非線性微分方程和穩(wěn)定性

1、第六章 非線性微分方程和穩(wěn)定性6-1 對下列方程求出常數(shù)特解，并且畫出方程經(jīng)過的積分曲線的走向，從而判斷各駐定解的穩(wěn)定性；然后作變量替換，使非零駐定解對應(yīng)于新的方程的零解。1）2）解 1）方程可化為 ，則其常數(shù)特解為 ，即為駐定解。由于方程為分離變量方程（或迫努利方程），當(dāng)時(shí)，分離變量得方程的通解為利用初始條件，得 ，故得原方程滿足初始條件的解為 （1）由式（1）和方程右端的表達(dá)式，得出 當(dāng)時(shí)，遞增， 又 時(shí)，即時(shí)，。當(dāng) ，有所以解（1）的圖像如圖6-5所示。 otx 圖6-5從解的圖像可以看出： 解不穩(wěn)定；解穩(wěn)定。 利用變換，可將原方程化為 所以原方程的駐定解對應(yīng)于方程的零解。2）由，求得常

2、數(shù)解為 。 因?yàn)樵谌矫嫔线B續(xù)可微，故對任意初始點(diǎn)，解唯一存在，當(dāng)時(shí)有 在區(qū)域，任意解遞增，在時(shí) ，以為漸近線。 在區(qū)域，任意解遞減，在時(shí) ，以為漸近線。 在區(qū)域，任意解遞增，在時(shí) ，遠(yuǎn)離，又，故有鉛直漸近線。積分曲線的分布如圖6-6所示。 o13xt 圖6-6從圖6-6看出：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，駐定解穩(wěn)定；不穩(wěn)定。令，代入原方程，得 令，代入原方程，得 所以原方程的駐定解和對應(yīng)于新方程的零解。評注：駐定解是使方程的左端為零的解，也就是常數(shù)解。如果方程的通解能夠解出，直接可研究駐定解的穩(wěn)定性；如果方程的解不易得到，就從方程本身的特點(diǎn)研究其穩(wěn)定性，這時(shí)可利用解的導(dǎo)數(shù)的符號得到解的單調(diào)區(qū)間從而推斷

3、駐定解的穩(wěn)定性。從題目中我們還可以知道，非零駐定解可以通過變量替換化為新方程的零解，這也是為什么在穩(wěn)定性理論的研究中只考慮零解穩(wěn)定性的緣故。方程是著名的羅杰斯蒂克（Logistic）微分方程型，常用來研究生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的問題。6-2 試討論線性方程組 的奇點(diǎn)類型，其中為實(shí)數(shù)且。解 因?yàn)榉匠探M是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故線性方程組有唯一的奇點(diǎn)，即原點(diǎn)。又由 ，得 。所以由定理6.1知，方程組的奇點(diǎn)可以分為以下類型：評注：討論含參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，要注意各個(gè)參數(shù)的變化對奇點(diǎn)類型的影響。6-3 試求出下列方程組的所有奇點(diǎn)，并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。1） 2） 解 1） 先求出奇點(diǎn)。

4、解方程組 得，所以方程組1）有奇點(diǎn)為和。 再研究駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。零解的穩(wěn)定性態(tài)。奇點(diǎn)的一次近似方程組為其特征根，有正實(shí)部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知原系統(tǒng)的零解不穩(wěn)定。駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。令將1）中方程組化為 。一次近似方程組為 ，有正實(shí)部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知駐定解不穩(wěn)定。 駐定解的穩(wěn)定性態(tài)令將1）中方程組化為一次近似方程組為其特征根，由定理6.3和定理6.5可知駐定解漸近穩(wěn)定。2） 先求出奇點(diǎn)。解方程組得，故系統(tǒng)2）有奇點(diǎn)為和。再研究駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。一般地，對于系統(tǒng)，它在駐定解的一次近似方程組為， 其中方程組的系數(shù)矩陣稱為函數(shù)關(guān)于的雅可比矩陣。在此題中，駐定解的

5、一次近似方程組為，所以系統(tǒng)2）零解的一次近似方程組為 ，有正實(shí)部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知零解不穩(wěn)定。系統(tǒng)2）在的一次近似方程組為特征根為，顯然有正實(shí)部的特征根，由定理6.3和定理6.5可知駐定解不穩(wěn)定。評注：系統(tǒng)的常數(shù)解即為駐定解，對應(yīng)到相平面上就是奇點(diǎn)。本題1）的解法是先將駐定解平移至零解，然后利用它的一次近似系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性來研究非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定。本題2）給出得到一次近似系統(tǒng)的另一種方法，是將系統(tǒng)在奇點(diǎn)處按泰勒公式展開取線性主部即可。6-4 研究下列方程（組）零解的穩(wěn)定性。1） （1）2），為常數(shù)。解 1） 令 ，則方程（1）可化為為 （2）則，因?yàn)樗杂苫艟S茲定理得，特

6、征根均具有負(fù)實(shí)部，因而（2）的零解即（1）的零解漸近穩(wěn)定。2） ，所以，當(dāng)時(shí)，特征根均具有負(fù)實(shí)部，方程組的零解是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，有正實(shí)部的特征根，方程組的零解是不穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，沒有正實(shí)部的特征根，且具有零實(shí)部的根的初級因子的次數(shù)等于1，故方程組的零解是穩(wěn)定的（但非漸近穩(wěn)定）。評注：高階方程零解的穩(wěn)定性可化為與之等價(jià)的一階線性微分方程組零解的穩(wěn)定性問題來研究，而常系數(shù)一階線性微分方程組零解的穩(wěn)定性可歸結(jié)為它的特征根的問題。注意霍維茲定理的應(yīng)用。6-5某自激振動系統(tǒng)以數(shù)學(xué)形式表示如下（范得坡方程）試討論系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性態(tài)。解 令，則原方程化為，一次近似方程組為，由，得，具有正實(shí)部的根，由定

7、理6.3和定理6.5 得方程組的零解不穩(wěn)定，因而，所討論系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。評注：先將高階方程化為與之等價(jià)的一階線性微分方程組，再研究方程組的一次近似系統(tǒng)，應(yīng)用定理6.5 得到原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。6-6 研究下列方程組零解的穩(wěn)定性：1） 2）3） 4）（為參數(shù)）解 1）取定正函數(shù)，則定負(fù)，所以由定理6.6知方程組的零解是漸近穩(wěn)定的。2） 取變號函數(shù)，則定正，故在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)定正。由于是變號函數(shù)，故在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某點(diǎn)使，故方程組的零解是不穩(wěn)定的。3）取正定函數(shù)，則有方程組的零解是穩(wěn)定的。4） 取定正函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，常負(fù)，方程組的零解是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，方程組的線性近似方程組具有正實(shí)

8、部的特征根：，因而方程組的零解是不穩(wěn)定的。評注：利用李雅普諾夫第二方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵尋找適當(dāng)?shù)腣函數(shù)。特別注意尋找的V函數(shù)只要在零解的某一個(gè)鄰域內(nèi)滿足條件即可。6-7給定微分方程組，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。試證明在原點(diǎn)鄰域內(nèi)如當(dāng)，則零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)則零解是不穩(wěn)定的。證 顯然原方程組的由初始條件所確定的解，在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)存在且唯一。是方程組的特解。取定正函數(shù)，則其通過方程組的全導(dǎo)數(shù)為：。因此，在原點(diǎn)鄰域內(nèi)當(dāng)，則定負(fù)，零解為漸近穩(wěn)定的；當(dāng)，則定正，零解為不穩(wěn)定的。評注：正確選擇V函數(shù)。6-8 給定方程，其中，而當(dāng)時(shí)。試將其化為一階方程組，并用形如的李雅普諾夫函數(shù)討論方程組零解的穩(wěn)定性

9、。解 令，則，原方程化為，取函數(shù)，由于，且當(dāng)時(shí)，所以是定正函數(shù)，則有，方程組的零解為穩(wěn)定的。評注：給出了一種V函數(shù)的構(gòu)造方法。6-9 方程組能否由線性近似方程決定其穩(wěn)定性問題？試尋求李雅普諾夫函數(shù)以解決這方程組的零解的穩(wěn)定性問題。同時(shí)變動高次項(xiàng)使新方程的零解為不穩(wěn)定的。解 由，得，屬于臨界情形，因此原方程的零解的穩(wěn)定性態(tài)是不能由線性近似方程組來決定的。為此，取定正函數(shù)，則定負(fù)，故原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的。如果變動高次項(xiàng)，使 仍取定正函數(shù)，則有定正。則新方程組的零解為不穩(wěn)定的。評注：當(dāng)一次近似系統(tǒng)有初級因子的次數(shù)不等于1的零根或具零實(shí)部的根（即臨界情形）時(shí)，非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性態(tài)是不能由線性

10、近似方程組來決定的。此題說明在臨界情形下改變高次項(xiàng)既可使得系統(tǒng)穩(wěn)定也可使其不穩(wěn)定。6-10 試確定下列方程組的周期解、極限環(huán)，并討論極限環(huán)的穩(wěn)定性。1） 2） 當(dāng)， 當(dāng) 解 1）取極坐標(biāo) ，則有 ，因而方程組可化為： （1）由（1）知，當(dāng)和時(shí)，而，即有兩個(gè)特解： ， ，第一個(gè)特解是零解，在相平面上為原點(diǎn)，是一奇點(diǎn)。第二個(gè)特解表示以為周期的周期解，即半徑為1的等距螺旋線，在相平面上是以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓，這個(gè)圓就是閉軌線，由方程組（1）的第二式知，軌線是沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的。下面判斷此閉軌線是極限環(huán)。在相平面上，以原點(diǎn)為圓心，任作一個(gè)半徑為的圓，考察方程組通過這個(gè)圓上任一點(diǎn)的軌線的走向：當(dāng)

11、時(shí)，由（1）有，是的遞減函數(shù)，是的遞增函數(shù)，故隨著的增大，軌線按逆時(shí)針方向從圓上走進(jìn)圓內(nèi)；當(dāng)時(shí)，由（1）有，是的遞減函數(shù)，是的遞增函數(shù)，表示軌線沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，故隨著的增大，軌線按逆時(shí)針方向從圓上走進(jìn)圓內(nèi)。綜上所述得如下結(jié)論： 原方程組有周期解：； 閉軌線是孤立的，因而它是一個(gè)極限環(huán)； 此極限環(huán)的外側(cè)軌線正向趨近于它，而內(nèi)側(cè)軌線負(fù)向趨近于它，因而是半穩(wěn)定的。2） 取極坐標(biāo)，則原方程組可化為 （2）方程組（2）有兩個(gè)特解為任意角 ， ，其中第一個(gè)特解是零解，在相平面上為原點(diǎn)，是一奇點(diǎn)。第二個(gè)特解表示以為周期的周期解，即半徑為1的等距螺旋線，在相平面上是以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓，這個(gè)圓就是閉軌

12、線，由方程組（2）的第二式知，軌線是沿著順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的。下面判斷此閉軌線是極限環(huán)。在相平面上，任作以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，考察方程組通過此圓上任一點(diǎn)的軌線的走向：當(dāng)時(shí)，由（2）有，是的遞增函數(shù)，表示軌線沿順時(shí)針方向運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，由（1）有，是的遞減函數(shù)，順時(shí)針方向 。所以，當(dāng)時(shí)，軌線均趨于圓，因此圓是原系統(tǒng)的一穩(wěn)定的極限環(huán)。綜上所述得如下結(jié)論： 原方程組有周期解：； 閉軌線是孤立的，因而它是一個(gè)極限環(huán)； 此極限環(huán)的內(nèi)外兩側(cè)的軌線順時(shí)針趨近于它，因而是穩(wěn)定的。評注：研究系統(tǒng)極限環(huán)時(shí)，常用極坐標(biāo)變換，注意在極坐標(biāo)下奇點(diǎn)和閉軌線的表達(dá)式。研究極限環(huán)的穩(wěn)定性時(shí)，需考慮閉軌鄰域內(nèi)軌線的走向。注意區(qū)分

13、周期解、閉軌和極限環(huán)。6-11判別方程組 有無極限環(huán)存在解 因?yàn)?，所以由定?.9可知，方程組在的區(qū)域內(nèi)不存在極限環(huán)。 下面討論包括在內(nèi)的區(qū)域上極限環(huán)的存在性。取極坐標(biāo)，則原方程組可化為 （1）由于，所以的最小值為，最大值為。由此，若取時(shí)，則恒成立；若取時(shí)，則恒成立。 令，則因?yàn)?，故，即有。于是?dāng)時(shí)，恒成立，又此時(shí)當(dāng)時(shí)，。因此，在相平面上，以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，則在此圓以外的鄰近區(qū)域內(nèi)，軌線沿順時(shí)針方向向外走。同理令，得，于是，當(dāng)時(shí)，恒成立。又此時(shí)恒成立。因此，在相平面上，以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，則在此圓以外的鄰近區(qū)域內(nèi)，軌線沿順時(shí)針方向向圓內(nèi)走。又在環(huán)形域內(nèi)，沒有方程組的奇點(diǎn)，故由

14、a）和b）知原方程組在環(huán)形域內(nèi)一定存在不穩(wěn)定的極限環(huán)。評注：班狄克生環(huán)域定理（定理6.8）是判斷極限環(huán)存在的有效方法，注意環(huán)域的構(gòu)造。定理6.9是尋找極限環(huán)不存在的區(qū)域的簡捷方法。6-12 考慮方程組其中函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)存在函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)于域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)不變號且在內(nèi)的任一子域內(nèi)不恒等于零。試證明上述方程組于域內(nèi)不存在任何周期解。應(yīng)用此結(jié)論證明方程沒有極限環(huán)存在，其中為常數(shù)，且。證 假設(shè)內(nèi)存在周期為的周期解，根據(jù)格林公式，則對于由所圍成的區(qū)域有，所以，這與已知在的任一子域內(nèi)不恒等于零相矛盾，故原方程組在內(nèi)不存在任何周期解。令，則可將方程化為方程組 取，則所以方程不存在任何周期解，當(dāng)然更沒有極限環(huán)存在。評注：本題給出了極限環(huán)不存在的判別方法，稱為杜拉克（Dulac）準(zhǔn)則，關(guān)鍵尋找杜拉克函數(shù)。6-13 證明下列方程（組）存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)1） （1）2），（ 為正常數(shù)，為正整數(shù)）。證 1） 方程組（1）可化為與其等價(jià)的方程：即 （2