朝陽區(qū)2019屆高三一模數(shù)學(xué)(理)試題及答案

1、朝陽區(qū)2019年高三一模數(shù)學(xué)(理)2019本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束 后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項已知集合 A x|x 1,集合B x|x2 4,則AI2.A. x|x 2 B.x|1 x 2 C x|1x 2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z1 2ii對應(yīng)的點位于.第三象限.第四象限3.1(x)4的展開式中的常數(shù)項為 x12A.124.若函數(shù)f (x)2x,10g 2 x,1,1,則函數(shù)f (x)的值域是5.A

2、. (,2),2. 0,) D如圖，函數(shù)f(x)的圖象是由正弦曲線或余弦曲線經(jīng)過變換得到的，則A.f(x)sin(2x,0) U (0,2)B.f(x)sin(4x一) 6C.f(x)cos(2xf (x)的解析式可以是D. f(x) cos(4x ) 6、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.必要而不充分條件.既不充分也不必要條件B.2俯視圖D.4314, 10, 8.若這三天中至少有一天開車上班的職第二部分(非選擇題共110分)10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 x值為11.在極坐標(biāo)系中，直線 cos 1與圓2 / 13第1。題圖y6.記不等式組 yykx

3、A.充分而不必要條件BC.充分必要條件D7.某三棱錐的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為的體積為A . 41),則該三棱錐8.某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是A. 5 B . 6 C7D829.雙曲線乙y2 1的右焦點到其一條漸近線的距離是44cos相交于A,B兩點，則AB12.能說明“函數(shù) f(x)的圖象在區(qū)間 0,2上是一條連續(xù)不斷的曲線.若0,83f(0) f(2) 0,則f (x)在(0,2)內(nèi)無零點”為假命題的一個函數(shù)是x 3,所表示的平面區(qū)域為D . “點(1,1) D” 是 “ k 1” 的正(主)視圖側(cè)(左)視

4、圖n=n+l13.天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天” “祈谷”的場所.天壇公園中的圜丘臺共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石（如圖 2所示）.上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是;上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是 .圖114.在平面內(nèi)，點 A是定點，動點“ uuur uuurB,C 滿足 | AB | | AC | 1 ,uururAB ACuuur uuuuuuir P|AP =

5、AB+ AC,1 2所表示的區(qū)域的面積是 三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15 .（本小題滿分13分）在 ABC中，a 歷， A 120 , 4ABC的面積等于通，且b C.（I ）求b的值；（n）求cos2B的值.16 .（本小題滿分13分）某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客，統(tǒng)計其乘車等待時間（指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過 40分鐘）.將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按5,10）,10,15）,15,20）, L ,35,40分組，制成頻率分布直方圖：17 / 13頻率/組距假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨立.(I)在上班

6、高峰時段，從甲站的乘客中隨機抽取1人，記為A ;從乙站的乘客中隨機抽取1人，記為B .用頻率估計概率，求“乘客 A , B乘車等待時間都小于 20分鐘”的概率;(n)從上班高峰時段，從乙站乘車的乘客中隨機抽取3人，X表示乘車等待時間小于 20分鐘的人數(shù),用頻率估計概率，求隨機變量 X的分布列與數(shù)學(xué)期望.17.(本小題滿分14分)如圖，在多面體 ABCDEF中，平面 ADEF 平面ABCD .四 邊形ADEF為正方形，四邊形 ABCD為梯形，且 AD/BC ,BAD 90 , AB AD 1, BC 3.(I )求證：AF CD ;(n)求直線BF與平面CDE所成角的正弦值；(m)線段 BD上是

7、否存在點 M ,使得直線CE/平面AFM ?若存在，求-BM的值；若不存在，請說明理BD由.18 .(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)蛇x) (a R且a 0).x(l)當(dāng)a 1時，求曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程;(n)當(dāng) a 1 時，求證：f(x) x 1;(in)討論函數(shù) f(x)的極值.19 .(本小題滿分14分)26交于已知點M(xo,yO)為橢圓C:x y2 1上任意一點，直線l : x0x 2y0y 2與圓(x 1)2 y2A,B兩點，點F為橢圓C的左焦點.(I )求橢圓C的離心率及左焦點 F的坐標(biāo)；(n)求證：直線l與橢圓C相切；(出)判斷 AFB是否為定值

8、，并說明理由.20 .(本小題滿分13分)在無窮數(shù)列an中，a1,a2是給定的正整數(shù)，an 2 an 1 an , n N* .(I)右 a13, a21 ,寫出 a9, a)o,aoo 的值；(n)證明：數(shù)列an中存在值為0的項；(出)證明：若a(,a2互質(zhì)，則數(shù)列an中必有無窮多項為1.朝陽區(qū)2019年高三一模參考答案、選擇題：（本題滿分 40分）題號12345678答案BDCAACDB、填空題：（本題滿分 30分）題號91011121314答案112282y （x 1）2 （答案不唯一）24334023三、解答題：（本題滿分 80分）15 .（本小題滿分13分）解：（I）由已知得2 (2

9、1)2=b2一 1 一 一 一 一S= -bcsin A=、3,2c 2bccos120 .整理得bc=4,22b c =17.解得b=1,或 b=4,c=4,c=1.8分a b(n)由正弦定理，sin A sin B即 sin B2114所以 cos2B=1 2sin2 B 1 2(7)2 13 .13分141416 .(本小題滿分13分)解：(I)設(shè) M表示事件“乘客 A乘車等待時間小于 20分鐘”，N表示事件“乘客 B乘車等待時間 小于20分鐘”，C表示事件“乘客 A,B乘車等待時間都小于 20分鐘”.由題意知，乘客 A乘車等待時間小于20分鐘的頻率為(0.012 0.040 0.048

10、) 5 0.5,故 P(M )的估計值為 0.5.乘客B乘車等待時間小于 20分鐘的頻率為(0.016 0.028 0.036) 5 0.4,故 P(N)的估計值為 0.4.又 P(C) P(MN) P(M) P(N)故事件C的概率為1 . .6分5(n)由(i)可知，乙站乘客乘車等待時間小于20分鐘的頻率為0.4, , 2所以乙站乘客乘車等待時間小于20分鐘的概率為一52顯然，X的可能取值為0,1,2,3且XB(3,g).所以 p(x 0) c0(3)3p(x 1) c3- (3)2 區(qū);51255 5125P(X 2) C咕)2 3 表 P(X 3) C3(2)3 短 55 1255125

11、故隨機變量X的分布列為X0123P2712554125361258125l、，八 26,、EX 3 . .13 分5 517.（本小題滿分14分）解：（I）證明：因為 ADEF為正方形，所以AF AD .又因為平面 ADEF 平面ABCD ,且平面ADEF I平面ABCD AD ,所以AF 平面ABCD .所以AF CD . 4分（n）由（I）可知， AF 平面 ABCD ,所以 AF AD , AF AB .因為 BAD 90 ,所以AB, AD, AF兩兩垂直.分別以AB, AD,AF為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.因為 AB AD 1 , BC 3,所以 A(0,0,0),

12、 B(1,0,0), C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1),uuruuiruuur(出)設(shè) BM (0,1),BD設(shè) M X1,y1，Z1 ,則 x 1, yz ( 1,1,0),所以 xi1, yi , zi0,所以 M 1, ,0 ,uuuu所以 AM 1, ,0 .uuuum AM 0：設(shè)平面AFM的一個法向重為 m (x0,y0,z0),則 uurm AF 0.因為 AFr 0,0,1 ,所以 (1)x0Vo 0,z 0.令 X0，則 y01 ,所以 m ( ,1,0).uuu在線段BD上存在點M ,使得CE平面AFM等價于存在0,1,使得m CE

13、 0.uuuuuu因為 CE 1, 2,1 ,由 m CE 0,所以 2(1) 0,-2解得 一0,1, 3BM 2所以線段BD上存在點M ,使得CE平面AFM ,且2M 2. .14分BD 318 . (本小題滿分13分)解：(I)當(dāng)a 1時,f(x)ln x1 ln x.所以 f (x) 2xx因為 f (1) 1, f(1) 0 ,所以曲線yf (x)在(1,f(1)處的切線方程為 y x.3分(n)當(dāng) a 1 時，f(x)皿一). x函數(shù)f (x)的定義域為(，0) .不等式f (x) x 1成立 ln( x) x 1成立 ln( x) x2 x 0成立. x2設(shè) g(x) ln( x

14、) x x (x (,0),則 g (x)2x 12x2 x 1 ( 2x 1)(x 1)xxx當(dāng)x變化時，g (x), g(x)變化情況如下表：x(,1)1(1,0)g (x)十0一g(x)極大值所以 g(x) g( 1).因為g( 1) 0 ,所以g(x) 0 ,所以 lnLl x 1 . .8分x(出)求導(dǎo)得f (x) 11n(ax).令f (x) 0 ,因為a 0可得x e . xa當(dāng)a 0時，f(x)的定義域為 0,+.當(dāng)x變化時，f(x), f(x)變化情況如下表：x(0,-) ae a二) af (x)十0一f(x)極大值e a此時f (x)有極大值f (-) 一，無極小值. a

15、 e當(dāng)a 0時，f(x)的定義域為 ，0,當(dāng)x變化時，f(x), f(x)變化情況如下表:x(,e) aeae(一 ,0) a此時f(x)有極小值f (-) a.13分f (x)一0十f(x)極小值-,無極大值.e19 .(本小題滿分14分)解：(I)由題意 a 應(yīng)，b 1 , c Oa b2 一，(x 1)2 y26, /日 20時，由得(y°x0x 2y0y 2 1所以離心率e 上絲,左焦點F( 1,0) . .4分a 2(n)當(dāng)y0 0時直線l方程為x 應(yīng)或x 隹，直線l與橢圓C相切.2Ly2122222當(dāng) y00時，由 2y，得(2y°xo)x4XoX4 4y00,

16、XoX 2y0y 2 2由題知，x0 y2 1 ,即 x2 2y2 2, 2所以(4x0)2 4(2y2 x2)(4 4y2)2216x0 2(1 y。)22=16(x0 2y0 2) 0 .8分故直線l與橢圓C相切.(出)設(shè) A(x1,y3 B(x2,y2),當(dāng) y0 0 時，x1 x2, y1y2, xJ2 ,ULU UJU22FA FB (x1 1)2 y2 (x1 1)2 6 (x1 1)2 2x12 4 0,LUU UUL所以 FA FB ,即 AFB 900.當(dāng)y02221)x2 2(2y2 x0)x 2 10y2 0,則xy%2(2y2%)x2251 V。x1x22 10y(2

17、d 2'1 Vo2x0 02x1x24y0x2)1Vo25x。 4x。 42 2y2uuu uuu因為 FA FB (Xi 1,yi)(X2 1,y2)X1X2 Xi X2 1 V1V2一2_2-224 20y0 8y0 4% 2 2y05% 4% 42 2y02 2y2225(X2 2y2) 10 02 2y0,ULU UUU0所以 FA FB ,即 AFB 900.故 AFB為定值90°. .14分20.(本小題滿分13分)解:(I) a9 0,a10 1,a100 1 . .3分(II)反證法：假設(shè) i, a,0.由于an 2an 1an ,記 MmaX a1,a2.則

18、 a M ,a2 M .則 0 a3a2 alM 1,0 a4a3 a2M 1,0 a5 a4a3 M2,0%a5a4 M 2,l,依次遞推,有0a7a6a5M3,0 %a7a6 M 3,則由數(shù)學(xué)歸納法易得 a2kl M k, k N . 2 k I,當(dāng)k M時，a2k 1 0,與a2k1 0矛盾.故存在i ,使a, =0.所以，數(shù)列an必在有限項后出現(xiàn)值為 0的項. .8分(III)首先證明：數(shù)列an中必有“ 1”項.用反證法，假設(shè)數(shù)列an中沒有 T 項，由(II)知，數(shù)列an中必有“ 0”項，設(shè)第一個“ 0”項曷m (m 3),令一一*am 1 p , p 1, p N ,則必有 am 2 p ,于是，由 p am 1 | am 2 am 3 11P am 3 |,am 3 2p ,因此 p 是 Hm 3 的因數(shù)，由 p am 2 | am 3 Hm 4 112P Hm 4 | ,貝U Hm 4P或3p ,因此p是am 4的因數(shù).依次遞推，可得p是a1,a2的因數(shù)，因為p 1,所以這與a1,a2互質(zhì)矛盾.所以，數(shù)列an中必