第二章有理數(shù)復習

1、如何化簡絕對值符號如何化簡絕對值符號例：例：a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖在數(shù)軸上的位置如圖化簡化簡 |c b|a c|b c| c 0 b aa+bc 解：解：cb 是負數(shù)，是負數(shù)，|cb|（cb）ac 是正數(shù)，是正數(shù)，|ac|acbc 是負數(shù)，是負數(shù)，|bc|（bc）原式原式=（cb）（）（ac） （bc）比較比較有理數(shù)的大?。河欣頂?shù)的大?。?09_988880:999099811010908081899090910解一、知識網(wǎng)絡(luò)一、知識網(wǎng)絡(luò)有理數(shù)有理數(shù)概念概念運算運算有理數(shù)的分類有理數(shù)的分類相反數(shù)相反數(shù)大小比較大小比較法法 則則 運算律運算律數(shù)軸數(shù)軸近似數(shù)與有效數(shù)字近似數(shù)與有效數(shù)字絕對值

2、絕對值倒數(shù)倒數(shù)加法加法減法減法乘法乘法除法除法乘方乘方混合運算混合運算交換律交換律科學記數(shù)法科學記數(shù)法結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律（一）注意學好概念，深刻理解概念（一）注意學好概念，深刻理解概念二、注意事項二、注意事項 不少同學對概念記得準，背得熟，但是遇到具體問題就混淆不不少同學對概念記得準，背得熟，但是遇到具體問題就混淆不清，這是沒有理解概念的緣故，因此學好概必須著重理解概念。清，這是沒有理解概念的緣故，因此學好概必須著重理解概念。例如：例如：(-3)2與與-32的意義是什么？結(jié)果等于什么？經(jīng)?；煜５囊饬x是什么？結(jié)果等于什么？經(jīng)?；煜５膮^(qū)別又是什么？與223232理解理解“非非”的概的概念

3、念非正數(shù)非正數(shù)負數(shù)負數(shù)零零非負數(shù)非負數(shù)正數(shù)正數(shù)零零非正有理數(shù)非正有理數(shù)負有理數(shù)負有理數(shù)零零非負有理數(shù)非負有理數(shù)正有理數(shù)正有理數(shù)零零（二）注意運算順序（二）注意運算順序。算順序，因而造成錯誤了乘方運算，顛倒了運法運算，而后做約分，實際上先做了乘與這是計算481569)2() 3(98)43() 3(22 運算中很多錯誤來自顛倒了運算順序。例如下面的計算。運算中很多錯誤來自顛倒了運算順序。例如下面的計算。錯誤。，顛倒了運算順序，成按照同級運算從左到右法運算，而沒有相除，實際上先做了除與這是計算2681)3(272633（三）正確使用運算法則和運算律（三）正確使用運算法則和運算律 在使用乘法分配律時

4、，常出現(xiàn)符號錯誤。例如：在使用乘法分配律時，常出現(xiàn)符號錯誤。例如：4314123)23()32()83(32)49()32()23()83()49()32()211()83()412()32( 正確算法你知道嗎？正確算法你知道嗎？ 弄清概念，對比理解，正弄清概念，對比理解，正確使用運算法則及運算律是避確使用運算法則及運算律是避免錯誤的重要一環(huán)，千萬不可免錯誤的重要一環(huán)，千萬不可用盲目做題來達到學好數(shù)學的用盲目做題來達到學好數(shù)學的目的。目的。贈贈 語語（一）轉(zhuǎn)化思想（一）轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學思想，將轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學思想，將所要研究或解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的問所要研究或

5、解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的問題來處理的數(shù)學思想稱為題來處理的數(shù)學思想稱為轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想。 如：在相反數(shù)及加法法則的基礎(chǔ)上，利如：在相反數(shù)及加法法則的基礎(chǔ)上，利用減法法則，將減法運算用減法法則，將減法運算轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為加法運算。為加法運算。又如利用倒數(shù)的概念得到除法法則將除法又如利用倒數(shù)的概念得到除法法則將除法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為乘法運算。利用絕對值概念將有理數(shù)運為乘法運算。利用絕對值概念將有理數(shù)運算算轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為算術(shù)運算。為算術(shù)運算。三、思想方法三、思想方法（二）數(shù)形結(jié)合思想（二）數(shù)形結(jié)合思想 著名數(shù)學家華羅庚說：著名數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形而少直數(shù)缺形而少直覺，形少數(shù)而難入微覺，形少數(shù)而難入微”。指明研究

6、數(shù)學問題。指明研究數(shù)學問題要注意數(shù)形結(jié)合。要注意數(shù)形結(jié)合。 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言和直觀就是把抽象的數(shù)學語言和直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象變直觀，化繁為簡的圖形結(jié)合起來，使抽象變直觀，化繁為簡，化難為易，啟迪思維探求解題思路。，化難為易，啟迪思維探求解題思路。 用數(shù)軸上點來表示有理數(shù)，就是最簡單用數(shù)軸上點來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸，對于理的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸，對于理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念以及大小解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念以及大小比較等，更有直觀性。比較等，更有直觀性。 當被研究的問題包含多種可能情況，不當被研究的問題包含多種可能情況

7、，不能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問題的思維方法稱為這種處理問題的思維方法稱為分類討論思想分類討論思想如：下面研究數(shù)如：下面研究數(shù)a a的絕對值的絕對值 若若a a0 0，則，則a a= = ; ;1 1） 若若a a0 0，則，則a a= = ; ; 若若a =0a =0，則，則a a= = ; ;a a-a-a0 02) 2) 對任何有理數(shù)對任何有理數(shù)a,a,總有總有a a0.0.（三）分類討論思想（三）分類討論思想分類討論一般按以下四個步驟：分類討論一般按以下

8、四個步驟：1 1）確定分類討論的對象；）確定分類討論的對象；2 2）進行合理的分類；）進行合理的分類；3 3）逐類進行討論；）逐類進行討論；4 4）歸納分類結(jié)果，得出問題答案）歸納分類結(jié)果，得出問題答案所謂合理分類，是指分類時應(yīng)按同一標所謂合理分類，是指分類時應(yīng)按同一標準進行，并做到不準進行，并做到不“重復重復”，不，不“遺漏遺漏” 在有理數(shù)這一章中的一些主要概念和性在有理數(shù)這一章中的一些主要概念和性質(zhì)，例如：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大質(zhì)，例如：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大小比較、有理數(shù)的運算法則和運算律的研究都小比較、有理數(shù)的運算法則和運算律的研究都離不開觀察。離不開觀察。（四）觀察方

9、法（四）觀察方法應(yīng)考方略應(yīng)考方略 從已知條件出發(fā)，運用定義、公式、定從已知條件出發(fā)，運用定義、公式、定理進行運算推理，直接得出結(jié)論。理進行運算推理，直接得出結(jié)論。 一、常見題型介紹一、常見題型介紹1、填空題及其解法、填空題及其解法（1）直接法）直接法例例1如果如果a的相反數(shù)是最大的負整數(shù)，的相反數(shù)是最大的負整數(shù)，b是絕對值最小是絕對值最小的數(shù)，那么的數(shù)，那么a+b= 。 填空題是初中數(shù)學的基本題型，這類題知識點覆蓋填空題是初中數(shù)學的基本題型，這類題知識點覆蓋面大，對于考察基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、計算面大，對于考察基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、計算的準確性和解題速度都有很大作用。的準確性和

10、解題速度都有很大作用。解：最大的負整數(shù)是解：最大的負整數(shù)是-1，a是是-1的相反數(shù)，則的相反數(shù)，則a=1；絕；絕對值最小的數(shù)是對值最小的數(shù)是0，所以，所以a+b=1+0=1（2）識記法）識記法 通過對定義、公式、定理的掌握與回憶，通過對定義、公式、定理的掌握與回憶，把問題填補完整。把問題填補完整。例例2 和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。解：整數(shù)解：整數(shù) 依據(jù)題目的條件及特征，選擇恰當?shù)臄?shù)依據(jù)題目的條件及特征，選擇恰當?shù)臄?shù)值、特殊圖形進行運計算或推理，求得正確結(jié)論。值、特殊圖形進行運計算或推理，求得正確結(jié)論。（3）特殊法）特殊法例例3已知已知0a、=或或)解：可取符合條件的特殊數(shù)，取解：

11、可取符合條件的特殊數(shù)，取a=1/2時，時，1/a=2，1/221/22，a1/a，所以應(yīng)填，所以應(yīng)填”0，b0，c|c|，化簡，化簡|c-a|+|c-b|+|b-a|= 。解：由已知條件，解：由已知條件，a，b，c可在數(shù)軸上表示如下：可在數(shù)軸上表示如下：根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。|c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b 0acb2 2、選擇題及其解法、選擇題及其解法 從題干給出的條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)的基從題干給出的條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)的基礎(chǔ)知識，通過推理、計算得到結(jié)論，從而確定選擇支礎(chǔ)知識，通過推理

12、、計算得到結(jié)論，從而確定選擇支是正確的。此法為常用方法。是正確的。此法為常用方法。（1）直接法）直接法例例1下列說法中，正確的是（下列說法中，正確的是（ ）A.在有理數(shù)中，在有理數(shù)中，0的意義僅表示沒有的意義僅表示沒有B.正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù)正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù)C.0.7不是正數(shù)，也不是分數(shù)，因此它不是有理數(shù)不是正數(shù)，也不是分數(shù)，因此它不是有理數(shù)D.零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)零既不是正數(shù)，也不是負數(shù) 選擇題是標準化試題的主要形式，選擇題一般由選擇題是標準化試題的主要形式，選擇題一般由“解題指令解題指令”、“題干題干”、“答案答案”三部分構(gòu)成。初中三部分構(gòu)成。初中數(shù)學的選擇

13、題一般指明在備選答案中只有一個正確，大數(shù)學的選擇題一般指明在備選答案中只有一個正確，大都屬于單項選擇題。下面介紹幾中常用方法。都屬于單項選擇題。下面介紹幾中常用方法。解：直接判斷后，選擇解：直接判斷后，選擇D 也叫做篩選法，是間接解選擇題的方法也叫做篩選法，是間接解選擇題的方法之一。因為指令中指明了備選答案只有一個正確，所之一。因為指令中指明了備選答案只有一個正確，所以當用直接法受到限制時，可以根據(jù)已知條件及選擇以當用直接法受到限制時，可以根據(jù)已知條件及選擇支提供的信息，篩選排除其中三個答案，則剩下的一支提供的信息，篩選排除其中三個答案，則剩下的一個就是需要選擇的答案了。個就是需要選擇的答案了

14、。（2）排除法）排除法例例2 下列判斷正確的是（下列判斷正確的是（ ）A.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則-m表示負數(shù)表示負數(shù)B.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則m的相反數(shù)是的相反數(shù)是-mC.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則-m的絕對值是的絕對值是mD.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則m倒數(shù)是倒數(shù)是1/m解：舉反例排除解：舉反例排除A。反例：取。反例：取m的值為的值為-4，則，則-m=4；舉反例排除；舉反例排除C，當，當 m=-6時，時，-m的絕對值是的絕對值是-m，而不是，而不是m；舉反例排除；舉反例排除D，當，當m=0時，時，m沒有倒數(shù)，故應(yīng)選沒有倒數(shù)，故應(yīng)選B。 也叫做特例法，對于界定某一個范圍

15、的也叫做特例法，對于界定某一個范圍的選擇題，可以通過選擇符合題干條件的特殊情況（特選擇題，可以通過選擇符合題干條件的特殊情況（特殊值、特殊圖形、特殊關(guān)系等）進行計算和推理，排殊值、特殊圖形、特殊關(guān)系等）進行計算和推理，排除錯誤答案，驗證正確結(jié)論。這種解法的思路是把抽除錯誤答案，驗證正確結(jié)論。這種解法的思路是把抽象問題具體化，一般問題特殊化。象問題具體化，一般問題特殊化。（3）特殊值法）特殊值法 例例3 相反數(shù)是相反數(shù)是a+b，則原數(shù)是（，則原數(shù)是（ ） A.a-b B.b-a C. a+b D.-(a+b)解：取特殊值解：取特殊值a=3，b=5，則，則a+b=8，而答案中，而答案中A.-2，B

16、.2，C.2，D.-8，顯然原數(shù)，顯然原數(shù)-8是正確的，故是正確的，故本題應(yīng)選本題應(yīng)選D。很多與字母相關(guān)的題都可以用此法很多與字母相關(guān)的題都可以用此法 是運用數(shù)形結(jié)合的思想來解答選擇題的是運用數(shù)形結(jié)合的思想來解答選擇題的方法。它是根據(jù)題目所給條件，作出相應(yīng)的圖形，然方法。它是根據(jù)題目所給條件，作出相應(yīng)的圖形，然后借助圖形，應(yīng)用條件進行分析、運算、推理，推出后借助圖形，應(yīng)用條件進行分析、運算、推理，推出錯誤答案，選擇正確結(jié)論。錯誤答案，選擇正確結(jié)論。（4）圖示法）圖示法 例例4 若若ac0，b+c0，化簡化簡|a+c-b|+|a-b-c|的結(jié)果是（的結(jié)果是（ ） A.2a-2b B.2c C.

17、2b-2c D.2b-2a解：由條件可畫出圖解：由條件可畫出圖觀察圖形可知觀察圖形可知a+c-b0，a-b-c|b|，則，則|a|-|a+b|-|b-a|化簡后得（化簡后得（ ）A.2b+a B.2b-a C.a D.b解：從數(shù)軸上看出，解：從數(shù)軸上看出，a0，且，且|a|b|， |a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a，故選，故選C0ab規(guī)律總結(jié)：充分利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸這個橋規(guī)律總結(jié)：充分利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸這個橋梁來理解相反數(shù)、絕對值的概念。此知識點常以填空、梁來理解相反數(shù)、絕對值的概念。此知識點常以填空、選擇形式在中考中出現(xiàn)。選擇形式在中考中出現(xiàn)。方法方法2

18、：充分利用概念法：充分利用概念法例例2已知已知a、b互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，且互為倒數(shù)，且b2/3，求代數(shù)式，求代數(shù)式 的值。的值。解：解： a、b互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)互為倒數(shù)， a=-b，cd=1規(guī)律總結(jié)：一些概念本身就隱含著許多等式，如互為規(guī)律總結(jié)：一些概念本身就隱含著許多等式，如互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，且它們互為相反數(shù)。靈絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，且它們互為相反數(shù)。靈活運用這些規(guī)律，可使問題較簡單地得到解決。另外，活運用這些規(guī)律，可使問題較簡單地得到解決。另外，本題也體現(xiàn)了本題也體現(xiàn)了整體代入整體代入消元的思想。消元的思想。acdba32663323)23(323693266332663aaaaaaaacdba方法方法3：利用非負數(shù)的性質(zhì)：利用非負數(shù)的性質(zhì)例例2已知已知(a-1)2+|b-3|=0，求，求a2-2ab+2b2的值。的值。解：解： (a-1)20，|b-3|0，且，且(a-1)2+|b-3|=0 a-1=0且且b-3=0，即，即a=1，b=3當當a=1，b=3時，原式時，原式=12-213+232=13規(guī)律總結(jié)：非負數(shù)的基本性質(zhì)：幾個非負數(shù)之和為規(guī)律總結(jié)：非負數(shù)的基本性質(zhì)：