《2412垂直于弦的直徑》

1、人教版九年級(jí)上冊(cè)人教版九年級(jí)上冊(cè) 問(wèn)題問(wèn)題: :你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎? ? 它的主橋是圓弧形它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧弧的中點(diǎn)到弦的距離的中點(diǎn)到弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙州橋主你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 由此你能得到圓的什么特性？由此你能得到圓的什么特性？ 可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形。任何圓是軸對(duì)稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸 不借助任何工具，你能

2、找到圓形不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎紙片的圓心嗎? ? 如圖如圖,AB,AB是是O O的一條弦的一條弦, , 直徑直徑CDAB, CDAB, 垂足為垂足為E.E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧和弧? ? 為什么為什么? ?OABCDE線段線段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD垂徑定理垂徑定理垂直于弦垂直于弦的的直徑直徑平分弦平分弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧CDABCDAB CD CD是直徑，是直徑， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD

3、 =BD.OABCDEEDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CDCD過(guò)圓心過(guò)圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1.已知已知P為為 O內(nèi)一點(diǎn)，且內(nèi)一點(diǎn)，且OP2cm，如果，如果 O的半的半徑是徑是3cm,那么過(guò)那么過(guò)P點(diǎn)的點(diǎn)的最短的弦最短的弦等于（等于（ ） 若若AB=8,半徑為半徑為5，則，則OP的取值范圍是的取值范圍是 .PO2.過(guò)過(guò) O內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為4厘米，最短

4、弦長(zhǎng)厘米，最短弦長(zhǎng)為為2厘米，則厘米，則OM的長(zhǎng)是多少？的長(zhǎng)是多少？OM1 1、如圖，、如圖，ABAB是是O O的直徑，的直徑，CDCD為弦，為弦，CDABCDAB于于E E，則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECD2 2、如圖，、如圖，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半徑為的半徑為10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,則則AB=AB= cm,cm,延長(zhǎng)延長(zhǎng)OEOE交交O O 于點(diǎn)于點(diǎn)G G和和F F，求，求EFEF和和EGEG。OABE3 3、如

5、圖，在、如圖，在O中，弦中，弦ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm8cm，圓，圓心心O到到AB的距離為的距離為3cm3cm，求，求O的半徑，的半徑，延延長(zhǎng)長(zhǎng)OEOE交交O O 于點(diǎn)于點(diǎn)G G和和F F，求，求EFEF和和EGEG。OABE4 4、如圖，、如圖，CDCD是是O的直徑，弦的直徑，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直徑，求直徑CDCD和和EDED的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。OABECD反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、弦長(zhǎng)、弦長(zhǎng)a、弓形高弓形高h(yuǎn)中，任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)中，任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)定理求出其它定理求出其它

6、兩個(gè)量：兩個(gè)量：CDBAO 運(yùn)用垂徑定理可以解決許多生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)運(yùn)用垂徑定理可以解決許多生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題，其中弓形是最常見(jiàn)的圖形（如圖），則弦題，其中弓形是最常見(jiàn)的圖形（如圖），則弦a a，弦，弦心距心距d d，弓形高，弓形高h(yuǎn) h，半徑，半徑r r之間有以下關(guān)系：之間有以下關(guān)系：ABC DO2222adr d+h=r hrd2a 你能利用垂徑定理解決求你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題嗎趙州橋拱半徑的問(wèn)題嗎? ?垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用37.4m7.2mABOCD關(guān)于弦的問(wèn)題，常關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需要常需要過(guò)圓心作弦過(guò)圓心作弦的垂線段的垂線段，這是一，這是一條非常重要的條非常

7、重要的輔助輔助線線。圓心到弦的距離、圓心到弦的距離、半徑、弦半徑、弦構(gòu)成構(gòu)成直角直角三角形三角形，便將問(wèn)題，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。的問(wèn)題。ABOCD解：解：如圖，用如圖，用ABAB表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè)ABAB所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為O O，半徑為，半徑為r.r.經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OCOC垂足為垂足為D D，與，與ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)C C，則，則D D是是ABAB的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，C C是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2

8、 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主橋拱半徑約為主橋拱半徑約為27.9m.27.9m.垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用練習(xí)練習(xí)2 2、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧( (即圖中弧即圖中弧CD,CD,點(diǎn)點(diǎn)O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn), ,且且OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求這

9、段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .OCDEF船能過(guò)拱橋嗎船能過(guò)拱橋嗎? ?3 3、如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱頂高出水面拱頂高出水面2.42.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2 2米的貨船要經(jīng)過(guò)這米的貨船要經(jīng)過(guò)這里里, ,此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？船能過(guò)拱橋嗎船能過(guò)拱橋嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑為半徑為RmRm, ,經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O O作弦作弦ABAB的

10、垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.C.根根據(jù)垂徑定理?yè)?jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn),C,C是是 的中點(diǎn)的中點(diǎn),CD,CD就是拱高就是拱高. .由題設(shè)得由題設(shè)得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH

11、即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過(guò)這座拱橋此貨船能順利通過(guò)這座拱橋.例例2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等為互相垂直且相等的兩條弦，的兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，（，（1）求證：）求證：四邊形四邊形ADOE是正方形。（是正方形。（2）若）若r=5，求，求AB長(zhǎng)長(zhǎng)DOABCE 練習(xí)練習(xí)1.如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。EDOCAB2.2.如圖，如圖，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=

12、8cmOC=8cm，則，則AB=AB= ；OABC30308 85 5垂徑定理推論垂徑定理推論 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直徑，是直徑， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（1 1）如何證明？）如何證明？OABCDE已知：已知：如圖，如圖，CDCD是是O O的直徑，的直徑，ABAB為弦為弦，且，且AE=BE.AE=BE.求證：求證：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC（

13、2 2）“不是直徑不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例。果不能，請(qǐng)舉出反例。 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于的直徑垂直于弦弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。OABCDAM=BM,n由由 CD是是直徑直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是是直徑直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂徑定理：垂徑定理：推論：推論：試一試試一試1.判斷：判斷：( )(1)垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦, 并且平分并且平分 弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧.( )(2)平分弦所對(duì)

14、的一條弧的直徑一定平分平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分 這條弦所對(duì)的另一條弧這條弦所對(duì)的另一條弧.( )(3)經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.2 2、如圖，點(diǎn)、如圖，點(diǎn)A A、B B是是O O上兩點(diǎn)，上兩點(diǎn)，AB=8,AB=8,點(diǎn)點(diǎn)P P是是O O上的動(dòng)點(diǎn)（上的動(dòng)點(diǎn)（P P與與A A、B B不重合）不重合）, ,連接連接APAP、BP,BP,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O O分別作分別作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。?O?A?B?P?E?F43 在以在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D

15、兩點(diǎn)求證：兩點(diǎn)求證：ACBDACDBO4 已知：已知： O中弦中弦ABCD 求證：求證：ACBDCDABOOABC 有關(guān)圓的雙解問(wèn)題有關(guān)圓的雙解問(wèn)題1、已知、已知A、B、C是是 O上三點(diǎn)，且上三點(diǎn)，且AB=AC，圓，圓心心O到到BC的距離為的距離為3厘米，圓的半徑為厘米，圓的半徑為5厘米，求厘米，求AB長(zhǎng)。長(zhǎng)。D試一試試一試OABCOABOAB2、已知、已知 O的半徑為的半徑為5厘米，弦厘米，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8厘米，求此弦的中點(diǎn)到這條弦所對(duì)的弧的中厘米，求此弦的中點(diǎn)到這條弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)的距離。點(diǎn)的距離。3 已知：已知： O中弦中弦ABCD若若AB=16,CD12，半徑為，半徑為10，求弦求

16、弦AB、弦、弦CD之間的距離。之間的距離。CDABO 回顧與思考回顧與思考這節(jié)課你有什么收獲？這節(jié)課你有什么收獲？還有哪些疑問(wèn)？還有哪些疑問(wèn)？1.1.過(guò)過(guò)o o內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為1010, ,最短弦長(zhǎng)為最短弦長(zhǎng)為8 8, ,那么那么o o的半徑是（的半徑是（ ）2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那么那么C C到到ABAB的的距離等于（距離等于（ ） 3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C C的距離為的距離為1 1, ,那么那么O O的半徑為（的半徑為（ ）4 4、在半徑為、在半徑為25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，則此弦和弦所對(duì)的弧，則此弦和弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)的距離是的中點(diǎn)的距離是 . . 5 5、 O O的直徑的直徑AB=20cm, BAC=30AB=20cm, BAC=30則弦則弦AC=AC= . .6.6.在在O O中弦中弦ABAC,OMAB,ONAC,ABAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= AB= AC= AC= OA= OA= 7 7、如圖，、如圖，O O中中CDCD是弦，是弦，ABAB是直徑，是直徑，