基本思想的含義、作用與滲透途徑

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上基本思想的含義、作用與滲透途徑東北師范大學南湖實驗學校 孔凡哲 福建教育2012年第9期數(shù)學學習究竟學什么？除了知識、技能，還有什么？對于這個問題的思考，仁者見仁，智者見智。其中，弗萊登塔爾提出的“與其說學數(shù)學倒不如說學數(shù)學化”最具代表性，并被世界各國普遍認同?！皩W會數(shù)學化”已經(jīng)成為數(shù)學教育的核心目標和國際趨勢。所謂“數(shù)學化”，其實可以細化為“現(xiàn)實問題數(shù)學化”“數(shù)學內(nèi)部規(guī)律化”和“數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化”，其核心是數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學模型。一、基本思想的含義、作用與類別1含義所謂思想，一般是指客觀存在、反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，是人類一切行為的基礎。簡單地

2、說，思維之思維即思想。所謂數(shù)學的基本思想，是指數(shù)學科學賴以產(chǎn)生、發(fā)展的那些思想，是學生領會之后能夠終生受益的思想。史寧中教授在專著數(shù)學思想概論（第1輯）中指出的，“數(shù)學思想是指數(shù)學發(fā)展所依賴、所依靠的思想至今為止，數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型?！彪m然在解決具體問題時會涉及數(shù)學抽象、數(shù)學模型、等量替換、數(shù)形結合等數(shù)學思想，但是最上位的思想還是抽象思想、推理思想和模型思想(亦可稱之為建模思想)。2.作用從方法論的角度分析，我國中小學數(shù)學教育的優(yōu)勢在于基礎知識（概念記憶與命題理解）扎實、基本技能（證明技能與運算技能）熟練，這與“數(shù)學雙基教育”所希望達到的目的是一致的。但是，從

3、人的發(fā)展的角度考慮，特別是從培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的角度考慮，這種知識靠記憶、技能靠熟練的教學依賴于“熟能生巧”的傳統(tǒng)模式，僅靠這些是不夠的、甚至是不利的。事實上，真理的發(fā)現(xiàn)主要靠歸納（即廣義的歸納），而驗證、證明真理需要靠演繹。因此，必須將基本思想、基本活動經(jīng)驗放到與基礎知識、基本技能同等重要的位置，這正是2011年版課標的亮點之一。讓學生體會基本思想和積累基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要。其實，創(chuàng)新在本質(zhì)上源于歸納思維能力。而歸納能力建立在實踐的基礎上，歸納能力的培養(yǎng)可能會更依賴于“過程的教育”，依賴于經(jīng)驗的積累。這種積累正是基本思想的體會和感悟的過程、基本活動經(jīng)驗的積累和形成的過程，也就是說，基

4、本思想、基本活動經(jīng)驗只能在過程中加以培養(yǎng)，而不能采取簡單的結果式的教育方式。這里的“過程的教育”并不是指在授課時要講解、或者讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而是指學生探究的過程、學生思考的過程、學生抽象的過程、學生預測的過程、學生推理的過程、學生反思的過程等。通過這些過程，學生能親身感悟歸納、演繹的思想與方法，逐漸積累歸納、演繹并舉的思考與實踐的經(jīng)驗，進而逐步形成數(shù)學的思維方式和思維能力，這些恰恰被我們以往的數(shù)學課堂教學所忽視。3.類別中小學數(shù)學課程教學的核心目標在于“學會數(shù)學化”。按照具體過程，“數(shù)學化”可以細分為“現(xiàn)實問題數(shù)學化”“數(shù)學內(nèi)部規(guī)律化”和“數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化”，

5、分別對應著一種基本思想。（1）現(xiàn)實問題數(shù)學化抽象?！艾F(xiàn)實問題數(shù)學化”就是將現(xiàn)實問題進行適度的抽象，將其轉化為數(shù)學問題，其中的核心就是數(shù)學抽象。抽象雖然不是數(shù)學所獨有的，但是，數(shù)學抽象是對數(shù)量關系和空間形式的抽象，是一種特殊的抽象。數(shù)學的本質(zhì)是研究抽象了的東西，而這些抽象了的東西來源于現(xiàn)實世界，是被人抽象出來的。數(shù)學抽象的對象既可以是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系和空間形式，也可以是數(shù)學思維中的數(shù)量關系和空間形式。真正的知識來源于感性的經(jīng)驗并通過直觀和抽象而得到，并且這種抽象不能獨立于人的思維而存在。抽象是思維的基礎，因為只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認識中獲得事物（事件或?qū)嵨铮┑谋举|(zhì)特征，從而上

6、升到理性認識。（2）數(shù)學內(nèi)部規(guī)律化推理。數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展得益于數(shù)學推理，其中，推理既包括演繹推理，也包括廣義的歸納推理；而數(shù)學結構的建立得益于公理化，將數(shù)學整理成一個內(nèi)部條理、簡捷、完備的體系。數(shù)學內(nèi)部結構的奠基性工作需要借助公理化，而數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展需要借助推理來完成。小學數(shù)學中滲透了一點點公理化的思想，而初中數(shù)學中已經(jīng)有明確的公理化思想，建立明確的、相對完備的幾何公理體系。（3）數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化建模。數(shù)學的一種重要任務（也是數(shù)學賴以發(fā)展的重要動力）就是“數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化”，亦即主動尋找數(shù)學內(nèi)容的現(xiàn)實原型，主動利用數(shù)學發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中的問題、提出數(shù)學問題，并加以分析和解決，其中的核心就是數(shù)學模型?？傊?/p>

7、，在中小學數(shù)學中，最重要的基本思想是數(shù)學抽象、數(shù)學推理與數(shù)學建摸，這些對學生在數(shù)學上的終生可持續(xù)發(fā)展有益。二、基本思想與數(shù)學思想方法的關系2001年實驗稿課標中首次提出“基本的數(shù)學思想方法”目標，2011年版課標中提出數(shù)學的“基本思想”目標。數(shù)學的“基本思想”和“基本的數(shù)學思想方法”有何關系？經(jīng)過10年課改，大家普遍認為,所有的數(shù)學思想構成了一個分層的結構，包括：上位的基本思想，如抽象、推理、建模；下位的數(shù)學思想，如等價替換、數(shù)形結合、遞歸等；具體的數(shù)學方法，如合并同類項、配方、換元等。數(shù)學的基本思想是指數(shù)學科學賴以發(fā)展的核心思想，是數(shù)學的重要思想、核心思想，不同于一般的數(shù)學思想。史寧中教授認

8、為，基本思想是數(shù)學教學的主線，是最上位的數(shù)學思想。他給出基本思想的兩個判斷標準，一是數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想，二是學過數(shù)學和沒有學過數(shù)學的人在思維上的根本差異。由此，他確定出數(shù)學的三個基本思想，即抽象思想、推理思想、建模思想，把常見的數(shù)形結合思想、分類思想、集合思想、歸納思想、方程思想、函數(shù)思想等作為基本思想派生出的下位的數(shù)學思想。南開大學顧沛教授對數(shù)學思想方法進行了全面的梳理，他認為：由抽象思想派生出的下位的數(shù)學思想有分類思想、集合思想、數(shù)形結合思想、變中有不變思想、符號表示思想、對應思想等；由推理思想派生出的下位的數(shù)學思想有歸納思想、演繹思想、轉化思想、化歸思想、類比思想、逼近思想、代

9、換思想等；由建模思想派生出的下位的數(shù)學思想有化簡思想、量化思想、函數(shù)思想、方程思想、優(yōu)化思想、隨機思想等。他還指出：在用數(shù)學思想解決具體問題時，逐漸形成的程序化操作，就構成了具體的數(shù)學方法?？梢姡瑪?shù)學思想方法是數(shù)學思想與數(shù)學方法的匯合體，是過去人們的一種習慣性說法，而不是一種獨立的數(shù)學對象。2011年版課標之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，主要就是要與換元法、遞歸法、配方法等具體的數(shù)學方法區(qū)別開來。事實上，每一個具體的方法可能是重要的，但是這些方法并不具有一般性、普適性，因而,經(jīng)過一段時間，學生很可能就忘卻了。2011年版課標的教育理念的根基，是學生的全面、健康、和諧、可持續(xù)發(fā)展，即

10、人的全面發(fā)展觀。學生學習數(shù)學所獲得的數(shù)學的基本思想，應該是讓學生終生受用的那些數(shù)學思想，而不是一招一式的細微的思想，更不是解題術。這與曾經(jīng)流行的MM試驗不同，這里的MM試驗就是指“數(shù)學思想方法的試驗”，其中，“數(shù)學思想方法”是指各種各樣的數(shù)學思想，既包括基本思想，也包括層次很低、不具有普適性的下位的數(shù)學思想。三、基本思想的滲透途徑2011年版課標在闡述總體目標的“知識技能”目標中指出的：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎知識和基本技能。經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能。經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問

11、題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎知識和基本技能。參與綜合實踐活動，積累綜合運用數(shù)學知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學活動經(jīng)驗?！边@種表述方式實際上已經(jīng)明確指出，基本思想、基本活動經(jīng)驗的培養(yǎng)要與基礎知識、基本技能的學習融為一體。1.抽象思想的滲透數(shù)學抽象的基本思想存在于數(shù)學概念、命題的發(fā)展過程之中，因此，在獲得概念、命題的同時，也要引導學生體會和感悟數(shù)學中的抽象思想。以下將結合“27+5=？”的教學，談談“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法”中抽象思想的滲透。借助“10個雞蛋一盒”這個非?，F(xiàn)實的經(jīng)驗，直觀地呈現(xiàn)：27表示有2盒雞蛋和1盒不滿的雞蛋（即不滿的盒子里有7個雞蛋，這意味著有3個空位），

12、另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢？借助生活經(jīng)驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第3盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結果是32。這是最樸素的“湊十進位”，而這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。2.推理思想的滲透數(shù)學推理的基本思想存在于數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展之中，需要分類引導學生進行體會和感悟。例如，教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法”時，當大部分學生能比較熟練地進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算后，教師可以出示如下的問題：計算1211、1311、1511、1711，你有什么發(fā)現(xiàn)？用你

13、剛才的發(fā)現(xiàn)，猜一猜4511應該得多少？然后，用豎式算一算，看看你的猜測是否正確？需要修改你的發(fā)現(xiàn)嗎？用1163再驗證一次修改后的結論?？偨Y你的發(fā)現(xiàn)，說一說其中的道理。上面的教學過程讓學生在鞏固基礎知識、基本技能的過程中，經(jīng)歷 “個案1、個案n 歸納出一個共性規(guī)律，猜測驗證自己的猜測得出一般的結論”的思維過程，不僅獲得知識，也感受“數(shù)學家式”的思考過程、數(shù)學真理的“發(fā)現(xiàn)”過程，獲得普適性的思維經(jīng)驗：先分析個案1，再分析個案2嘗試歸納其共性的規(guī)律；接著，將猜得的結論用于新的個案上，分析理論上的結果，并利用實際操作驗證（如果吻合，確認結論；如果有問題，修正猜想，做出一個更貼切的猜想）。3.模型思想的

14、滲透數(shù)學模型是數(shù)學聯(lián)系外部世界的橋梁，需要重點關注，并在教學中滲透，讓學生逐步形成模型思想。如采用列方程的方法解決典型的雞兔同籠問題“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何”時，關鍵在于建立方程“模型”，其抽象過程如下：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關系，即“雞腳數(shù)與兔腳數(shù)之和，就是總腳數(shù)；雞頭數(shù)與兔頭數(shù)之和，就是總頭數(shù)；每只雞的腳數(shù)比每只兔的腳數(shù)多2”，并用自然語言表達出來。用等式表達關系，即雞腳數(shù) + 兔腳數(shù)=總腳數(shù)，雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=總頭數(shù)，每只雞的腳數(shù) =每只兔的腳數(shù)-2。用符號語言表達關系，即+ =35，2+4 =94，其中, 表示雞的總頭數(shù)，表示兔的總頭數(shù)， 2表示雞的總腳數(shù), 4

15、表示兔的總腳數(shù)。用含有未知數(shù)的方程表達關系，即設籠中有兔x只,由第一個關系知道雞有35-x只，于是，兔的總腳數(shù)為4x，雞的總腳數(shù)為2（35-x）。將這個關系帶入另一個等式，得2(35-x) +4x=94。至于解方程，其基本思路就是，將含有未知數(shù)的項放在方程的一邊，將不含未知數(shù)的項放在另一邊，進行代數(shù)式化簡和計算?？梢?，利用列一元一次方程解決問題，核心在一元一次方程建模的過程，即發(fā)現(xiàn)問題中的等量關系用等式表達關系用符號語言表達關系用含有未知數(shù)的方程表達關系一元一次方程?？傊?，對于數(shù)學的基本思想的體會和感悟,必須融入數(shù)學知識、技能的日常教學之中，必須持續(xù)不斷地進行滲透，不宜孤立地進行。首先，在數(shù)學概念、命題等的形成過程中，要重點引導學生體會和感悟抽象思想，這是體會抽象思想的主渠道。其次，在數(shù)學概