁為T晦向量；!坐標(biāo)運(yùn)算q * b =(&2* O3)向量和ab-82+02f 33+03)向量差a *b =（a?劣2，己3*6?）毅富積q，b =a 16+822+836共蛀=*a2=/i>2* 83=/&3 (/ER)垂直白-L 5日2欠甘3g=0夾角上7 I、oifti+ o；fc+ahC0S<m1 /4出+區(qū)+亦除+房+公三.直線的方向向量1、直線的方向向量:空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A

6、以及一個(gè)定方向確定.直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線i的方向向量.注意：3、平面的法向量:由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫平面的“方向”.如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面a ,則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n ± a ,如果n ± a ,那么向量n叫做平面a的法向量.注意：法向量一定是非零向量；一個(gè)平面a有無(wú)窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；向量n是平面的法向量，向量 m是與平面平行或在平面內(nèi)，則有 n?m 0.一個(gè)平面a的法向量也是所有與平面a平行的平面的法向量.4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法

7、向量的坐標(biāo)為n = （u,v,w）;（2）歹u：根據(jù)a?n o,b?n 0,列出方程組；（3）解：把u （或v或w）看作常數(shù)，用u （或v或w）表示另外兩個(gè)量；（4）?。喝為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n的坐標(biāo).四、用向量證明平行1,直線三直線平行iA直蔬用£史萬(wàn)向向量分別為口和r 1則由巨量北鏈笠冬仁冷I田履閡1與I；'重?fù)?彳"三工亙統(tǒng)三干面呻C1）已知兩個(gè)mF零向量1和G與aft面，苴線的一個(gè)萬(wàn)向向量為；，則由其面向量定理可郵W或莊口&0存在虐個(gè)有序冥戰(zhàn)（X, y）庾；=工彳-1（2）由其面向堂賓支可以霖,如第A民心點(diǎn)不共然.剛

8、點(diǎn)上施平面A0訥的充婆條件是，存在一對(duì)有序?qū)嵟洹遍T宜向贖 些式疝成色3,平面弓平面半行設(shè)平面4融法向旗福為丁熙函E口與pS臺(tái)特廳阻存使"寸氣五、用向量證明垂直【1）線線垂直：謾直線I、I2的工向向量分別為r、6,01卜_1_1一日_L喳=口：2 2） 面垂亙；設(shè)巨陸I的方向向跑為2平面Q的掛向枇力卜只LL口c以由緯一位圭白臼判定定理.只要硼已知宜珪的方向向童舄平面內(nèi)兩個(gè)不共線區(qū)型垂直一 EE 垂 SU明函個(gè)平面住法向革亭自，艮曬上平面的法聲掌由面面垂亙的判定定理可修 2賽證明一卜匕面內(nèi)的一篡直其的人面向里和一-1福內(nèi)的兩條杓交直或的右向向里叁亙，一選擇題(共11 小題)1 已知直線l

9、 的一般方程式為x+y+1=0 ，則 l 的一個(gè)方向向量為()A. (1,1) B. (1 , T) C. (1,2) D. (1 , - 2)2 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=11 , S5=50 ,則過(guò)點(diǎn)P (n,小)和Q (n+2 , an+2)( n C N )的直線的一個(gè)萬(wàn)向向量的坐標(biāo)可以是()A. (T,- 3) B. (1,-3)C. (1,1) D. (1,T)3 .若直線11, 12的方向向量分別為=(2, 4, - 4) , = (-6, 9, 6),則()A. 11 / 12 B. 1山2C . 11與12相交但不垂直D .以上均不正確4 .直線a, b的方

10、向向量分別為二(1,-2,-2),=(-2,-3,2),則2與 b 的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合 C.垂直 D.夾角等于5 .若 A(0,2,),B(1,- 1,),C(-2,1,)是平面 a 內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面a的法向量=(x, y, z),則x: y: z=()A. 2: 3: (-4) B. 1: 1: 1 C. -: 1: 1 D. 3: 2: 46 .已知=(1 , 5, - 2) , = (3, 1 , z),若，=(x 1 , y, 3),且 BP，平面ABC ,則實(shí)數(shù)x、y、z分別為()A. , - , 4 B. , - , 4 C. , - 2, 4 D. 4, , -

11、157 .若直線1的方向向量為，平面 a的法向量為，能使1/ a的是()A. = (1, 0, 0) , = ( - 2, 0, 0) B. = (1, 3, 5) , = (1, 0, 1 )C. = (0, 2, 1) , = (1,0, 1) D . = (1, -1,3) , = (0,3,1)8 .設(shè)，在上的投影為，在x軸上的投影為2,且，則為（）A. （2, 14） B. C. D. （2, 8）9 .如圖，在正方體 ABCD - AiBiCiDi中，P為對(duì)角線BDi的三等分點(diǎn)，P到 各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）A. 3個(gè) B.4個(gè) C. 5個(gè) D.6個(gè)10 .已知直二面角 a T

12、 - B ,點(diǎn) A C a , AC，l, C 為垂足，B p , BD ±l, D為垂足，若AB=2 , AC=BD=i ,貝U D至U平面ABC的距離等于（）A. B. C. D. iii .在正四棱柱ABCD - AiBiCiDi中，頂點(diǎn)Bi到對(duì)角線BD i和到平面AiBCD i 的距離分別為h和d ,則下列命題中正確的是（）A.若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為（0, i）B.若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為C.若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為D.若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為二.填空題（共i2小題）15 .如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD -

13、 AiBiCiDi中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P 在線段DiE上，點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為 .16 .若，,貝 =.17 .已知A （i , 2, - i）關(guān)于面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為B,則=.18 .如圖，在三棱錐D - ABC中，已知AB=AD=2 , BC=i ,貝U CD=.19 .如圖，在四棱錐 S-ABCD中，底面 ABCD為矩形，SD，底面ABCD ,AD= , DC=SD=2，點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上，/ ABM=60° .若以 DA, DC, DS, 分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,則M的坐標(biāo) 為.20 .如圖，為一個(gè)正方體截下的一角 P

14、-ABC, |PA|=a , |PB|=b , |PC|=c , 建立如圖坐標(biāo)系，求 ABC的重心G的坐標(biāo).21 .下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有 .若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則/;若非零向量，滿足，則有/ ;若，是空間的一組基底，且=+,則A, B, C, D四點(diǎn)共面；若向量+, +, +,是空間一組基底，則，也是空間的一組基底.22 .由空間向量二(1 , 2, 3) , = (1 , - 1 , 1 )構(gòu)成的向量集合 A=|=+k , k ez,則向量的模的最小值為.23 .已知點(diǎn) A (1 , 2, 1) , B (-2, , 4) , D (1 , 1 , 1)，若=

15、2,則 | 的值是.24 .已知空間四點(diǎn) A (0, 1,0) ,B(1,0, ) , C (0,0,1), D(1, 1,), 則異面直線AB , CD所成的角的余弦值為.25 .如圖ABCD - AiBiCiDi是正方體，BiEi=DiF尸，則BE i與DF i所成角的 余弦值是.26 .已知向量，滿足|=2 ,與的夾角為60° ,則在上的投影是 .三.解答題(共9小題)27 .如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4 , AB=6 , BC=3 .(i)證明：BC /平面PDA ;(2)證明：BC ±PD ;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的

16、距離.28 .如圖，已知四棱錐P-ABCD , PBXAD側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角 形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為i20° .(I)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離，(II)求面APB與面CPB所成二面角的大小.29 .如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PD，平面 ABCD , PD=DC=BC=i , AB=2 , AB / DC , / BCD=90° .(i)求證：PCXBC ;(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.30 .如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA，平面ABCD , 點(diǎn)E在線段PC上，PC，平面BDE ,設(shè)P

17、A=1 , AD=2 .( 1 )求平面BPC 的法向量；(2)求二面角B-PC-A的正切值.31 .如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA，底面 ABCD , AD ±AB , AB / DC , AD=DC=AP=2 ， AB=1 ，點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn)(I )證明：BE ±DC ;(n)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(m)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF ±AC ,求二面角F-AB -P的余弦值.32 .如題圖，三棱錐 P-ABC 中，PC,平面 ABC, PC=3 , / ACB= . D, E 分別為線段AB ， BC 上的點(diǎn)，且CD=DE=

18、， CE=2EB=2 (I )證明：DE，平面PCD(H)求二面角A-PD-C的余弦值.33 .如圖，在三棱臺(tái)ABC - DEF中，已知平面BCFE，平面ABC , / ACB=90° , BE=EF=FC=1 ， BC=2 ， AC=3 ，(I )求證：BF，平面ACFD ;(II)求二面角B - AD - F的余弦值.34 .如圖，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，側(cè)棱AAi，底面ABCD , AB LAC, AB=1 ， AC=AA 1=2， AD=CD= ，且點(diǎn) M 和 N 分別為 B1C 和 D1D 的中點(diǎn)(I )求證：MN /平面ABCD(H)求二面角Di - AC - Bi的正弦值；(m)設(shè)E為棱AiBi上的點(diǎn)，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段Ai E 的長(zhǎng)35 .如圖，四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA，平面ABCD , E為 PD 的中點(diǎn)(I )證明：PB /平面AEC ;(H)設(shè)AP=1 , AD=,三棱錐P-ABD的體積V=,求A到平面PBC的距離.20i7 年 i2 月 02 日空