高中數(shù)學3換元法

1、第 7 講 換元法（高中版） （第課時）神經(jīng)網(wǎng)絡準確記憶！換元法重點難點好好把握！重點：1；2；3。難點：1；2；3；?？季V要求注意緊扣！1；2；3。命題預測僅供參考！1；2；3?？键c熱點一定掌握！換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子。換元的關鍵是構造元和設元。換元的實質是轉化，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式。換元后要注意新

2、變量的取值范圍，它既不能縮小也不能擴大。換元法在因式分解、化簡求值、恒等式證明、條件等式證明、方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角、解析幾何等問題中有廣泛的應用。換元的常用策略有：整體代換（有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對數(shù)式代換、復變量代換）、三角代換、均值代換等。整體代換：在條件或者結論中，某個代數(shù)式反復出現(xiàn)，那么我們可以用一個字母來代替它，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角代換：如果把代數(shù)式換成三角式更容易求解時，可以利用代數(shù)式中與三角知識的聯(lián)系進行換元。例如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0

3、,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。又如變量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值代換：對兩個類似的式子，可令其算術平均值為t進行換元；如果遇到形如 或 這樣的對稱結構，可設 xt ，yt 或 ，等等。1換元法在方程中的應用我們知道，解分式方程時一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程來解；解無理方程一般用“兩邊乘方”的方法，將無理方程化成有理方程來解。然而利用這些常規(guī)的變形方法解題，有時會產生高次方程，解起來相當繁瑣，甚至有時難于解得結果。對

4、于某些方程，我們可以用新的變量來替換原有的變量，把原方程化成一個易解的方程。例.（高二）如果關于x的方程 有相異的四實根，求的范圍。分析：此題已知條件的形式比較陌生，我們先看看能不能把它轉化為我們所熟悉的形式。令 ，則原方程化為： 使原方程有相異的四實根等價于使方程有兩不等正根。由此得 即 解之得 且 2換元法在不等式中的應用例.（高二）設對所于有實數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。 分析：不等式中，log、 log、log 三項有何聯(lián)系？對它們進行變形后再實施換元法。解： 設 logt ，則loglog3log3log3t ，log2log2t ，代入后

5、原不等式簡化為 （3t）x2tx2t>0 ，它對一切實數(shù)x恒成立， ，解之得 ， t<0 即 log<0 ，0<<1 ，解之得 0<a<1 。點評：本題使用換元法解不等式。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。3換元法在函數(shù)中的應用例.（高一）已知f(x+1)為奇函數(shù)，f（x）=x·（x+1），（x<1）求x>1時函數(shù)f（x）的解析式。解：令x=t+1（t<0）， f(x)=x（x+1） （x<1） ， f(t+1)=（t+1）（t+2） ，又f(x+1)為奇函數(shù)，故f(t+1)也為奇函數(shù)， -f（t+1）=f

6、（-t+1），f（-t+1）=-（-t-1）（-t-2），令T=-t，（T>0），則f(T+1）=-（T-1）(T-2)， ， f(x)= -（x-2）(x-3)=-x2+5x-6，（x>1） 。點評：本題使用換元法求函數(shù)解析式。4換元法在數(shù)列中的應用例.（高三）已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，求數(shù)列通項a。解：已知式變形為 1 ,設 b ，則為等差數(shù)列， b1 ,b1(n1)(-1)n ， a 。5換元法在復數(shù)中的應用對于涉及模及多變元的復數(shù)問題，基于運算方面的考慮，可以利用換元法簡解。6換元法在三角中的應用例.（高一）設a>0，求f(x)2a(sinx

7、cosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。解： 設sinxcosxt，則t-,，由 (sinxcosx)12sinx·cosx 得 sinx·cosx ， f(x)g(t)(t2a) （a>0） t-,，當xy t- 時， g(t)取最小值 2a2a 。當 2a 時，t，f(x)取最大值 2a2a ；當 0<2a 時，t2a ，f(x)取最大值 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。點評：換元設 sinxcosxt 后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得

8、容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例.（高一）ABC的三個內角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。 分析： 由已知 AC2B 和“三角形內角和等于180°”，可得 ，對 AC120&#

9、176; 進行均值換元，設 ，再代入可求cos即cos。解法一： AC2B 且 AB+C180°， ,設，代入已知等式得： 2,解之得 cos ， 即 cos。解法二：由AC2B，得AC120°，B60°。 2，設 m ，m ， cosA ，cosC ，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos ，cosAcosC2sinsinsin ，即 sin ，cos，代入 sincos1 整理得 3m16m120 ,解之得 m6 ，代入cos 得 cos 。點評： 本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進行均值換元，隨后結合三角形角的關系與三

10、角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。 2，即cosAcosC2cosAcosC ，和積互化得 2coscoscos(A+C)cos(A-C) ，即coscos(A-C)(2cos1) ，整理得 4cos2cos30 ,解之得 cos 。7換元法在解析幾何中的應用例.（高三）實數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍。分析：由已知條件 1 ，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實施三角代換。解：由 1 ，設 cos ，sin ，即 ，代入不等式

11、xyk>0 得 3cos4sink>0 ，即k<3cos4sin5sin(+) ，所以k<-5時不等式恒成立。點評：本題進行三角代換，將解析幾何問題化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經(jīng)常使用“三角代換”。x+y-k>0 平面區(qū)域kxy本題另一種解題思路是使用數(shù)形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。

12、此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時原不等式恒成立。能力測試認真完成！參考答案仔細核對！12345678方程不等式函數(shù)數(shù)列復數(shù)三角解析幾何1.（高二）解不等式 log(21) ·log(22) 。解：設 log(21)y ，則 y(y1)<2 ，解之得 2<y<1 ，所以x(log,log3)。2.（高一）設f(x1)log(4x) （a>1），求f(x)的值域。解：設x1t (t1

13、)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4。點評：本題使用換元法求函數(shù)值域。3.（高一）求函數(shù)y=sin2 x- 3sinx+32 - sinx 的值域。解：原函數(shù)變形得 y=(2-sinx)2 - (2 - sinx)+12 - sinx =2-sinx-12 - sinx 1 ，令 t=2-sinx ，t1，3 ，即y=t+1t 1 ，易知當 t0，1 時為減函數(shù)；t1，+時為增函數(shù)，故當 t=1 ，即sinx=1 ，x=2k+2 kz 時， ；當 t=3 時，即 sinx=-1 ，x=2k- 2  kz 時，。故y1, 73 。點評：本題使用換元法求三角函數(shù)值域。4*.（高一.超綱）已知，且 (式)，求的值。解法一： 設 k ，則sinkx ，cosky ，且sincosk(x+y)1 ,代入式得： ，即 ，設 t ，則