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1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.定義:一般地,如果是常數(shù),那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成:的形式,其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:;.6.拋物線的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)時(shí),開(kāi)口向上;當(dāng)時(shí),開(kāi)口向下;相等,拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于軸(或重合)的直線
2、記作.特別地,軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)相同,那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 (1)公式法:,頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線. (2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為(,),對(duì)稱軸是直線. (3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線中,的作用 (1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小,這與中的完全一樣. (2
3、)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,故:時(shí),對(duì)稱軸為軸;(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸左側(cè);(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè). (3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí),拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,): ,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸;,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè),則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式:.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值,通常選擇一般式
4、. (2)頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式. (3)交點(diǎn)式:已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式:.12.直線與拋物線的交點(diǎn) (1)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). (3)拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定: 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交; 有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切; 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離. (4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn),由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定:方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組
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