題解第6章 參數(shù)估計

1、習(xí)題6.11.設(shè)總體服從二項分布：并設(shè)是從該總體中抽取的一個簡單隨機子樣，試求的無偏估計。解：由于是從該總體中抽取的一個簡單隨機子樣，利用矩估計法： 而：。故的一個無偏估計。2.設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布的一個子樣，試證:（1）子樣均值和子樣方差都是的無偏估計。（2），也是的無偏估計。證：（1），而。為無偏估計。又：，而。為無偏估計。（2），。所以也是的無偏估計。3.設(shè)總體服從均勻分布：是從總體中抽取的一個簡單隨機子樣，試證：及都是的無偏估計。證：因為總體服從均勻分布：當時有：，從而是的無偏估計。另：時有：，從而是的無偏估計。4.設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個簡單隨機子樣，選擇適當參數(shù)，使為的無偏估

2、計。解：若為的無偏估計，則應(yīng)有：。事實上：5.設(shè)總體服從泊松分布（是未知參數(shù)），是一子樣。試求：的最小方差無偏估計（是正整數(shù)）。解：總體服從泊松分布，為無偏估計。另：為最小方差無偏估計。6.設(shè)是來自正態(tài)總體的一個容量為2的子樣，證明：都是的無偏估計，并指出哪一個的方差最小。解：同理：都是的無偏估計。另:同理：是的所列三個估計中方差最小的無偏估計.7.設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個子樣，其中已知，證明：為的最小方差無偏估計。證明：為的最小方差無偏估計8. 設(shè)是從指數(shù)分布中抽取的一個子樣，其中已知，證明：為的最小方差無偏估計，且還是一個相和估計。證明：為的無偏估計。為的最小方差無偏估計。再則：。從而：

3、為的最小方差無偏估計，且還是一個相和估計。習(xí)題6.21.設(shè)總體服從二項分布：并設(shè)是從該總體中抽取的一個子樣，是的一個觀測值，計算子樣均值及子樣方差。解：，2.使用儀器對同一零件進行12次測量，其結(jié)果為（單位：）：試用矩法估計該零件的尺寸，并計算測量的方差。解：,3. 設(shè)總體服從二項分布：。 其中為未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計。解：未知參數(shù)的矩估計為：。4. 設(shè)總體服從泊松分布： 其中為未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計及最大似然估計。解：未知參數(shù)的矩估計為：，未知參數(shù)的最大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，有:從而，有：令，得：。5.設(shè)總體具有分布密

4、度：其中是未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣，求：未知參數(shù)的矩估計及最大似然估計。解：未知參數(shù)的矩估計為：，而：從而：。未知參數(shù)的最大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，考:從而，有：得：。6.設(shè)總體服從閉區(qū)間的均勻分布，其中是未知參數(shù)，是從總體中抽取的子樣。試求：未知參數(shù)的矩估計量。解: 未知參數(shù)的矩估計為：，而：而:，從而有方程組：7.設(shè)是來自參數(shù)為的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：求：未知參數(shù)的矩估計量。解：未知參數(shù)的矩估計為：，另8.設(shè)是從對數(shù)正態(tài)總體中抽取的一個子樣，求：未知參數(shù)的最大似然估計。解：未知參數(shù)的最大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，考:得：，9.罐中裝有若干黑球和白球若干，有放回

5、的抽取一個人容量為的子樣，其中有個白球，求罐子里黑球與白球之比的極大似然估計。解：，故的最大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，考:得：，得：10. 設(shè)總體服從韋布爾分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：為未知參數(shù)，求的極大似然估計（已知）。解：的極大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，考:，得。11. 設(shè)總體服從分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：已知，為未知參數(shù)，求的極大似然估計。解：的極大似然估計為：構(gòu)造似然函數(shù)：求的駐點，考:得：12設(shè)總體服從分布，其密度函數(shù)為：設(shè)是從總體中抽取的子樣。試求：為未知參數(shù)，求的矩估計。解：未知參數(shù)的矩估計為：另：，從而：習(xí)題6.

6、31.設(shè)容量的子樣觀測值為。求子樣均值、子樣方差及修正了的子樣方差。解:,2. 用儀器測得煉鋼平爐溫度，重復(fù)測量五次，（單位：）：1789,1804,1810，1795，1801項分布：試問溫度的真值在什么范圍(置信度分別以:0.99與0.95；假定測量系統(tǒng)是沒有誤差的)？解：由于測量系統(tǒng)是沒有誤差，有：，置信度分為:0.99時。從而置信度分為:0.99得置信區(qū)間為：置信度分為:0.95時。從而置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：3.為測量鋁的比重，對樣品共進行了16次試驗，測得，求樣品鋁的比重的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：，置信度為0.95。故所求置信區(qū)間為：，置信度分為:0.95時。從而

7、置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：4某種元件的壽命（以小時計）服從正態(tài)分布，其中均未知?，F(xiàn)測16只元件的壽命，得到 ， 。 問是否有理由認為元件的平均壽命小于258小時（置信度為0.95）。解：，置信度為0.95。故所求置信區(qū)間為：，置信度分為:0.95時。從而置信度分為:0.95得置信區(qū)間為：由于我們有95%的把握，因而可以認為元件的平均壽命小于258小時。5. 為獲得某型汽車100（km/h）0(km/h)剎車距離進行了10次試驗，得到數(shù)據(jù)如下（單位：米）：。 試求置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由Excel：得到 ，置信度分為:0.95時，從而：6. 某型自動車床加工零件，抽取16個零件

8、測得其直徑如下（單位mm）：s試求:方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：。置信度分為:0.95，自由度為故。所求置信區(qū)間為：習(xí)題6.41設(shè)某批建筑材料的抗彎強度,現(xiàn)從中抽取容量為16的樣本,測得樣本均值,求的置信度為0.95的置信區(qū)間.解：，從而的置信度為0.95的置信區(qū)間為：2某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的抗斷強度服從正態(tài)分布，其中未知?，F(xiàn)測10 只的抗斷強度（單位），得到：32.5630.4829.4428.7131.3330.1727.9833.0531.2030。.15求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：，從而的置信度為0.95的置信區(qū)間為：3有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機的取16袋，稱得重量（單位為

9、：g）：506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)糖果的重量近似的服從正態(tài)分布，試分別求出總體均值和方差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：， 故求得所求區(qū)間：。4. 使用一測量儀器對一生產(chǎn)線得產(chǎn)品進行12次測量，得到數(shù)據(jù)如下：232。.50232。.48232。.15232。.22232。.53232。.54232。.50232。.36232。.25232。.37232。.41232。.44設(shè)總體，均未知，試分別求出總體均值的置信水平為0.95及0.99的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平

10、為0.95的置信區(qū)間為：。從而得置信水平為0.99的置信區(qū)間為：。5.取某牌子香煙8只測得其焦油平均含量為毫克，同時得毫克。求此牌號香煙的焦油含量的標準差的置信區(qū)間，置信度，假定其焦油含量服從正態(tài)分布。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：， 故求得所求區(qū)間：。6.抽查某食品廠生產(chǎn)的方便面10袋，得到數(shù)據(jù)如下：147152144151148146142149146150假定其產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，試分別求出總體均值的置信水平為0.95及0.99的置信區(qū)間。解：。由：，從而得置信水平為0.95的置信區(qū)間為：。從而得置信水平為0.99的置信區(qū)間為：。7. 已知甲、乙兩射擊選手進行射擊訓(xùn)

11、練，現(xiàn)在得知甲選手射擊12發(fā)，計算其成績?yōu)榄h(huán)，現(xiàn)在得知乙選手射擊8發(fā)，計算其成績?yōu)榄h(huán)。試以0.95的置信度給出倆選手平均環(huán)數(shù)差的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：8. 對一個地區(qū)的學(xué)生進行健康調(diào)查，隨機抽取.200名男生測得平均體重。隨機抽取女生100名測得平均體重。試求男、女生平均體重之差的置信度0.98的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：。9.磚廠為提高產(chǎn)品質(zhì)量，改變了生產(chǎn)配方。磚廠質(zhì)檢員隨機從甲批產(chǎn)品抽取6塊（配方改變后），從乙批產(chǎn)品抽取8塊（配方改變前）。測得其抗斷強度為(單位：)：甲批產(chǎn)品乙批產(chǎn)品已知兩批產(chǎn)品抗斷強度分別服從，。求：的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由：得：的置信度為的置信區(qū)間為：，所求為：10設(shè)是其子樣的觀測值，問：（1）如果已知，取多大時能保證的置信度為0.95的置信區(qū)間的長度不大于給定的。（2）如果未知，取