面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1

1、面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示    學(xué)習(xí)內(nèi)容    1兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：    若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2    2向量的模：    若a=（x，y），則|a|2=a·a=x2+y2，|a|=    3兩點(diǎn)間的距離公式：    設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則=（x2-x1，y2-y1），|=   

2、;   4兩向量垂直的坐標(biāo)條件：    設(shè)兩非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則abx1x2+y1y2=0       5設(shè)A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），則（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0     學(xué)習(xí)重點(diǎn)    1向量有坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積也有坐標(biāo)表示，即為：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2

3、+y1y2于是與a·b=|a|·|b|cos（是a，b的夾角）相對(duì)照，a，b夾角的余弦也可以用坐標(biāo)表示:    cos= ，這樣求兩個(gè)向量（已知坐標(biāo)）間的夾角就十分方便了       2兩非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要條件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0它為我們證明幾何中的垂直問題提供了強(qiáng)有力的工具       3兩向量a，b共線的充要條件是存在R，使a=b這里應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示可以得到a，b共線的充要條件是：|x1x2+y

4、1y2|=   學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用向量的數(shù)量積解決具體問題。 內(nèi)容講解： 上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，而向量是可以用坐標(biāo)來表示的，那么向量數(shù)量積是如何用坐標(biāo)表示呢？下面我們來學(xué)習(xí)這部分知識(shí)。 我們給出兩個(gè)非零向量 （用坐標(biāo)給出），我們知道坐標(biāo)是與從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對(duì)應(yīng)。如圖不妨設(shè)： 則有A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1, y1),(x2,y2)，又設(shè)x,y軸上的單位向量為 ， 則有 ， 是互相垂直的單位向量， ， ， 則 也就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和（結(jié)果是數(shù)量），即 ， 若 則 ， ， ， 上圖中A(x1,y1),B(x2,y2), 則 則 。 這就是我們

5、已經(jīng)使用過的平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（不用向量你會(huì)推導(dǎo)嗎）。 上圖中若設(shè)AOB=， 則 ， 即 。 由此可得到兩個(gè)向量的夾角。特別地，當(dāng)=90°時(shí)，cos=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知： 垂直的充要條件是x1x2+y1y2=0。 這個(gè)充要條件在今后解決問題中十分重要。 下面我們通過例題用坐標(biāo)的形式再一次驗(yàn)證。     例題分析第一階梯    例1. 判斷題    1若A，B，C是坐標(biāo)平面上不同的三點(diǎn)，則ABBC的充要條件是·=0（ × ）  

6、60;  2設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|+|=（ × ）     3已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夾角為，則sin=（ × ）     例2已知M（a，0），N（0，b）則|等于（ C ）     A|a|+|b| B      C   D      例3. 已知a=（2m-1，2+m），若|a|，則m的取值

7、范圍為（ B ）     A（-1，1） B-1，1      C， D（-，-1）1，+     例4. 已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），則·= 7 ，·= 18      例5. 已知A（1+ a2，0），B（0，1- a2），則|= 第二階梯    例1在下列各命題中為真命題的是     若a=（x1，y1）、b=（x2，y2）

8、，則a·b= x1y1+ x2y2     若A=（x1，y1）、B=（x2，y2）， 則|=     若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則a·b=0x1x2+y1y2=0     若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），則abx1x2+y1y2=0     A B      C D      解：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a

9、=（x1，y1）、b=（x2，y2），則a·b=x1x2+ y1y2，對(duì)照命題（1）的結(jié)論可知，它是一個(gè)假命題 于是對(duì)照選擇項(xiàng)的結(jié)論可以排除（A）與（D），而在（B）與（C）中均含有（3）故不必對(duì)（3）進(jìn)行判定，它一定是正確的對(duì)命題（2）而言，它就是兩點(diǎn)間距離公式，故它是真命題這樣就可以排除（C），應(yīng)選擇（B）     反思回顧：對(duì)于命題（3）而言，由于a·b=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一個(gè)真命題而對(duì)于命題（4）來講，abÞ x1x2+y1y2=0但反過來，當(dāng)x1x2+y1y2=0時(shí)，可以是x1=y

10、1=0，即a=0，而教科書并沒有對(duì)零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定，因此x1x2+y1y2推不出ab，所以命題（4）是個(gè)假命題     例2已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：a·c=4，b·c=-9試求向量c的坐標(biāo)     分析：這里應(yīng)利用方程思想進(jìn)行求解，我們可根向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立向量c的縱橫坐標(biāo)的二元一次方程組，解該方程組即可求得C的坐標(biāo)     解：設(shè)c=（x， y），則由a·c=4可得：   

11、;      2x+y=4；又由b·c=-9可得：-x+3y=-9         于是有：2x+y=4 （1）         -x+3y=-9 （2）         由（1）+2（2）得7y=-14y=-2，將它代入（1）可得：x=3     

12、    c =（3，-2）     反思回顧：已知兩向量a，b可以求出它們的數(shù)量積a·b，但是反過來，若已知向量a及數(shù)量積a·b，卻不能確定b需要象本例一樣，已知兩向量，及這兩個(gè)向量與第三個(gè)向量的數(shù)量積，則我們可利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，通過解方程組的方法，確定第三個(gè)向量     例3. 已知A、B、C、D是坐標(biāo)平面上不共線的四點(diǎn)，則與共線是·=·=0的（ ）     A充分不必要條件   

13、  B必要不充分條件     C充要條件     D既不充分也不必要的條件     分析：這里要選出正確結(jié)論，需要判定下列兩個(gè)命題，（1）若與與共線，則·=·；（2）若·=·=0，則與共線對(duì)上述兩個(gè)命題的真假情況判斷清楚了，本例也就解決了     解：由與共線可知：四邊形的邊與互相平行，但未必有所以·=0與·=0不能成立即命題（1）不真；但是反過來，由·=&

14、#183;=0，可知：及，所以/，即與共線，故命題（2）是真命題，從而應(yīng)選擇（B）     反思回顧：（1）對(duì)于四邊形ABCD而言，若與共線，同時(shí)，與也共線，則該四邊形為平行四邊行，若這里的兩個(gè)共線條件改成一個(gè)共線，而另一個(gè)不共線，則該四邊形是梯形（2）若在四邊形ABCD中，有·=·=0，則該四邊形，或者是直角梯形，或者是矩形第三階梯    例1. 設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值     分析：這里我們應(yīng)引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示

15、，這樣所求的值及各條件都可用引進(jìn)的坐標(biāo)表示，再通過代數(shù)運(yùn)算可求出|3a+b|的值     解：設(shè)a=（x1，y1）、b=（x2，y2）         |a|=|b|=1         x21+ y21=1， x22+ y22=1         3a-2b=3（x1，y1）-2（x2，y2） =（3x1-2x2，3

16、y1-2y2）         |3a-2b|=          9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9         13-12（x1x2+ y1y2）=9         x1x2+ y1y2=   

17、;      3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2）         |3a+b|=                =              

18、0;  =     反思回顧：（1）如果我們?cè)谏鲜鼋忸}過程，根據(jù)|a|=|b|=1，設(shè)a=（cos，sin），b=（cos，sin），則上述運(yùn)算過程可得到簡(jiǎn)化 （2）利用本例的解法可解決下面的一般性問題：若向量a、b滿足|a|=|b|=r1，及|1a+u1b|= r2，求|2a+u2b|的值     例2在ABCD中，已知A（m1，n1）， B（m2，n2）， C（m3，n3），試求·的值     分析：要求與的數(shù)量積，可利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示因此需要用坐標(biāo)表示與，由于條件中已

19、知ABCD三頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式求出另一頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，這樣我們就可以得到與的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步可求得·的值     解： 在ABCD中，對(duì)角線AC與BD互相平分，AC的中點(diǎn)與BD的中點(diǎn)重合，（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D點(diǎn)的坐標(biāo)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m1+m3-m2，n1+n3-n2）     于是=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1）     而=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3

20、-2m2，n1+n3-2n2）     ·=（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2）     反思回顧：已知兩向量的坐標(biāo)，求它們的數(shù)量積時(shí)，一定要注意向量積是橫坐標(biāo)之積與縱坐標(biāo)之積的和，不能出現(xiàn)搭配上的錯(cuò)誤     例3設(shè)向量a、b滿足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b    分析：這里由于向量a與b都是單位向量，所以在假設(shè)a，b的坐標(biāo)時(shí)，可以考慮選用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通過已知條

21、件建立簡(jiǎn)單三角方程，求出正弦與余弦的值，就求出了a，b     解： |a|=|b|=1，         可設(shè)a=（cos，sin），b=（cos，sin）         a+b=（cos+ cos，sin+sin）=（1，0）         cos+ cos=1（1）   

22、0;       sin+sin=0（2）     由（1）得：cos=1- cos（3）     由（2）得：sin=-sin（4）     由（3）2+（4）2得：cos=      cos=1- cos=     sin=±，sin=    a=（ ，），b=（ ，-） 或a=（ ，-），b=

23、（ ，）     反思回顧：在上述求解過程中，當(dāng)我們求出了cos=與cos=后，可分別得到：sin=±與sin=±但是這里要注意到它們需滿足（2）式所以cos與sin的值之間有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就是決定了a，b只有兩組解，而沒有四組解      例4如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)，PECF是矩形，試用向量法證明     （1）|=|； （2）     分析：如果我們能用坐標(biāo)來表示與則要證明的兩結(jié)論

24、，就只要分別用兩點(diǎn)間的距離公式和兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證即可，因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證     解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，|=， 則A（0，1），P，E，F(xiàn)   于是 =     =     （1）|= =     |= =     |=|     （2）·   &

25、#160;      =0         反思回顧：把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算從而使問題得到解決這種解題方法具有普遍性，應(yīng)該把它掌握好，其中坐標(biāo)系的建立很重要，它關(guān)系到運(yùn)算的簡(jiǎn)與繁     例5設(shè)A，B，C，D是坐標(biāo)平面上的四點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為：A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）且任意三點(diǎn)不共線，試證四邊形ABCD為正方形的充要條件是（xB-xA，yB-y

26、A）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0     分析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形的充要條件是該四邊形既是矩形又是菱形，而一四邊形為矩形的充要條件是該四邊形為平行四邊行且有一個(gè)角為直角，一四邊形為菱形的充要條件是該四邊形為平行四邊形且對(duì)角線互相垂直，這樣就得到了四邊形ABCD為正方形的充要條件：四邊形ABCD是有一內(nèi)角為直角且對(duì)角線互相垂直的平行四邊形，于是我們找到了證明的途徑    證明： =（xB-xA

27、，yB-yA）， =（xC-xD，yC-yD），=（xC-xB，yC-yB）， =（xC-xA，yC-yA），=（xD-xB，yD-yB）（xB-xA，yB-yA）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0     且·=0且·=0     ABCD且ABBC且ACBD     四邊形ABCD既是矩形又是菱形   

28、  四邊形為正方形     例6如圖：ABCD是正方形，M是BC的中點(diǎn)，將正方形折起使點(diǎn)A與M重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為64，求AEM的面積。     解：如圖，建立直角坐標(biāo)系， 顯然EF是AM的中垂線，    N是AM的中點(diǎn)，又正方形邊長(zhǎng)為8 M(8,4), N(4,2)        設(shè)點(diǎn)E(e,0)，則=(8,4)，=(4,2)，=(e,0)，=(4-e,2)，由得：=0 即：(8,4)(4-e,2) = 0&#

29、160;    解之：e = 5 即| = 5 SAEM =| =×5×4 = 10   第四階梯例1已知： 。 （1）求： ； （2）求： ； （3）求： ， （4）求： 解：（1） 由此可見證 。（嚴(yán)格證明需要把 的坐標(biāo)一般化，但方法是一樣的。） （2） （3） 。 由此可證： （4） 由此可驗(yàn)證：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即 不一定相等。 例2試判斷滿足下列條件的三角形的形狀。 （1）ABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1） （2）ABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5） （3）ABC中，A（0，3

30、），B（4，0），C（7，4） 解：（1） 由此可知ABC為等腰三角形。 （2） 或： ， ABC為直角三角形。 （3） ， ABBC， ， ABC為等腰直角三角形。 例3已知：向量 滿足 ，求：向量 與向量 的夾角。 解：設(shè) ， 則 即 ， ， 則： ， 0， 。 例4求證：非零向量 垂直的充要條件是 。 證明：設(shè) （1）充分性： 即x1x2+y1y2=0, . （2）必要性： ， x1x2+y1y2=0, 例5已知：RtABC中， ，求m的值。 解： ， 。 （1）當(dāng)A=90°時(shí)， （2）當(dāng)B=90°時(shí)， （3）當(dāng)C=90°時(shí)， 即 ， 由（1）（2）（3）知

31、： 。 例6已知： （1）求證： 垂直； （2）若 ，求-的值。 （1）證明： = = 垂直。 又證： 垂直。 （2） 2kcoscos+2ksinsin=-2kcoscos-2ksinsin 2kcos(-)=0 k0, cos(-)=0 0<<<, . 課后練習(xí)： 1若點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，則 =（ ）。 A、-1B、0 C、1D、2 2若 的夾角為（ ）。 A、30° B、45° C、60° D、90° 3若 垂直，則實(shí)數(shù)k=（ ）。 A、1 B、-1 C、1或-1 D、非以上答案 4若A（1，0），B（5

32、，-2），C（8，4），D（4，6），則四邊形ABCD為（ ）。 A、正方形 B、菱形 C、梯形 D、矩形 5若ABC中，A（1，2），B（4，1），C（0，-1），則ABC是（ ）。 A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等邊三角形 6若 的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）。 A、 B、（2，+） C、 D、 7若 的向量 =_。 8與 垂直的單位向量是（ ）。 9若A(cos, sin), B(cos, sin), ，則| |的取值范圍是_。 10已知，以原點(diǎn)和A（5，2）為頂點(diǎn)的等腰直角三角形OAB中，B=90°，求：點(diǎn)B及向量 的坐標(biāo)。 練習(xí)答案： 1.

33、 B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7. (2,-3) 8. 9. (0,2 10. 測(cè)試選擇題1已知a=(3,0), b=(k,5),且a與b的夾角為 ，求k的值（ ）. A、3 B、4 C、-5 D、-3 2已知 ，則 上的投影為（ ）. A、 B、 C、 D、 3已知ABC的頂點(diǎn) ,則角A等于（ ）. A、 B、 C、 D、 4有下列命題： ； ；若 ，則 的充要條件是 ；若 的起點(diǎn)為A（2，1），終點(diǎn)為B（-2，4），則 與x軸正向所夾角的余弦值是 ，其中正確命題的序號(hào)是（）. A、 B、 C、 D、 5已知三點(diǎn)A（2，-2）、B（5，1），C（1，4），求BAC的余弦值（

34、）. A、 B、 C、12 D、 答案與解析答案：1、C 2、C 3、D 4、C 5、A解析：1、答案：C. a · b=3k, |a|=3, |b|= , , k=-5. 2、答案：C. .3、答案：D. . 解決本題的關(guān)鍵在于將角A看作向量 的夾角，運(yùn)用向量的夾角公式求解.4、答案：C. 是數(shù)量積的分配律.應(yīng)為 .的充要條件是 . 5、答案：A. ， 又 ， ， . 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示知識(shí)要點(diǎn)： 向量的數(shù)量積它可以解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問題，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即向量數(shù)量積的代數(shù)化，可以將數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，進(jìn)而解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直的問題. 要求將向量數(shù)量積的

35、性質(zhì)在坐標(biāo)形式下準(zhǔn)確記憶，特別地，根據(jù)定義還可推出向量夾角的坐標(biāo)公式：向量 的夾角 滿足 .向量垂直的充要條件的坐標(biāo)式是重點(diǎn). 向量 互相垂直等價(jià)于x1x2+y1y2=0，它與向量共線的充要條件的坐標(biāo)式x1y2-x2y1=0容易發(fā)生混淆. 典型題目： 例1三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：（1）BC邊上的中線AM的長(zhǎng)；（2）CAB的平分線AD的長(zhǎng)；（3）ABC的余弦. 解：（1）M的坐標(biāo)為 . ， . （2） ， D點(diǎn)分 的比為2, ， . （3）ABC是 的夾角，而 . . 點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量積運(yùn)算常用來解決有關(guān)長(zhǎng)度和角度問題，反映在坐標(biāo)上應(yīng)用兩點(diǎn)間距離

36、公式和夾角公式. 例2ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，8），B（0，0），C（6，-4）.求： （1）ABC的三邊的長(zhǎng)；（2）ABC的AB邊上的中線CD的長(zhǎng)；（3）ABC的重心G的坐標(biāo). 解：（1） ， ， . （2）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)是(x, y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 D（2，4）, . （3）設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),則 . 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 即重點(diǎn) . 例3（1）已知a=(6,2),b=(-3,9),判斷a與b是否垂直？ （2）判斷以O(shè)(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)為頂點(diǎn)的三角形的形狀. 解：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得a·b=6×(-3)+2&#

37、215;9=0, 向量a與b垂直. （2）由向量的坐標(biāo)表示，得 . 所以， 這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為： 所以，OAB的三邊滿足下列關(guān)系: ，且 ， 因此，以O(shè)、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形（其中，A=90°，O=B=45°）. 例4、以原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，B=90°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和 . 解： 如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x ,y)，則 . B=90°， ，x(x-4)+y(y-2)=0, 即x2+y2=4x+2y. 再設(shè)OA的中點(diǎn)為D，則D的坐標(biāo)是（2，1）. 連結(jié)BD，則 . 4(2-x)+2(1-y)=0.

38、即 2x+y=5 解、聯(lián)立的方程組，得 點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3）或（3，-1）. 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）時(shí)， ； 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）時(shí)， . 例5、已知點(diǎn)A（1，2）和B（4，-1），問能否在y軸上找到一點(diǎn)C，使ACB=90°，若不能，說明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo). 解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y)，由ACB=90°知 ， ，即(-1)×(-4)+(y-2)(y+1)=0, y2-y+2=0無解.故不能找到滿足條件的點(diǎn). 課外練習(xí)： 1、已知O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)， ，在x軸上有一點(diǎn)P，使 取最小值，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及此時(shí)的APB的大小. 2、已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)C在直線 上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，若ABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值. 3、已知 ，當(dāng)a,bR且ab，求證：|f(a)-f(b)|=|a-b|. 參考答案： 1、設(shè)P（x,0), 則 =x2-6x+10=(x-3)2+1. 當(dāng)x=3