面板數(shù)據(jù)模型理論

1、5.2 面板數(shù)據(jù)模型理論 面板數(shù)據(jù)模型及類(lèi)型。面板數(shù)據(jù)（panel data）也稱(chēng)時(shí)間序列截面數(shù)據(jù)（time series and cross section data）或混合數(shù)據(jù)（pool data）。面板數(shù)據(jù)是同時(shí)在時(shí)間和截面空間上取得的二維數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)從橫截面（cross section）上看，是由若干個(gè)體（entity, unit, individual）在某一時(shí)刻構(gòu)成的截面觀測(cè)值，從縱剖面（longitudinal section）上看是一個(gè)時(shí)間序列。面板數(shù)據(jù)用雙下標(biāo)變量表示。例如：, ;其中，N表示面板數(shù)據(jù)中含有的個(gè)體數(shù)。T表示時(shí)間序列的時(shí)期數(shù)。若固定t不變， 是橫截面上的N個(gè)隨

2、機(jī)變量；若固定i不變，,是縱剖面上的一個(gè)時(shí)間序列。對(duì)于面板數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，如果從橫截面上看，每個(gè)變量都有觀測(cè)值，從縱剖面上看，每一期都有觀測(cè)值，則稱(chēng)此面板數(shù)據(jù)為平衡面板數(shù)據(jù)（balanced panel data）。若在面板數(shù)據(jù)中丟失若干個(gè)觀測(cè)值，則稱(chēng)此面板數(shù)據(jù)為非平衡面板數(shù)據(jù)（unbalanced panel data）。面板數(shù)據(jù)模型是建立在面板數(shù)據(jù)之上、用于分析變量之間相互關(guān)系的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型。面板數(shù)據(jù)模型的解析表達(dá)式為： 其中，為被解釋變量；表示截距項(xiàng)，為維解釋變量向量；為維參數(shù)向量；表示不同的個(gè)體；表示不同的時(shí)間；為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，滿足經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的基本假設(shè)。面板數(shù)據(jù)模型通常分為三類(lèi)。即混合模

3、型、固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型。 混合模型。如果一個(gè)面板數(shù)據(jù)模型定義為： 則稱(chēng)此模型為混合模型?；旌夏Ｐ偷奶攸c(diǎn)是無(wú)論對(duì)任何個(gè)體和截面，回歸系數(shù)和都是相同的 固定效應(yīng)模型。固定效應(yīng)模型分為3種類(lèi)型，即個(gè)體固定效應(yīng)模型（entity fixed effects regression model）、時(shí)間固定效應(yīng)模型（time fixed effects regression model）和時(shí)間個(gè)體固定效應(yīng)模型（time and entity fixed effects regression model）。 個(gè)體固定效應(yīng)模型。個(gè)體固定效應(yīng)模型就是對(duì)于不同的個(gè)體有不同截距的模型。如果對(duì)于不同的時(shí)間序列（

4、個(gè)體）截距是不同的，但是對(duì)于不同的橫截面，模型的截距沒(méi)有顯著性變化，那么模型就稱(chēng)為個(gè)體固定效應(yīng)模型立，表示如下， 式中，yit為被解釋變量, 為維解釋變量向量，是隨機(jī)變量，表示對(duì)于個(gè)個(gè)體有個(gè)不同的截距項(xiàng)，且其變化與有關(guān)；為維回歸系數(shù)向量，對(duì)不同的個(gè)體回歸系數(shù)相同，為隨機(jī)誤差項(xiàng)，則稱(chēng)此模型為個(gè)體固定效應(yīng)模型。 個(gè)體固定效應(yīng)模型也可以表示為 yit = g1 D1 + g2 D2 + +gN DN +b xit + t = 1, 2, , T 其中 時(shí)間固定效應(yīng)模型。如果一個(gè)面板數(shù)據(jù)模型定義為： 式中，是隨機(jī)變量，表示對(duì)于個(gè)截面有個(gè)不同的截距項(xiàng)，且其變化與有關(guān)；對(duì)不同的個(gè)體回歸系數(shù)相同，為隨機(jī)誤差

5、項(xiàng)，則稱(chēng)此模型為時(shí)間固定效應(yīng)模型。時(shí)間固定效應(yīng)模型就是對(duì)于不同的截面（時(shí)刻點(diǎn)）有不同截距的模型。如果確知對(duì)于不同的截面，模型的截距顯著不同，但是對(duì)于不同的時(shí)間序列（個(gè)體）截距是相同的，那么應(yīng)該建立時(shí)刻固定效應(yīng)模型。時(shí)間固定效應(yīng)模型也可以表示如下 yit = a1 D1 + a2 D2 + +aT DT +b1 xit +eit, i = 1, 2, , N 其中 個(gè)體時(shí)間固定效應(yīng)模型。如果一個(gè)面板數(shù)據(jù)模型定義為 式中，是隨機(jī)變量，表示對(duì)于個(gè)個(gè)體有個(gè)不同的截距項(xiàng)，且其變化與有關(guān)；是隨機(jī)變量,表示對(duì)于個(gè)截面有個(gè)不同的截距項(xiàng)，且其變化與有關(guān)；對(duì)不同的個(gè)體回歸系數(shù)相同，為隨機(jī)誤差項(xiàng)，則稱(chēng)此模型為個(gè)體時(shí)

6、間固定效應(yīng)模型。 隨機(jī)效應(yīng)模型 對(duì)于面板數(shù)據(jù)模型 如果yit為被解釋變量,為維解釋變量向量，為維回歸系數(shù)向量，對(duì)不同的個(gè)體回歸系數(shù)相同，是隨機(jī)變量，其分布與無(wú)關(guān)；為隨機(jī)誤差項(xiàng)，則稱(chēng)此模型為個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)模型。同理也可以定義時(shí)間隨機(jī)效應(yīng)模型和個(gè)體時(shí)間隨機(jī)效用模型。5.2.2 面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)方法 面板數(shù)據(jù)模型中的估計(jì)量既不同于截面數(shù)據(jù)估計(jì)量，也不同于時(shí)間序列估計(jì)量，其性質(zhì)隨模型類(lèi)型的設(shè)定是否正確，是否采用了相應(yīng)正確的估計(jì)方法而變化。面板數(shù)據(jù)模型中的解釋變量可以是時(shí)變的，也可以是非時(shí)變的。 混合最小二乘估計(jì) 混合最小二乘估計(jì)方法是在時(shí)間上和截面上把個(gè)觀測(cè)值混合在一起，然后用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)。給

7、定混合模型 ，如果模型是正確設(shè)定的，且解釋變量與誤差項(xiàng)不相關(guān)，即。那么無(wú)論是，還是，模型參數(shù)的混合最小二乘法估計(jì)量都具有一致性。對(duì)混合模型通常采用的是混合最小二乘估計(jì)。然而，對(duì)于經(jīng)濟(jì)面板數(shù)據(jù)，即使在隨機(jī)誤差項(xiàng)服從獨(dú)立同分布條件下，由最小二乘法得到的方差協(xié)方差矩陣通常也不會(huì)滿足假定條件。因?yàn)閷?duì)于每個(gè)個(gè)體及誤差項(xiàng)來(lái)說(shuō)通常是序列相關(guān)的。個(gè)自相關(guān)觀測(cè)值要比個(gè)相互獨(dú)立的觀測(cè)值包含的信息少。從而導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差常常被低估，估計(jì)量的精度被虛假夸大。如果模型存在個(gè)體固定效應(yīng)模型，即與相關(guān)，那么對(duì)模型應(yīng)用混合最小二乘估計(jì)方法，估計(jì)量不再具有一致性。 平均數(shù)最小二乘估計(jì)法平均數(shù)最小二乘（between OL

8、S）估計(jì)法的步驟是首先對(duì)面板數(shù)據(jù)中的每個(gè)個(gè)體求平均數(shù)，共得到個(gè)平均數(shù)估計(jì)值。然后利用和的這組觀測(cè)值估計(jì)回歸參數(shù)。以個(gè)體固定效應(yīng)模型 為例，首先對(duì)面板中的每個(gè)個(gè)體求平均數(shù)。令 ，（是階列向量）從而建立模型 變換上式得 上式稱(chēng)做平均數(shù)模型。對(duì)上式應(yīng)用最小二乘估計(jì)，則參數(shù)估計(jì)量稱(chēng)做平均數(shù)最小二乘估計(jì)量。此條件下的樣本容量為。如果與相互獨(dú)立，和的平均數(shù)最小二乘估計(jì)量是一致估計(jì)量。平均數(shù)最小二乘估計(jì)法適用于短期面板的混合模型和個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)模型。對(duì)于個(gè)體固定效應(yīng)模型來(lái)說(shuō)，由于和相關(guān)，也就是說(shuō)和相關(guān)，所以，回歸參數(shù)的平均數(shù)最小二乘估計(jì)量是非一致估計(jì)量。 離差變換最小二乘估計(jì)量對(duì)于短期面板數(shù)據(jù)，離差變換最小二

9、乘（within OLS）估計(jì)法的原理是先把面板數(shù)據(jù)中每個(gè)個(gè)體的觀測(cè)值變換為對(duì)其平均數(shù)的離著觀測(cè)值，然后利用離差變換數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)。以個(gè)體固定效應(yīng)模型為例，具體步驟是先對(duì)每個(gè)個(gè)體計(jì)算平均數(shù)、，可得到如下模型， 其中、為每個(gè)個(gè)體的平均。上兩式相減，消去了，得此模型稱(chēng)做離差變換數(shù)據(jù)模型。對(duì)離差變換數(shù)據(jù)模型應(yīng)用最小二乘估計(jì)，所得稱(chēng)做離差變換最小二乘估計(jì)量。對(duì)于個(gè)體固定效應(yīng)模型，的離差變換最小二乘估計(jì)量是一致估計(jì)量。如果還滿足獨(dú)立同分布條件，的離差變換最小二乘估計(jì)量不但具有一致性而且還具有有效性。 可行廣義最小二乘估計(jì)法（隨機(jī)效應(yīng)估計(jì)法）有個(gè)體隨機(jī)效應(yīng)模型 其中為常數(shù)。，服從獨(dú)立同分布。對(duì)其做以下變

10、換 其中漸近服從獨(dú)立同分布，。、的定義式見(jiàn)(15-14)。對(duì)式（15-17）應(yīng)用最小二乘估計(jì)，則所得的估計(jì)量稱(chēng)為可行廣義最小二乘估計(jì)量或隨機(jī)效應(yīng)估計(jì)量。當(dāng)時(shí)，式（15-17）等同于混合最小二乘估計(jì);當(dāng)時(shí)，式（15-17）等同于離差變換最小二乘估計(jì)。對(duì)于隨機(jī)效應(yīng)模型，可行廣義最小二乘估計(jì)量不但是一致估計(jì)量，而且是有效估計(jì)量，但對(duì)于個(gè)體固定效應(yīng)模型，可行廣義最小二乘估計(jì)量不是一致估計(jì)量。在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)面板數(shù)據(jù)中，個(gè)個(gè)體之間相互獨(dú)立的假定通常是成立的，但是每個(gè)個(gè)體本身卻常常是序列自相關(guān)的，且存在異方差。為了得到正確的統(tǒng)計(jì)推斷，需要克服這兩個(gè)因素。5.2.3 面板數(shù)據(jù)模型的檢驗(yàn)面板數(shù)據(jù)模型的檢驗(yàn)是檢驗(yàn)對(duì)

11、于給定的面板數(shù)據(jù)應(yīng)該建立何種類(lèi)型的面板數(shù)據(jù)模型，包括混合模型、固定效應(yīng)模型和隨機(jī)效應(yīng)模型。面板數(shù)據(jù)模型的檢驗(yàn)有兩種檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)和Hausman檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)應(yīng)該建立混合模型還是應(yīng)該建立個(gè)體效應(yīng)模型。Hausman檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)應(yīng)該建立隨機(jī)效應(yīng)模型還是固定效應(yīng)模型。 F 檢驗(yàn)F檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)應(yīng)該建立混合模型還是應(yīng)該建立個(gè)體效應(yīng)模型。面板數(shù)據(jù)模型的一項(xiàng)重要任務(wù)就是判別模型中的是否存在給固定效應(yīng)。 個(gè)體固定效應(yīng)模型的檢驗(yàn)相對(duì)于混合模型來(lái)說(shuō)，是否有必要建立個(gè)體固定效應(yīng)模型可以通過(guò)F檢驗(yàn)來(lái)完成。F檢驗(yàn)的假設(shè)為：原假設(shè)H0：不同個(gè)體的模型截距項(xiàng)相同（建立混合估計(jì)模型）。備擇假設(shè)H1：不同個(gè)體的模型截距項(xiàng)

12、不同（建立個(gè)體固定效應(yīng)模型）。在假設(shè)成立的情況下F統(tǒng)計(jì)量定義為：F=其中SSEr表示估計(jì)的混合模型的殘差平方和，SSEu表示估計(jì)的個(gè)體固定效應(yīng)模型的殘差平方和。N表示個(gè)體單位數(shù)量，T表示時(shí)間的個(gè)數(shù)，當(dāng)模型中含有k個(gè)解釋變量時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的分母自由度是NT-N-k。F統(tǒng)計(jì)量定義為： 時(shí)間固定效應(yīng)模型的檢驗(yàn)相對(duì)于混合估計(jì)模型來(lái)說(shuō)，是否有必要建立時(shí)間固定效應(yīng)模型可以通過(guò)F檢驗(yàn)來(lái)完成。F檢驗(yàn)的假設(shè)為:H0：對(duì)于不同橫截面模型截距項(xiàng)相同（建立混合估計(jì)模型）。H1：對(duì)于不同橫截面模型的截距項(xiàng)不同（建立時(shí)刻固定效應(yīng)模型）。在假設(shè)成立的情況下F統(tǒng)計(jì)量定義為：F= 其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估計(jì)

13、模型的）和非約束模型（時(shí)刻固定效應(yīng)模型的）的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了T-1個(gè)被估參數(shù)。當(dāng)模型中含有k個(gè)解釋變量時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的分母自由度是NT-T- k。 時(shí)間個(gè)體固定效應(yīng)模型檢驗(yàn)。相對(duì)于混合估計(jì)模型來(lái)說(shuō)，是否有必要建立時(shí)刻個(gè)體固定效應(yīng)模型可以通過(guò)F檢驗(yàn)來(lái)完成。H0：對(duì)于不同橫截面，不同序列，模型截距項(xiàng)都相同（建立混合估計(jì)模型）。H1：不同橫截面，不同序列，模型截距項(xiàng)各不相同（建立時(shí)刻個(gè)體固定效應(yīng)模型）。在假設(shè)成立的情況下F統(tǒng)計(jì)量定義為：F=其中SSEr，SSEu分別表示約束模型（混合估計(jì)模型的）和非約束模型（時(shí)間個(gè)體固定效應(yīng)模型的）的殘差平方和。非約束模型比約束模型多了N+T個(gè)被估

14、參數(shù)。當(dāng)模型中含有k個(gè)解釋變量時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的分母自由度是NT-N-T- k-1。 變系數(shù)固定效應(yīng)模型檢驗(yàn)相對(duì)于時(shí)間固定效應(yīng)模型而言，變系數(shù)模型檢驗(yàn)的基本假設(shè)為H0：對(duì)于不同橫截面，模型截距項(xiàng)不相同、回歸系數(shù)都相同。（建立固定效應(yīng)模型）。H1：對(duì)于不同橫截面，模型截距項(xiàng)不相同、回歸系數(shù)不同。（建立變系數(shù)固定效應(yīng)模型）。在假設(shè)成立的情況下，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量定義為其中SSEr，SSEu分別表示固定效應(yīng)估計(jì)模型和變系數(shù)固定效應(yīng)模型的殘差平方和。 Hausman檢驗(yàn)對(duì)一個(gè)參數(shù)的兩種估計(jì)量差異的顯著性檢驗(yàn)稱(chēng)做（Hausman）檢驗(yàn)。檢驗(yàn)由豪斯曼（Hausman）1978年提出，是在杜賓（Durbin，1914年提

15、出）和吳（Wu，1973年提出）基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。所以檢驗(yàn)也稱(chēng)做吳-杜賓檢驗(yàn)和杜賓-吳-豪斯曼檢驗(yàn)。 檢驗(yàn)原理。比如在檢驗(yàn)單一方程中某個(gè)解釋變量的內(nèi)生性問(wèn)題時(shí)得到相應(yīng)回歸參數(shù)的兩個(gè)估計(jì)量，一個(gè)是最小二乘估計(jì)量、一個(gè)是2SLS估計(jì)量。其中2SLS估計(jì)量用來(lái)克服解釋變量可能存在的內(nèi)生性。如果模型的解釋變量中不存在內(nèi)生性變量，那么最小二乘估計(jì)量和2SLS估計(jì)量都具有一致性，都有相同的概率極限分布。如果模型的解釋變量中存在內(nèi)生性變量，那么回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)量是不一致的而2SLS估計(jì)量仍具有一致性，兩個(gè)估計(jì)量將有不同的概率極限分布。更一般地，假定用兩種方法得到個(gè)回歸系數(shù)的兩組估計(jì)量和(都是階的)，則

16、檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是： H0：plim H1：plim假定相應(yīng)兩個(gè)估計(jì)量的差作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量也具有一致性，在H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量其中是的極限分布方差協(xié)方差矩陣。則統(tǒng)計(jì)量定義為：其中是的估計(jì)的方差協(xié)方差矩陣。在H0成立條件下，統(tǒng)計(jì)量漸近服從分布。其中表示零假設(shè)中約束條件個(gè)數(shù)。 檢驗(yàn)原理很簡(jiǎn)單，但實(shí)際中得到的一致估計(jì)量卻并不容易。一般來(lái)說(shuō)，其中，在一般軟件計(jì)算中都能給出。但不能給出，致使統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中無(wú)法使用。實(shí)驗(yàn)中也常進(jìn)行如下檢驗(yàn)。H0：模型中所有解釋變量都是外生的 H1：模型中某些解釋變量是內(nèi)生的在原假設(shè)成立條件下，解釋變量參數(shù)的最小二乘估計(jì)量是有效估計(jì)量。則有。于是式（15-20）變?yōu)?/p>

17、 （15-21）把式（15-21）結(jié)果代入式（15-19），得 （15-22）其中和分別是對(duì)和的估計(jì)。與式（15-20）比較，這個(gè)結(jié)果只要求計(jì)算和，統(tǒng)計(jì)量（15-22）具有實(shí)用性。原假設(shè)成立條件下，式（15-22）定義的統(tǒng)計(jì)量漸近服從分布。當(dāng)為標(biāo)題，只表示一個(gè)參數(shù)時(shí)，式（15-22）定義的統(tǒng)計(jì)量退化為標(biāo)量， （15-23）其中和分別表示和的樣本方差。檢驗(yàn)用途很廣?？捎脕?lái)做模型丟失變量的檢驗(yàn)、變量?jī)?nèi)生性檢驗(yàn)、模型形式設(shè)定檢驗(yàn)、模型嵌套檢驗(yàn)、建模順序檢驗(yàn)等。 面板數(shù)據(jù)中利用統(tǒng)計(jì)量確定模型形式的檢驗(yàn)。假定面板數(shù)據(jù)模型的誤差項(xiàng)滿足通常的假定條件，如果真實(shí)的模型是隨機(jī)效應(yīng)模型，那么的離差變換最小二乘估計(jì)量和可行廣義最小二乘法估計(jì)量都具有一致性。如果真實(shí)的模型是個(gè)體固定效應(yīng)模型，則參數(shù)的離差變換最小二乘法估計(jì)量是一致估計(jì)量，但可行廣義最小二乘估計(jì)量是非一致估計(jì)量。那么，當(dāng)對(duì)一個(gè)面板數(shù)據(jù)模型同時(shí)進(jìn)行離差變換最小二乘估計(jì)和可行廣義最小二乘估計(jì)時(shí)，如果回歸系數(shù)的兩種估計(jì)結(jié)果差別小，說(shuō)明應(yīng)該建立隨機(jī)效應(yīng)模型；如果回歸系數(shù)的兩種估計(jì)結(jié)果差別大，說(shuō)明應(yīng)該建立個(gè)體固定效應(yīng)模型?？梢酝ㄟ^(guò)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)（）的非零顯著性，檢驗(yàn)面板數(shù)據(jù)模型中是否存在個(gè)體固定效應(yīng)。檢驗(yàn)原理見(jiàn)表15-3。表1