高中數(shù)列求和方法集錦

1、數(shù)列求和的常用方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，簡單介紹下數(shù)列求和的基本方法和技巧。第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式3、常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式（1）、（2）、（3）、第二類：乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減（等差等比）這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例1：求數(shù)列(為常數(shù))的前項(xiàng)和

2、。解：、若=0， 則=0、若=1，則 、若0且1，則 式式：綜上所述：解析：數(shù)列是由數(shù)列與對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行分類討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：1、乘積形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、2、根式形式，如： 例2：求數(shù)列，的前項(xiàng)和解：= 例3：求數(shù)列，的前項(xiàng)和解：由于：=）則： 解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)

3、求和時(shí)候，尤其要注意：究竟是像例2一樣剩下首尾兩項(xiàng)，還是像例3一樣剩下四項(xiàng)。第四類：倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè)。例4：若函數(shù)對任意都有。（1），數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的的前項(xiàng)和。解：（1）、（倒序相加） 則，由條件：對任意都有。從而：數(shù)列是的等差數(shù)列。（2）、=故：=解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項(xiàng)相消法。在數(shù)列問題中，要學(xué)會靈活應(yīng)用不同的方法加以求解。第五類：分組求和法有一類數(shù)列，既不是

4、等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例5：求數(shù)列+的前項(xiàng)和解：令 令 式式：故：例6：求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：將用完全平方和公式展開，再將其分為幾個(gè)數(shù)列的和進(jìn)行求解。解：= （首項(xiàng)，公比等比數(shù)列） （常數(shù)列） （首項(xiàng)，公比等比數(shù)列）、令時(shí)，=時(shí)，=、令、令時(shí)，時(shí)，=綜上所述：時(shí)，時(shí)，這個(gè)題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應(yīng)用。第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中，我們先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例7：求數(shù)列9，99，999， 的前n項(xiàng)和分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式 可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：