高中數學公式大全

1、聶琦璐 蕭山八中高中數學公式集錦高中數學常用公式及常用結論1. 元素與集合的關系,.2.德摩根公式 .3.包含關系4.容斥原理. 5集合的子集個數共有 個；真子集有1個；非空子集有 1個；非空的真子集有2個.6.二次函數的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點式;(3)零點式.7.解連不等式常有以下轉化形式.8.方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個實根在內,等價于,或且,或且.9.閉區(qū)間上的二次函數的最值 二次函數在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：(1)當a>0時，若，則；，.(2)當a<0時，若

2、，則，若，則，.10.一元二次方程的實根分布依據：若，則方程在區(qū)間內至少有一個實根 . 設，則（1）方程在區(qū)間內有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內有根的充要條件為或或或；（3）方程在區(qū)間內有根的充要條件為或 .11.定區(qū)間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，不同）上含參數的二次不等式(為參數)恒成立的充要條件是.(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數的二次不等式(為參數)恒成立的充要條件是.(3)恒成立的充要條件是或.12.真值表 非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 13.常見結論的否定形式原結論反設詞原結論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至

3、多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有（）個小于不小于至多有個至少有（）個對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或14.四種命題的相互關系原命題互逆逆命題若則若則互互互為為互否否逆逆否 否否命題逆否命題若非則非互逆若非則非15.充要條件 （1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.16.函數的單調性(1)設那么上是增函數；上是減函數.(2)設函數在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.17.如果函數和都是減函數,則在公共定義域內,和函數也是

4、減函數; 如果函數和在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數是增函數.18奇偶函數的圖象特征奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數19.若函數是偶函數，則；若函數是偶函數，則.20.對于函數(),恒成立,則函數的對稱軸是函數;兩個函數與 的圖象關于直線對稱.21.若,則函數的圖象關于點對稱; 若,則函數為周期為的周期函數.22多項式函數的奇偶性多項式函數是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全為零.多項式函數是偶函數的奇次項(即偶數項)的系數全為零.23.函數的圖象的對稱

5、性(1)函數的圖象關于直線對稱.(2)函數的圖象關于直線對稱.24.兩個函數圖象的對稱性(1)函數與函數的圖象關于直線(即軸)對稱.(2)函數與函數的圖象關于直線對稱.(3)函數和的圖象關于直線y=x對稱.25.若將函數的圖象右移、上移個單位，得到函數的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.26互為反函數的兩個函數的關系.27.若函數存在反函數,則其反函數為,并不是,而函數是的反函數.28.幾個常見的函數方程 (1)正比例函數,.(2)指數函數,.(3)對數函數,.(4)冪函數,.(5)余弦函數,正弦函數，. 29.幾個函數方程的周期(約定a>0)（1），則的周期T=a；

6、（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.30.分數指數冪 (1)（，且）.(2)（，且）.31根式的性質（1）.（2）當為奇數時，；當為偶數時，.32有理指數冪的運算性質(1) .(2) .(3).注： 若a0，p是一個無理數，則ap表示一個確定的實數上述有理指數冪的運算性質，對于無理數指數冪都適用.33.指數式與對數式的互化式 .34.對數的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).35對數的四則運算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2) ;(3).36.設函數,記.若的

7、定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.37. 對數換底不等式及其推廣 若,則函數 (1)當時,在和上為增函數.， (2)當時,在和上為減函數.推論:設，且，則（1）.（2）.38. 平均增長率的問題如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為，則對于時間的總產值，有.39.數列的同項公式與前n項的和的關系( 數列的前n項的和為).40.等差數列的通項公式；其前n項和公式為.41.等比數列的通項公式；其前n項的和公式為或.42.等比差數列:的通項公式為；其前n項和公式為.43.分期付款(按揭貸款) 每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).44常見三角不等式（1）若，則.(2

8、) 若，則.(3) .45.同角三角函數的基本關系式 ，=，.46.正弦、余弦的誘導公式(n為偶數)(n為奇數)(n為偶數)(n為奇數) 47.和角與差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).48.二倍角公式 .49. 三倍角公式 .50.三角函數的周期公式 函數，xR及函數，xR(A,為常數，且A0，0)的周期；函數，(A,為常數，且A0，0)的周期.51.正弦定理 .52.余弦定理;.53.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).54.三角形內角和定理 在ABC中，有.55. 簡單的三角方程的通解 . .特別地,有. .56.

9、最簡單的三角不等式及其解集 . . . .57.實數與向量的積的運算律設、為實數，那么(1) 結合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的數量積的運算律：(1) a·b= b·a （交換律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.59.平面向量基本定理  如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數1、2，使得a=1e1+2

10、e2不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底60向量平行的坐標表示   設a=,b=，且b0，則ab(b0).53. a與b的數量積(或內積)a·b=|a|b|cos 61. a·b的幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積62.平面向量的坐標運算(1)設a=,b=，則a+b=.(2)設a=,b=，則a-b=. (3)設A，B,則.(4)設a=，則a=.(5)設a=,b=，則a·b=.63.兩向量的夾角公式(a=,b=).64.平面兩點間的距離公式 =(A，B).65.向量的平行

11、與垂直 設a=,b=，且b0，則A|bb=a .ab(a0)a·b=0.66.線段的定比分公式  設，是線段的分點,是實數，且，則（）.67.三角形的重心坐標公式 ABC三個頂點的坐標分別為、,則ABC的重心的坐標是.68.點的平移公式 .注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為.69.“按向量平移”的幾個結論（1）點按向量a=平移后得到點.(2) 函數的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數解析式為.(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5) 向量m=按向量a=

12、平移后得到的向量仍然為m=.70. 三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內心.（5）為的的旁心.71.常用不等式：（1）(當且僅當ab時取“=”號)（2）(當且僅當ab時取“=”號)（3）（4）柯西不等式（5）.72.極值定理已知都是正數，則有（1）若積是定值，則當時和有最小值；（2）若和是定值，則當時積有最大值.推廣 已知，則有（1）若積是定值,則當最大時,最大；當最小時,最小.（2）若和是定值,則當最大時, 最小；當最小時, 最大.73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，

13、則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.74.含有絕對值的不等式 當a> 0時，有.或.75.無理不等式（1） .（2）.（3）.76.指數不等式與對數不等式 (1)當時,; .(2)當時,;77.斜率公式 （、）.78.直線的五種方程 （1）點斜式 (直線過點，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式 ()(、 ().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時為0).79.兩條直線的平行和垂直 (1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；80.夾角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直

14、線l1與l2的夾角是.81. 到的角公式 (1).(，,)(2).(,).直線時，直線l1到l2的角是.82四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中是待定的系數(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程與直線平行的直線系方程是()，是參變量(4)垂直直線系方程：與直線 (A0，B0)垂直的直線系方程是,是參變量83.點到直線的距離 (點,直線：).84. 或所表示的平面區(qū)域設直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若

15、，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左.85. 或所表示的平面區(qū)域設曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分. 86. 圓的四種方程（1）圓的標準方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).87. 圓系方程(1)過點,的圓系方程是,其中是直線的方程,是待定的系數(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,是待定的系數(3) 過圓:與圓

16、:的交點的圓系方程是,是待定的系數88.點與圓的位置關系點與圓的位置關系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內.89.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種:;.其中.90.兩圓位置關系的判定方法設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;.91.圓的切線方程(1)已知圓若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過圓上的點的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.92.橢圓的參數方

17、程是.93.橢圓焦半徑公式 ，.94橢圓的的內外部（1）點在橢圓的內部.（2）點在橢圓的外部.95. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點處的切線方程是. （2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）橢圓與直線相切的條件是.96.雙曲線的焦半徑公式，.97.雙曲線的內外部(1)點在雙曲線的內部.(2)點在雙曲線的外部.98.雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.99. 雙曲線的切線方程 (1)雙曲線上一點處的切線方程是. （2）過雙曲線外一點所引兩條切線的

18、切點弦方程是. （3）雙曲線與直線相切的條件是.100. 拋物線的焦半徑公式拋物線焦半徑.過焦點弦長.101.拋物線上的動點可設為P或 P，其中 .102.二次函數的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.103.拋物線的內外部(1)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(2)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(3)點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.(4) 點在拋物線的內部.點在拋物線的外部.104. 拋物線的切線方程(1)拋物線上一點處的切線方程是. （2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是. （3）拋物線與直線相切的條件是.105.兩個常見的曲線系方程

19、(1)過曲線,的交點的曲線系方程是(為參數).(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 107.圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是.108.“四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.109證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉化為線面平行；（

20、4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.110證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.111證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.112證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）轉化為線與另一線的射影垂直；（4）轉化為線與形成射影的斜線垂直.113證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉化為該直線與平面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個

21、平行平面；（5）轉化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.114證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.115.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律(1)加法交換律：ab=ba(2)加法結合律：(ab)c=a(bc)(3)數乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.117.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b(b0 )，ab存在實數使a=b三點共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理 向量p與兩個不共

22、線的向量a、b共面的存在實數對,使推論 空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數對,使，或對空間任一定點O，有序實數對，使.119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面四點共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理 如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使pxaybzc推論 設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使.121.射影公式已知向量

23、=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則a，e=a·e122.向量的直角坐標運算設a，b則(1)ab；(2)ab；(3)a (R)；(4)a·b；123.設A，B，則= .124空間的線線平行或垂直設，則；.125.夾角公式 設a，b，則cosa，b=.推論 ，此即三維柯西不等式.126. 四面體的對棱所成的角四面體中, 與所成的角為,則.127異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角

24、，則.特別地,當時,有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內角，則.特別地,當時,有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設AC是內的任一條直線，且BCAC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為則.133. 三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,與二面角的棱所成的角是，則有 ;(當且僅當時等號成立).134.空間兩點間的距離公式 若A，B，則 =.135.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離 (是兩異

25、面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).137.點到平面的距離 （為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點距離公式 .（）. (兩條異面直線a、b所成的角為，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,). 139.三個向量和的平方公式 140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141. 面積射影定理 .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是,側面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是

26、和,則.143作截面的依據三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.144棱錐的平行截面的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比145.歐拉定理(歐拉公式) (簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).（1）=各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為的多邊形，則面數F與棱數E的關系：；（2）若每個頂點引出的棱數為，則頂點數V與棱數E的

27、關系：.146.球的半徑是R，則其體積,其表面積147.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.148柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.149.分類計數原理（加法原理）.150.分步計數原理（乘法原理）.151.排列數公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.152.排列恒等式 (1

28、）;（2）;（3）; （4）;（5）.(6) .153.組合數公式 =(N*，且).154.組合數的兩個性質(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定. 155.組合恒等式（1）;（2）;（3）; （4）=;（5）.(6).(7). (8).(9).(10).156.排列數與組合數的關系 .157單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有種；某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：個元在固定位的排列有種.浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；插

29、空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數有種.（3）兩組元素各相同的插空 個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當時，無解；當時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數為.158分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數彼此不相等，則其分配方法數共有.（

30、4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，件，且，這個數中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數有 .（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數彼此不相等，則其分配方法數有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，件無記號的堆，且，這個數中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，時，則無論，等個數是否全相異或不全相異其分配方法數恒有.159“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題

31、:信封信與個信封全部錯位的組合數為.推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數為.160不定方程的解的個數(1)方程（）的正整數解有個.(2) 方程（）的非負整數解有 個.(3) 方程（）滿足條件(,)的非負整數解有個.(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數解有個.161.二項式定理 ;二項展開式的通項公式.162.等可能性事件的概率.163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)164.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率 P(A1· A2·· An)=P(A1)· P(A2)·· P(An)167.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質（1）;（2）.169.數學期望170.數學期望的性質（1）.（2）若,則.(3) 若