高中數(shù)學(xué)拋物線的簡單性質(zhì)二 北師大選修

1、第二章 圓錐曲線與方程 拋物線的簡單性質(zhì)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1拋物線定義：圖形方程焦點準(zhǔn)線平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點：(1)圖形關(guān)于軸對稱時，為一次項，為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對稱時，為二次項，為一次項，方程右端為，左端為 （2）開口方向在軸（或軸）正向時，焦點在軸（或軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口

2、在軸（或軸）負(fù)向時，焦點在軸（或軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號二、講解新課：拋物線的幾何性質(zhì)1范圍因為p0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸2對稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸3頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點4離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=1對于其它幾種形式的方程，列表如下：標(biāo)準(zhǔn)

3、方程圖形頂點對稱軸焦點準(zhǔn)線離心率軸軸軸軸注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線通過圖形的分析找出雙曲線與拋物線上的點的性質(zhì)差異，當(dāng)拋物線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，拋物線在這一點的切線斜率接近于對稱軸所在直線的斜率，也就是說接近于和對稱軸所在直線平行，而雙曲線上的點趨向于無窮遠(yuǎn)時，它的切線斜率接近于其漸近線的斜率 附：拋物線不存在漸近線的證明（反證法）假設(shè)拋物線y22px存在漸近線ymxn，A（x，y）為拋物線上一點，A0（x，y1）為漸近線上與A橫坐標(biāo)相同的點如圖，則有和y1mxn 當(dāng)m0時，若x，則當(dāng)m0時，當(dāng)x，則這與ymxn是拋物線y22px的漸近線

4、矛盾，所以拋物線不存在漸近線三、講解范例：例1 已知拋物線關(guān)于x軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形分析：首先由已知點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因為它過點，所以 ，即 因此，所求的拋物線方程為將已知方程變形為，根據(jù)計算拋物線在的范圍內(nèi)幾個點的坐標(biāo)，得x01234y022.83.54描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分點評：在本題的畫圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線例2 探照燈反射鏡

5、的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置分析：這是拋物線的實際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點坐標(biāo)，從而求出p值解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于燈口直徑設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (p0)由已知條件可得點A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即 所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為例3 過拋物線的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷

6、證明：如圖設(shè)AB的中點為E，過A、E、B分別向準(zhǔn)線引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則AFAD，BFBCABAFBFADBC2EH所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EHl，因而圓E和準(zhǔn)線相切四、課堂練習(xí)：1過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=（ B ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，則的最小值為（ B ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）63過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，若線段、的長分別是、，則=（ C ）（A） （B） （C） （D）4過拋物線焦點的直線它交于、兩點，則弦的中點的軌跡方程是 _ (答案：

7、 ) 5.定長為的線段的端點、在拋物線上移動，求中點到軸距離的最小值，并求出此時中點的坐標(biāo)（答案： , M到軸距離的最小值為）五、小結(jié) ：拋物線的離心率、焦點、頂點、對稱軸、準(zhǔn)線、中心等 六、課后作業(yè)：1根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并畫出草圖（1）頂點在原點，對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于8（2）頂點在原點，焦點在y軸上，且過P（4，2）點（3）頂點在原點，焦點在y軸上，其上點P（m，3）到焦點距離為52過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在準(zhǔn)線上的射影是A2，B2，則A2FB2等于3拋物線頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，求拋物線方程4以橢圓的右焦點，F(xiàn)為焦點，以坐標(biāo)原點為頂點作拋物線，求拋物線