數(shù)列求和 (2)

1、數(shù)列求和【復(fù)習(xí)目標(biāo)】掌握常用數(shù)列求和的方法(已知通項(xiàng)求和；已知和式求通項(xiàng)；公式法求和；錯(cuò)位相消求和；裂項(xiàng)相消求和)【知識梳理】1等差數(shù)列前項(xiàng)和_=_,推導(dǎo)此公式的方法為： _.2.等比數(shù)列前項(xiàng)和3常見數(shù)列求和法：（1）公式法直接求和： （2）分組轉(zhuǎn)化求和： （3）裂項(xiàng)相消法求和： （4）倒序相加求和：（5）錯(cuò)位相減求和：4.常見的拆項(xiàng)公式有：（1） _（2）_ (3)_【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)1.數(shù)列中，則該數(shù)列前項(xiàng)的和為 2.已知an是等比數(shù)列，a2=2，a5=，則a1a2+a2a3+anan+1=_.3.數(shù)列前項(xiàng)和為，則= .4. 數(shù)列2，4+6

2、，8+10+12，14+16+18+20，的前n項(xiàng)和Sn為_.5.數(shù)列1，2，3，4，的前n項(xiàng)和Sn 6= .7. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=,則它的前99項(xiàng)和S99=_.【典例選析】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)【例1】 求下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1） 1，3，5，7，；（2） 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，.【變式拓展】求下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1） 求數(shù)列：1，的前項(xiàng)和（2）求數(shù)列1，1+a ，的前n項(xiàng)和（3）已知數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和為。【例2】求和：【變式拓展】求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，；【例3】已知數(shù)列，求前項(xiàng)和?！咀兪酵卣埂吭O(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2

3、a2，3a3，的前n項(xiàng)和；【例4】 設(shè)f（x）=，求f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6）的值.【變式拓展】設(shè)函數(shù)，若，則= ；又若，則= ?！纠?】 (思考題)已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng).數(shù)列bn中，b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上.（1） 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Bn，試比較+與2的大小；（3） 求+的和.【課后練習(xí)】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)1數(shù)列前項(xiàng)和為 .2已知數(shù)列是等比數(shù)列，則= .3 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=2n+1，bn= (a1+a2+

4、an)，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=_4數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為 .5在數(shù)列中，且，則這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的絕對值之和為 .6 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=9-6n,且an+1=2n·bn (nN*)(1) 求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn數(shù)列求和【復(fù)習(xí)目標(biāo)】掌握常用數(shù)列求和的方法(已知通項(xiàng)求和；已知和式求通項(xiàng)；公式法求和；錯(cuò)位相消求和；裂項(xiàng)相消求和)【知識梳理】1等差數(shù)列前項(xiàng)和_=_,推導(dǎo)此公式的方法為：_1. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=倒序相加法.2.等比數(shù)列前項(xiàng)和2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=3常見數(shù)列求和法：（1）公式法直接求和： （2）分組轉(zhuǎn)化

5、求和： （3）裂項(xiàng)相消法求和： （4）倒序相加求和：（5）錯(cuò)位相減求和：3. 公式法直接求和：若可以判斷出所求數(shù)列是等差、等比數(shù)列，則可以直接利用公式進(jìn)行求和.若數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，有時(shí)可直接運(yùn)用常見的基本求和公式進(jìn)行求和. 分組轉(zhuǎn)化法求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差（或和），或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差（或和），使求和時(shí)出現(xiàn)的一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾兩項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)和（差）. 倒序相加法求和：把Sn中項(xiàng)的順序首尾顛倒過來，再與原來順序的Sn相加.這種方法體現(xiàn)了“補(bǔ)”的思想，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用它

6、推導(dǎo)出來的.事實(shí)上，如果一個(gè)數(shù)列倒過來與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)和可求出來，那么這樣的數(shù)列就可以用倒序相加法求和. 錯(cuò)位相減法求和：數(shù)列anbn的求和問題應(yīng)用此法，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.4.常見的拆項(xiàng)公式有：（1） _（2）_ (3)_【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)1.數(shù)列中，則該數(shù)列前項(xiàng)的和為 2.已知an是等比數(shù)列，a2=2，a5=，則a1a2+a2a3+anan+1=_.2.答案;解析an是等比數(shù)列，q3=,q=，即a1=4.anan+1構(gòu)成以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則a1a2+a2a3+anan+1=.3.數(shù)列前

7、項(xiàng)和為，則= .4. 數(shù)列2，4+6，8+10+12，14+16+18+20，的前n項(xiàng)和Sn為_.4.答案n（n+1）（n2+n+2）;解析因?yàn)榈趎項(xiàng)中有n個(gè)偶數(shù)，所以前n項(xiàng)中共有n（n+1）個(gè)偶數(shù)，因此Sn等于以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列的前n（n+1）項(xiàng)和，故Sn=·=n（n+1）（n2+n+2）.5.數(shù)列1，2，3，4，的前n項(xiàng)和Sn 6= .7. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=,則它的前99項(xiàng)和S99=_.7.答案18【典例選析】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)【例1】 求下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1） 1，3，5，7，；（2） 1，1+2，1+2+22，

8、1+2+22+23，.思維引導(dǎo)對于非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問題，求出其通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，學(xué)會(huì)從通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，選擇合理的方法.解答（1） an=2n-1+ Sn=（1+3+5+2n-1）+=.（2） an=1+2+22+23+2n-1=Sn=（21-1）+（22-1）+（23-1）+（2n-1）=（2+22+23+2n）-n=2n+1-n-2.【變式拓展】求下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1） 求數(shù)列：1，的前項(xiàng)和（2）求數(shù)列1，1+a ，的前n項(xiàng)和（3）已知數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和為。精要點(diǎn)評求解非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題時(shí)，既要注意把握一般規(guī)律與常規(guī)方法的運(yùn)用，又要注意創(chuàng)新方法的尋求:

9、通過分析通項(xiàng)公式的特征，靈活地將an拆分為等差或等比數(shù)列來實(shí)現(xiàn)求和是一種最基本的思想，而裂項(xiàng)消相法則是實(shí)現(xiàn)求和常用的技巧和手段.運(yùn)用裂項(xiàng)消項(xiàng)法時(shí)，要注意消項(xiàng)后剩余項(xiàng)的規(guī)律.【例2】求和：【變式拓展】求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，；（2） an=Sn=1+1+1+=n+=n+.【例3】已知數(shù)列，求前項(xiàng)和。【變式拓展】設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，的前n項(xiàng)和；解答 若a=0，則Sn=0； 若a=1，則Sn=1+2+3+n=； 若a0且a1，則Sn-aSn=a（1+a+a2+an-1-nan），即Sn=1-（n+1）an+nan+1.【例4】 設(shè)f（x）=，求f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）

10、+f（6）的值.解：.f（-5）+f（6）=f（-4）+f（5）=f（0）+f（1）=，令S=f（-5）+f（-4）+f（0）+f（5）+f（6），則S=f（6）+f（5）+f（0）+f（-4）+f（-5）,2S=12×=6，S=3.【變式拓展】設(shè)函數(shù)，若，則= ；又若，則= ?！纠?】 (思考題)已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng).數(shù)列bn中，b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上.（1） 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Bn，試比較+與2的大?。唬?） 求+的和.思維引導(dǎo)首先根據(jù)已知條件求出an和bn，考查a

11、n，bn，靈活地對+與求和處理.解答（1） 由條件得2an=Sn+2，則2an+1=Sn+1+2，兩式相減，得2an+1-2an=an+1，即=2.又a1=S1=2（a1-1），a1=2.an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.an=2n.點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上，bn-bn+1+2=0，即bn+1-bn=2.又b1=1，bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.bn=2n-1.（2） 由（1）知Bn=,.（3） Tn=,由-，得Tn=精要點(diǎn)評（1） 高考中有關(guān)數(shù)列求和的題目往往是綜合性的，掌握常見的求和方法是關(guān)鍵;(2) 在證明不等關(guān)系或比較大小時(shí)，要靈活應(yīng)用不等式的有關(guān)性質(zhì)與

12、方法;（3） 求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，錯(cuò)位相減法是最為有效的方法，其基本步驟是：先寫出Sn，再求qSn，然后求（1-q）Sn，但必須注意“同類項(xiàng)”對齊，即要錯(cuò)位以便相減.總結(jié)規(guī)律數(shù)列的求和應(yīng)掌握常用的變形方法，把握住題設(shè)條件及題目所涉及的所有知識，合理地進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在解題時(shí)應(yīng)注意：（1） 運(yùn)用公式求和要注意公式成立的條件，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，若兩邊需要除以含參數(shù)的代數(shù)式，則要討論代數(shù)式是否為0的情況.（2） 對既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列的數(shù)列，應(yīng)先分析它的通項(xiàng)公式，抓住特點(diǎn)，將數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成已知的等差、等比數(shù)列的求和問題來處理.【課后練習(xí)】(請同學(xué)們把規(guī)范的解題過程寫在對應(yīng)的題目下方空白區(qū)域!)1數(shù)列前項(xiàng)和為 .2已知數(shù)列是等比數(shù)列，則= 。3 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=2n+1，bn= (a1+a2+an)，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=_6.【解析】 an=2n+1， bn=4數(shù)列的