全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題1

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題（一）（命題人：吳偉朝）第一試一、 選擇題：（每小題6分，共36分）1、 方程6×(5a2b2)5c2滿足c20的正整數(shù)解(a,b,c)的個(gè)數(shù)是（A）1（B）3（C）4（D）52、 函數(shù)（xR，x1）的遞增區(qū)間是（A）x2（B）x0或x2（C）x0（D）x或x3、 過定點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使AOB（O為原點(diǎn)）的面積最小，則l的方程為（A）xy30（B）x3y50（C）2xy50（D）x2y404、 若方程cos2xsin2xa1在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，則參數(shù)a的取值范圍是（A）0a1（B）3a1（C）a1（D）0a15、

2、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000項(xiàng)是（A）42（B）45（C）48（D）516、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1a2，a2a3，a3a4，a4a5的排列的個(gè)數(shù)是（A）8（B）10（C）14（D）16二、 填空題：（每小題9分，共54分）1、x表示不大于x的最大整數(shù)，則方程×x2x19x99的實(shí)數(shù)解x是 2、設(shè)a11，an+12ann2，則通項(xiàng)公式an 3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是 4、在ABC中，A，sinB，則cosC 5、設(shè)k、q是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2(2k1)xk210的兩個(gè)根

3、為sinq和cosq，則q的取值范圍是 6、數(shù)（nN）的個(gè)位數(shù)字是 三、 （20分）已知x、y、z都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且xyz1求證：x(12x)(13x)y(12y)(13y)z(12z)(13z)0，并確定等號(hào)成立的條件四、 （20分）（1） 求出所有的實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程x2(a2002)xa0的兩根皆為整數(shù)（2） 試求出所有的實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程x3(a22a2)x2a22a0有三個(gè)整數(shù)根五、 （20分）試求正數(shù)r的最大值，使得點(diǎn)集T(x,y)|x、yR，且x2(y7)2r2一定被包含于另一個(gè)點(diǎn)集S(x,y)|x、yR，且對(duì)任何qR，都有cos2qxcosqy0之中第二試一、（50分

4、）設(shè)a、b、cR，bac，ac，z是復(fù)數(shù)，且z2(ac)zb0求證：的充分必要條件是(ac)24b0二、（50分）ACBDQKP如圖，在ABC中，ABC和ACB均是銳角，D是BC邊上的內(nèi)點(diǎn)，且AD平分BAC，過點(diǎn)D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點(diǎn)K求證：（1） AKBC；（2） ，其中表示ABC的面積三、（50分）給定一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,an滿足下列n個(gè)方程：確定和式的值（寫成關(guān)于n的最簡式子）參考答案第一試一、選擇題：題號(hào)123456答案CCDABD二、填空題：1、或；2、7×2n-1n22n3；3、343；4、；5、q|q2npp或2np，nZ；6、1（n為偶數(shù)）；7（n為奇數(shù)）三、證略，等號(hào)成立的條件是或或或四、（1）a的可能取值有0，1336，1936，1960，2664，4000，2040；（2）a的可能取值有3，11，1，9五、rmax第二試一、證略（提示：直接解出，通過變形即得充分性成立，然后利用反證法證明必要性）二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上