高考卷;導(dǎo)數(shù)與定積分共題

1、精品題庫試題用戶：蘇冠文生成時間：2013.04.29 18:56:101.(2012遼寧,21,12分)設(shè)f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=x在(0,0)點(diǎn)相切. (1)求a,b的值;(2)證明:當(dāng)0<x<2時, f(x)<. 2.(2012上海,13,4分)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是折線段ABC,其中A(0,0)、B、C(1,0). 函數(shù)y=xf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.3.(2012江西,11,5分)計算定積分(x2+sin x)dx=. 4.(2012山東,15,4分)設(shè)a>0. 若曲

2、線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a=. 5.(2012山東,15,4分)設(shè)a>0. 若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,則a=. 6. (2012遼寧,15,5分)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為. 7.(2012廣東,12,5分)曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為. 8.(2007湖北, 20, 13分) 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 設(shè)兩曲線y=f(x)

3、 , y=g(x) 有公共點(diǎn), 且在該點(diǎn)處的切線相同. () 用a表示b, 并求b的最大值;() 求證:f(x) g(x) (x>0) . 9.(2007天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(xR) , 其中aR. () 當(dāng)a=1時, 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2, f(2) ) 處的切線方程;() 當(dāng)a0時, 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 10. (2007全國, 22, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x3-x. () 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程;() 設(shè)a>0, 如果過點(diǎn)(a, b) 時作曲線y=f(x) 的三條切線, 證明:-

4、a<b<f(a) . 11. (2008寧夏、海南, 21, 12分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax+(a, bZ) , 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3. () 求f(x) 的解析式;() 證明:函數(shù)y=f(x) 的圖象是一個中心對稱圖形, 并求其對稱中心;() 證明:曲線y=f(x) 上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值, 并求出此定值. 12. (2008天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x+b(x0) , 其中a, bR. () 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)P(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3x+1, 求函數(shù)

5、f(x) 的解析式;() 討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)性;() 若對于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 求b的取值范圍. 13. (2009重慶, 20, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a0) , 曲線y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 且在點(diǎn)(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸. () 用a分別表示b和c;() 當(dāng)bc取得最小值時, 求函數(shù)g(x) =-f(x) e-x的單調(diào)區(qū)間. 14. (2009湖北, 21, 14分) 在R上定義運(yùn)算:pq=-(p-c) (q-b) +4bc(b、c為實常數(shù)) . 記f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-

6、2b, xR. 令f(x) =f1(x) f2(x) . () 如果函數(shù)f(x) 在x=1處有極值-, 試確定b、c的值;() 求曲線y=f(x) 上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn);() 記g(x) =|f '(x) |(-1x1) 的最大值為M. 若Mk對任意的b、c恒成立, 試求k的最大值. 15.(2009北京, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =xekx(k0) . () 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程;() 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;() 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增, 求k的取值范圍. 16.(2009重慶, 18, 13

7、分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+k(k>0) 在x=0處取得極值, 且曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線垂直于直線x+2y+1=0. () 求a, b的值;() 若函數(shù)g(x) =, 討論g(x) 的單調(diào)性. 17. (2009天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ·ex(xR) , 其中aR. () 當(dāng)a=0時, 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率;() 當(dāng)a時, 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 18.(2010福建, 20, 14分) () 已知函數(shù)f(x) =x3-x, 其圖象記為

8、曲線C. (i) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;(ii) 證明:若對于任意非零實數(shù)x1, 曲線C與其在點(diǎn)P1(x1, f(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, f(x2) ) , 曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, f(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值;() 對于一般的三次函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) , 請給出類似于() (ii) 的正確命題, 并予以證明. 19.(2010陜西, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =, g(x) =aln x, aR. () 若曲線y=f(x) 與曲

9、線y=g(x) 相交, 且在交點(diǎn)處有共同的切線, 求a的值和該切線方程;() 設(shè)函數(shù)h(x) =f(x) -g(x) , 當(dāng)h(x) 存在最小值時, 求其最小值(a) 的解析式;() 對() 中的(a) 和任意的a>0, b>0, 證明:''. 20.(2010重慶, 18, 13分) 已知函數(shù)f(x) =+ln(x+1) , 其中實數(shù)a-1. () 若a=2, 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程;() 若f(x) 在x=1處取得極值, 試討論f(x) 的單調(diào)性. 21.(2008山東, 14, 4分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+c(a0)

10、, 若f(x) dx=f(x0) , 0x01, 則x0的值為. 22.(2008江蘇, 8, 5分) 設(shè)直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0) 的一條切線, 則實數(shù)b的值為. 23.(2008全國, 14, 5分) 設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0, 1) 處的切線與直線x+2y+1=0垂直, 則a=. 24.(2008北京, 12, 5分) 如圖, 函數(shù)f(x) 的圖象是折線段ABC, 其中A, B, C的坐標(biāo)分別為(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 則ff(0) =;=(用數(shù)字作答) . 25.(2009陜西, 16, 4分) 設(shè)曲線y=xn+1(nN*) 在點(diǎn)(1,

11、 1) 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn, 令an=lg xn, 則a1+a2+a99的值為. 26.(2009湖北, 14, 5分) 已知函數(shù)f(x) =f 'cos x+sin x, 則f=. 27.(2009北京, 11, 5分) 設(shè)f(x) 是偶函數(shù). 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率為1, 則該曲線在點(diǎn)(-1, f(-1) ) 處的切線的斜率為. 28.(2009福建, 14, 4分) 若曲線f(x) =ax3+ln x存在垂直于y軸的切線, 則實數(shù)a的取值范圍是. 29.(2009江蘇, 9, 5分) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 點(diǎn)P在曲線C:

12、y=x3-10x+3上, 且在第二象限內(nèi), 已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2, 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 30.(2010課標(biāo)全國, 13, 5分) 設(shè)y=f(x) 為區(qū)間0, 1上的連續(xù)函數(shù), 且恒有0f(x) 1, 可以用隨機(jī)模擬方法近似計算積分f(x) dx. 先產(chǎn)生兩組(每組N個) 區(qū)間0, 1上的均勻隨機(jī)數(shù)x1, x2, , xN和y1, y2, , yN, 由此得到N個點(diǎn)(xi, yi) (i=1, 2, , N) . 再數(shù)出其中滿足yif(xi) (i=1, 2, , N) 的點(diǎn)數(shù)N1, 那么由隨機(jī)模擬方法可得積分f(x) dx的近似值為. 31.(2010陜西, 13, 5分) 從如

13、圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M(x, y) , 則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為. 32.(2011陜西, 11, 5分) 設(shè)f(x) =若f(f(1) ) =1, 則a=. 33.(2007寧夏, 10, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(4, e2) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為() A. e2B. 4e2C. 2e2D. e234.(2007江西, 11, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) 是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù), 則曲線y=f(x) 在x=5處的切線的斜率為() A. -B. 0C. D. 535.(2007全國, 8, 5分) 已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為, 則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A.

14、 3B. 2C. 1D. 36.(2008寧夏、海南, 10, 5分) 由直線x=, x=2, 曲線y=及x軸所圍圖形的面積為() A. B. C. ln 2D. 2ln 237.(2008四川, 10, 5分) 設(shè)f(x) =sin(x+) , 其中>0, 則f(x) 是偶函數(shù)的充要條件是() A. f(0) =1B. f(0) =0C. f '(0) =1D. f '(0) =038.(2008全國, 7, 5分) 設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3, 2) 處的切線與直線ax+y+1=0垂直, 則a=() A. 2B. C. -D. -239.(2008遼寧, 6, 5分) 設(shè)P為

15、曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn), 且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為, 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為() A. B. -1, 0C. 0, 1D. 40.(2009福建, 4, 5分) A. B. 2C. -2D. +241.(2009安徽, 9, 5分) 已知函數(shù)f(x) 在R上滿足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程是() A. y=2x-1B. y=xC. y=3x-2D. y=-2x+342.(2009江西, 5, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) =g(x) +x2, 曲線y=g(x) 在點(diǎn)(1, g(1) ) 處的切線方

16、程為y=2x+1, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處切線的斜率為() A. 4B. -C. 2D. -43.(2009全國, 9, 5分) 已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a) 相切, 則a的值為() A. 1B. 2C. -1D. -244.(2009遼寧, 7, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, -1) 處的切線方程為() A. y=x-2B. y=-3x+2C. y=2x-3D. y=-2x+145.(2009全國, 4, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, 1) 處的切線方程為() A. x-y-2=0B. x+y-2=0C. x+4y-5=0D. x-4y-5=046.(20

17、10山東, 7, 5分) 由曲線y=x2, y=x3圍成的封閉圖形面積為()A. B. C. D. 47.(2010湖南, 5, 5分) dx等于() A. -2ln 2B. 2ln 2C. -ln 2D. ln 248.(2010遼寧, 10, 5分) 已知點(diǎn)P在曲線y=上, 為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角, 則的取值范圍是() A. B. C. D. 49.(2010全國, 10, 5分) 若曲線y=在點(diǎn)(a, ) 處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18, 則a=() A. 64B. 32C. 16D. 850.(2010課標(biāo)全國, 3, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(-1, -1) 處的切線

18、方程為()A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-251.(2011福建, 5, 5分) (ex+2x) dx等于() A. 1B. e-1C. eD. e+152.(2011湖南, 6, 5分) 由直線x=-, x=, y=0與曲線y=cos x所圍成的封閉圖形的面積為() A. B. 1C. D. 53.(2011課標(biāo), 9, 5分) 由曲線y=, 直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B. 4C. D. 6答案1.(1)由y=f(x)過(0,0)點(diǎn),得b=-1. 由y=f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為,又y'x=0=x=0=+a,得

19、a=0. (3分)(2)證明:證法一:由均值不等式,當(dāng)x>0時,2<x+1+1=x+2,故<+1. 記h(x)=f(x)-,則h'(x)=+-=-<-=. 令g(x)=(x+6)3-216(x+1),則當(dāng)0<x<2時,g'(x)=3(x+6)2-216<0. 因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0. (10分)因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又h(0)=0,得h(x)<0. 于是當(dāng)0<x<2時, f(x)<. (12分)證法二:由(1)

20、知f(x)=ln(x+1)+-1. 由均值不等式,當(dāng)x>0時,2<x+1+1=x+2,故<+1. 令k(x)=ln(x+1)-x,則k(0)=0,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x. 由得,當(dāng)x>0時, f(x)<x. 記h(x)=(x+6)f(x)-9x,則當(dāng)0<x<2時,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9<x+(x+6)-9=3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)<3x(x+1)+(x+6)3+-18(x+1)=(7x-18)<0. (1

21、0分)因此h(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<. (12分)2.3.4.5.6.-4 7.2x-y+1=08.() 設(shè)y=f(x) 與y=g(x) (x>0) 在公共點(diǎn)(x0, y0) 處的切線相同. f '(x) =x+2a, g'(x) =, 由題意f(x0) =g(x0) , f '(x0) =g'(x0) . 即由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) . 則有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a. 令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 則h'(

22、t) =2t(1-3ln t) . 于是當(dāng)t(1-3ln t) >0, 即0<t<時, h'(t) >0;當(dāng)t(1-3ln t) <0, 即t>時, h'(t) <0. 故h(t) 在(0, -) 為增函數(shù), 在(, +) 為減函數(shù). 于是h(t) 在(0, +) 的最大值為h() =. () 證明:設(shè)F(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) , 則F'(x) =x+2a-=(x>0) . 故F(x) 在(0, a) 為減函數(shù), 在(a, +) 為增函數(shù), 于是函數(shù)F(x) 在(

23、0, +) 上的最小值是F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故當(dāng)x>0時, 有f(x) -g(x) 0, 即當(dāng)x>0時, f(x) g(x) . 9.() 當(dāng)a=1時, f(x) =, f(2) =, 又f '(x) =, f '(2) =-. 所以, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2, f(2) ) 處的切線方程為y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0. () f '(x) =. =. 由于a0, 以下分兩種情況討論. (1) 當(dāng)a>0時, 令f '(x) =0, 得到x1=-, x2=a. 當(dāng)x變化時, f &#

24、39;(x) , f(x) 的變化情況如下表:x-a(a, +) f '(x) -0+0-f(x) 極小值極大值所以f(x) 在區(qū)間, (a, +) 內(nèi)為減函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=-處取得極小值f, 且f=-a2. 函數(shù)f(x) 在x2=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. (2) 當(dāng)a<0時, 令f '(x) =0, 得到x1=a, x2=-. 當(dāng)x變化時, f '(x) , f(x) 的變化情況如下表:x(-, a) a-f '(x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在區(qū)間(-, a) , 內(nèi)為增函數(shù),

25、 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. 函數(shù)f(x) 在x2=-處取得極小值f, 且f=-a2. 10.() 求函數(shù)f(x) 的導(dǎo)數(shù): f '(x) =3x2-1. 曲線y=f(x) , 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程為:y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3. () 證明:如果有一條切線過點(diǎn)(a, b) , 則存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若過點(diǎn)(a, b) 可作曲線y=f(x) 的三條切線, 則方程2t3-3at2+a+b=0. 有三個相異的實數(shù)根.

26、 記g(t) =2t3-3at2+a+b, 則g'(t) =6t2-6at=6t(t-a) 當(dāng)t變化時, g(t) , g'(t) 變化情況如下表:t(-, 0) 0(0, a) a(a, +) g'(t) +0-0+g(t) 極大值a+b極小值b-f(a) 由g(t) 的單調(diào)性, 當(dāng)極大值a+b<0或極小值b-f(a) >0時, 方程g(t) =0最多有一個實數(shù)根;當(dāng)a+b=0時, 解方程g(t) =0得t=0, t=, 即方程g(t) =0只有兩個相異的實數(shù)根;當(dāng)b-f(a) =0時, 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0,

27、 只有兩個相異的實數(shù)根. 綜上, 如果過(a, b) 可作曲線y=f(x) 三條切線, 即g(t) =0有三個相異的實數(shù)根, 則即-a<b<f(a) . 11.() f '(x) =a-, 于是解得或因a, bZ, 故f(x) =x+. () 證明:已知函數(shù)y1=x, y2=都是奇函數(shù), 所以函數(shù)g(x) =x+也是奇函數(shù), 其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形. 而f(x) =x-1+1. 可知, 函數(shù)g(x) 的圖象按向量a=(1, 1) 平移, 即得到函數(shù)f(x) 的圖象, 故函數(shù)f(x) 的圖象是以點(diǎn)(1, 1) 為中心的中心對稱圖形. () 證明:在曲線上任取一點(diǎn).

28、 由f '(x0) =1-知, 過此點(diǎn)的切線方程為y-=(x-x0) . 令x=1得y=, 切線與直線x=1交點(diǎn)為. 令y=x得y=2x0-1, 切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-1, 2x0-1) . 直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1, 1) . 從而所圍三角形的面積為|2x0-1-1|=|2x0-2|=2. 所以, 所圍三角形的面積為定值2. 12.() f '(x) =1-, 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f '(2) =3, 于是a=-8. 由切點(diǎn)P(2, f(2) ) 在直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9. 所以函數(shù)f(x) 的解析式為f(x) =x-+9.

29、 () f '(x) =1-. 當(dāng)a0時, 顯然f '(x) >0(x0) . 這時f(x) 在(-, 0) 、(0, +) 內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)a>0時, 令f '(x) =0, 解得x=±. 當(dāng)x變化時, f '(x) 、f(x) 的變化情況如下表:x(-, -) -(-, 0) (0, ) (, +) f '(x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -) 、(, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-, 0) 、(0, ) 內(nèi)是減函數(shù). () 由() 知, f(x) 在上的最大值為f與f(1) 中的較大者, 對于任意的a,

30、 不等式f(x) 10在上恒成立, 當(dāng)且僅當(dāng)即對任意的a成立. 從而得b, 所以滿足條件的b的取值范圍是. 13.() 因為f(x) =ax2+bx+c, 所以f '(x) =2ax+b. 又因為曲線y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 從而c=2a+3. 又曲線y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸, 故f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a. () 由() 得bc=2a(2a+3) =4-, 故當(dāng)a=-時, bc取得最小值-. 此時有b=-, c=. 從而f(x) =-x2-x+,

31、f '(x) =-x-. g(x) =-f(x) e-x=e-x, 所以g'(x) =f(x) -f '(x) e-x=-(x2-4) e-x. 令g'(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 當(dāng)x(-, -2) 時, g'(x) <0, 故g(x) 在x(-, -2) 上為減函數(shù);當(dāng)x(-2, 2) 時, g'(x) >0, 故g(x) 在x(-2, 2) 上為增函數(shù);當(dāng)x(2, +) 時, g'(x) <0, 故g(x) 在x(2, +) 上為減函數(shù). 由此可見, 函數(shù)g(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-, -2) 和

32、(2, +) ;單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, 2) . 14. f(x) =f1(x) f2(x) =-(x2-3c) (x-3b) +4bc=-x3+bx2+cx+bc, f '(x) =-x2+2bx+c. () 由f(x) 在x=1處有極值-, 可得解得或若b=1, c=-1, 則f '(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 20, 此時f(x) 沒有極值;若b=-1, c=3, 則f '(x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 當(dāng)x變化時, f(x) 、f '(x) 的變化情況如下表:x(-, -3) -3(-3, 1) 1(1, +) f

33、'(x) -0+0-f(x) 極小值-12極大值-當(dāng)x=1時, f(x) 有極大值-, 故b=-1, c=3即為所求. () 設(shè)曲線y=f(x) 在x=t處的切線的斜率為c, f '(x) =-x2+2bx+c, -t2+2bt+c=c, 即t2-2bt=0, 解得t=0或t=2b. 若t=0, 則f(0) =bc, 得切點(diǎn)為(0, bc) , 切線方程為y=cx+bc;若t=2b, 則f(2b) =b3+3bc, 得切點(diǎn)為, 切線方程為y=cx+bc+b3. 若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc x3-3bx2=0, 解得x1=x2=0, x3=3b, 則此時切線y=cx

34、+bc與曲線y=f(x) 的公共點(diǎn)為(0, bc) , (3b, 4bc) ;若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3 x3-3bx2+4b3=0, 解得x1=x2=2b, x3=-b, 此時切線y=cx+bc+b3與曲線y=f(x) 的公共點(diǎn)為. 綜合可知, 當(dāng)b=0時, 斜率為c的切線與曲線y=f(x) 有且僅有一個公共點(diǎn)(0, 0) ;當(dāng)b0時, 斜率為c的切線與曲線y=f(x) 有兩個不同的公共點(diǎn), 分別為(0, bc) 和(3b, 4bc) 或和. () g(x) =|f '(x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. 當(dāng)|b|>1時, 函數(shù)y=f '(x

35、) 的對稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1之外, f '(x) 在-1, 1上的最值在兩端點(diǎn)處取得. 故M應(yīng)是g(-1) 和g(1) 中較大的一個. 2Mg(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|4b|>4, 即M>2. 當(dāng)|b|1時, 函數(shù)y=f '(x) 的對稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1內(nèi), 此時M=maxg(-1) , g(1) , g(b) . 由f '(1) -f '(-1) =4b, 有f '(b) -f '(±1) =(b1) 20. (i) 若-1b0, f '(1) f '(

36、-1) f '(b) , g(-1) maxg(1) , g(b) , 于是M=max|f '(1) |, |f '(b) |(|f '(1) |+|f '(b) |) |f '(1) -f '(b) |=(b-1) 2. (ii) 若0<b1, 則f '(-1) f '(1) f '(b) , g(1) maxg(-1) , g(b) , 于是M=max|f '(-1) |, |f '(b) |(|f '(-1) |+|f '(b) |) |f '(-1) -f &#

37、39;(b) |=(b+1) 2>. 綜上, 對任意的b、c都有M. 而當(dāng)b=0, c=時, g(x) =在區(qū)間-1, 1上的最大值M=, 故Mk對任意的b、c恒成立的k的最大值為. 15.() f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程為y=x. () 由f '(x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k0) . 若k>0, 則當(dāng)x時, f '(x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減;當(dāng)x時, f '(x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞

38、增. 若k<0, 則當(dāng)x時, f '(x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;當(dāng)x時, f '(x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減. () 由() 知, 若k>0, 則當(dāng)且僅當(dāng)-1, 即k1時, 函數(shù)f(x) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增;若k<0, 則當(dāng)且僅當(dāng)-1, 即k-1時, 函數(shù)f(x) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增. 綜上可知, 函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增時, k的取值范圍是-1, 0) (0, 1. 16.() 因f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故f '(x) =2ax+b, 又f(x) 在

39、x=0處取得極值, 故f '(0) =0, 從而b=0. 由曲線y=f(x) 在(1, f(1) ) 處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2, 即f '(1) =2, 有2a=2, 從而a=1. () 由() 知, g(x) =(k>0) , g'(x) =(k>0) , 令g'(x) =0, 有x2-2x+k=0(k>0) . 當(dāng)=4-4k<0, 即當(dāng)k>1時, g'(x) >0在R上恒成立, 故函數(shù)g(x) 在R上為增函數(shù). 當(dāng)=4-4k=0, 即當(dāng)k=1時, 有g(shù)'(x) =>0(

40、x1) , 從而當(dāng)k=1時, g(x) 在R上為增函數(shù). 當(dāng)=4-4k>0, 即當(dāng)0<k<1時, 方程x2-2x+k=0有兩不相等實根x1=1-, x2=1+. 當(dāng)x(-, 1-) 時, g'(x) >0, 故g(x) 在(-, 1-) 上為增函數(shù);當(dāng)x(1-, 1+) 時, g'(x) <0, 故g(x) 在(1-, 1+) 上為減函數(shù);當(dāng)x(1+, +) 時, g'(x) >0, 故g(x) 在(1+, +) 上為增函數(shù). 17.() 當(dāng)a=0時, f(x) =x2ex, f '(x) =(x2+2x) ex, 故f &#

41、39;(1) =3e. 所以曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率為3e. () f '(x) =x2+(a+2) x-2a2+4aex. 令f '(x) =0, 解得x=-2a或x=a-2. 由a知, -2aa-2. 以下分兩種情況討論. 若a>, 則-2a<a-2, 當(dāng)x變化時, f '(x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, -2a) -2a(-2a, a-2) a-2(a-2, +) f '(x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -2a) , (a-2, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-2a, a-2

42、) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極大值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極小值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 若a<, 則-2a>a-2. 當(dāng)x變化時, f '(x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, a-2) a-2(a-2, -2a) -2a(-2a, +) f '(x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, a-2) , (-2a, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(a-2, -2a) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極大值f(a-2)

43、, 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極小值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 18.解法一:() (i) 由f(x) =x3-x得f '(x) =3x2-1=3. 當(dāng)x和時, f '(x) >0;當(dāng)x時, f '(x) <0. 因此, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和, 單調(diào)遞減區(qū)間為. (ii) 曲線C在點(diǎn)P1處的切線方程為y=(3-1) (x-x1) +-x1, 即y=(3-1) x-2. 由得x3-x=(3-1) x-2, 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得x=x1或x=-2x1, 故

44、x2=-2x1. 進(jìn)而有S1=. 用x2代替x1, 重復(fù)上述計算過程, 可得x3=-2x2和S2=. 又x2=-2x10, 所以S2=0, 因此有=. () 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的圖象為曲線C', 類似于() (ii) 的正確命題為:若對任意不等于-的實數(shù)x1, 曲線C'與其在點(diǎn)P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, g(x2) ) , 曲線C'與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, g(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C'所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值. 證明如下:因為平移變換不改變面積的大小, 故可將曲線y=g(x) 的對稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn), 因而不妨設(shè)g(x) =ax3+hx, 且x10. 類似() (ii) 的計算可得S1=a, S2=a0. 故=. 解法二:() 同解法一. () 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的圖象為曲線C', 類似于() (ii) 的正確命題為:若對任意不等于-的實數(shù)x1, 曲線C'與其在點(diǎn)P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, g(x2) ) , 曲線C'與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, g(x3) ) , 線段P1