專題三：數與式內容分析與教學（一）

1、數與式內容分析與教學（一） 胡：老師們，大家好！數與式是整個初中代數內容的基礎。今天起，我們談一談數與式內容的教學。我們將數與式的內容分為兩課時介紹。本課時，先介紹有關數的內容與教學分析。 本學段主要研究的數是有理數和實數。確切地說，是負數和無理數。那么，這兩類數的學習重點分別是什么呢？請馬老師給我們簡單介紹一下。 馬：我們知道，任何數的學習，主要包括表示和運算。首先談談負數。引入負數，首先是解決實際問題的需要，有了負數就可以方便地表示現實世界中具有相反意義的量： 字幕：加速、減速；上升、下降；進口、出口；收入、支出；贏球、輸球；向東行駛、向西行駛。等等。相比較學生以往學習的正數，增加了負數，

2、或者說形成了有理數以后，數的確定需要兩個因素大小、方向。從表示法上就出現了相反數、絕對值，甚至數軸上的點。至于有理數的運算，仍然采用與小學運算相同的意義： 字幕：加法就是“合并”、減法就是“移除”。乘法與加法的關系、除法與減法的關系也是類似。所以，運算法則與運算律是不變的。所以，從學習運算的角度上看，有理數與先前的非負數的學習是相近的。 程：事實上，這一點也可以從請標準對有理數內容的要求中看到。 字幕： 1.理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，能比較有理數的大小。 2.借助數軸理解相反數和絕對值的意義，掌握求有理數的相反數與絕對值的方法，知道a的含義（這里a表示有理數）。 3.理解乘方

3、的意義，掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步以內為主）。 4.理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算。 5.能運用有理數的運算解決簡單的問題。 胡：下面我們談談無理數吧。 馬：從歷史上看，無理數的出現首先是數學上的一種“覺悟”：比如，單位正方形的對角線長總是一定的，究竟是多少呢？在有理數集里找不到答案。所以引入了新數：無理數。再將它與有理數做類比，可以得到相同的表示法，以及四則運算法則、運算律。這些與有理數的出現很接近。當然，由于無理數的引入，數的運算就多了一個種類開方。 程：標準對實數學習的要求是： 字幕：1. 了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方

4、根、算術平方根、立方根。2.了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根，會用計算器求平方根和立方根。3.了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值。4.能用有理數估計一個無理數的大致范圍。5.了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結果取近似值。 6.了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算。 胡：我想很多老師關心的是數的教學應當抓住哪些重點。 程：我想，從前面的分析，不難發(fā)現，數的學

5、習關鍵是“表示法”和“運算”。其中，表示法比較新相對小學而言，多了方向的要素，學生可能開始不習慣，這里，借助數軸可以對教學有所幫助：在數軸上看3與-3的異同點、看2與-3之間的距離，等等；其次，運算則更多地體現為相似從運算法則到運算律。所以可以采用類比以往運算的方式，讓學生從實例中歸納出運算律。這樣不僅可以加深學生對知識的理解，還可以發(fā)展他們的歸納與類比能力。 字幕： 數的表示：借助數軸可以對教學有所幫助：讓學生在數軸上看3與-3的異同點、看2與-3之間的距離； 數的運算：類比以往的運算，通過實例歸納出運算律。 需要注意的是，最簡二次根式的引入主要是明確相關運算的要求算到哪一步為準。而不希望引

6、入復雜的根式運算，特別地，標準明確指出， 字幕：根號下僅限于數，不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如，等。為此，標準專門提供了案例48：計算：（1）；（2）。 其實，如何教學有理數運算，廣大一些教師作了許多探索，大家不妨看看以下文章立足學生原有認知結構 重構有理數加減運算。出處？討論問題？閱讀材料 有理數的小知識有理數的含義。有理數是指一切形如的分數。一切分數都可以化為有限小數或無限循環(huán)小數，因此，我們可以基于小數來定義有理數：“有理數是有限小數或者無限循環(huán)小數（無理數是無限非循環(huán)小數）”。有理數的擴充過程，一般經歷了自然數（零與正整數）集合（）中添加負數形成整數集（），在整數集體中添加分數形成有理數集（）。有理數，英文的單詞：rational number，意思是“理性的數”，翻譯