高三數(shù)學(xué)立體幾何專題訓(xùn)練

1、高三數(shù)學(xué)立體幾何專題訓(xùn)練【考點(diǎn)】1.三視圖；2求體積；3證線面垂直(垂直關(guān)系)；4求二面角的平面角；5求線面角；6求異面直線所成角；7.求三角形面積；8判斷平行、垂直、相交、重合位置關(guān)系。【復(fù)習(xí)建議】 本題為低中檔，一般分為兩小問，可得滿分。第(1)問，一般考查平行與垂直的證明及相關(guān)問題，需要同學(xué)掌握好平行與垂直的證明的有關(guān)定理，并注意證明過程的書寫規(guī)范，如能建系。也可用向量法；第(2)問一般研究空間角，如用綜合法請注意證明過程。如用空間向量需注意：異面直線所成角(一定不大于900)、線面所成角(此類題最容易錯(cuò)，記住所求向量的夾角的余弦為線面所成角的正弦)、二面角(注意觀察是鈍角還是銳角，一般

2、情況下是銳角)。向量法建系要用黑色簽字筆在答題卡上建，并用文字說明，注意檢查所寫的點(diǎn)或向量坐標(biāo)有無錯(cuò)，注意用向量數(shù)量積公式求夾角余弦時(shí)的運(yùn)算，注意是否作答。特別的說明：廣東近年的立體幾何題圖形都比較新穎特別，但其實(shí)都很簡單，無需緊張。用向量還是綜合法，視題目(更適合哪種方法)和個(gè)人情況而定。最后適當(dāng)注意：求解線面所成角要轉(zhuǎn)換(比如線面所成角的正弦與向量夾角的余弦關(guān)系)和翻折問題。下面的例題僅供參考?！绢}例】 1.如圖3所示，在四面體PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，F(xiàn)是線段PB上一點(diǎn)，,點(diǎn)E在線段AB上且EFPB (I)證明：PB平面CEF； ()求二面角BCE-F的

3、正切。選題目的，練好計(jì)算(包括三角形各邊，二面角求解)練好規(guī)范；判定是否適用向量。2翻折問題體積問題函數(shù)導(dǎo)數(shù))如圖6所示，等腰ABC的底邊,高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B,D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE=x，V(x)表示四棱錐P一ACEF的體積.(1)求V(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值?(3)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值3、(組合圖形問題)如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且,EDAF,且DAF=900(1)求BD和面BEF所成的

4、角的正弦；(2)線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由?？偨Y(jié)：解決存在性問題方法：1先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論,然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。4(視圖，無棱二面角問題)四棱錐PABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示(1)寫出四棱錐P一ABCD中四對線面垂直關(guān)系(不要求證明)；(2)在四棱錐P-ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE平面 PCD；(3)在四棱錐P一ABCD中，設(shè)面PAB與面PCD所在的角為(00<900)，求cos的值5(無棱二面角問題)如

5、圖，四棱錐S一ABCD的底面是邊長為l的正方形SD垂直于底面ABCD，(1)求證：BCSC(2)求面ASD與面BSC所成二面角的大小；(3)設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小6如圖邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，將ABEF剪去，將AED、DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P得一三棱錐如圖示(1)求證：PDEF：(2)求三棱錐PDEF的體積；(3)求DE與平面PDF所成角的正弦值7、如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，BAD=600，Q為AD的中點(diǎn)。(1)若PA=PD，求證：平面PQB平面PAD；(2)點(diǎn)M在線段PC上，P

6、M=tPC，試確定t的值，使PA平面MQB(3)在(2)的條件下，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2求二面角MBQ-C的大小。8(本小題滿分l4分)如圖，ABC是以ABC為直角的三角形，SA平面ABC，SA=BC=2。AB=4M、N、D分別是SC、AB、BC的中點(diǎn)。(1)求證：MNAB；(2)求二面角S-NDA的余弦值：(3)求點(diǎn)A到平面SND的距離。參考答案l(I)證明：PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形故PA平面ABC,又而,故CFPB，又已知EFPBPB平面CEF(II)由(I)知PBCE，PA

7、平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE 在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EFl是EF在平面ABC上的射影，EFEC,故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCE一F的正切為說明：本題不適宜用向量2(1)由折起的過程可知，PE平面ABC，(2)所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí),單調(diào)遞減；因此時(shí)，V(x)取得最大值(3)過F作MTAC交AD與M，則在PFM中，異面直線AC與PF所成角的余弦值為3解(1)因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則B(2，0，0)，D(0，0，2)E(1，l，2)，F(xiàn)(2，2，0)。則設(shè)平面BEF的法向量,則則可取向量和所

8、成角的正弦為即BD和面BEF所成的角的正弦(2)假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)則P點(diǎn)坐標(biāo)為則向量向量所以所以故存在這樣的點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P為EF中點(diǎn)時(shí)，BD面PAC4解(1)如圖，在四棱錐P一ABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD(2)依題意AB、AD、AP兩兩垂直，分別以直線AB、AD、AP為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0) E是PA中點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，0，1)，設(shè)是平面PCD的法向量由，即取y=1，得為平面PCD的一個(gè)法向量平面PCD.又平面PCD，

9、BE平面PCD(3)由(2)，平面PCD的一個(gè)法向量為又AD平面PAB，平面PAB的一個(gè)法向量為5、方法一解：(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系則有B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1)于是.于是所以,于是BCSC，(2)顯然平面ASD的法向量為,設(shè)平面SCB的法向量為則有,即,解得由于所以與的夾角為450，由圖可以判斷面ASD與面BSC所成的角為銳角，因此與與的夾角相等，從而面ASD與面BSC所成的角為450(3)M點(diǎn)坐標(biāo)為于是，而,并且于是DMSB，即異面直線DM與SB所成角的為900 ：方法二：幾何法更快6(1)證明：依題意知圖折前ADAE,CDCFPDPE，PFPD，2分,PD

10、平面PEF 3分又平面PEF PDEF4分(2)解法l：依題意知圖中在BEF中在PEF中7分8分(2)解法2：依題意知圖中在BEF中5分取EF的中點(diǎn)M，連結(jié)PM,則PMEF6分7分8分(3)由(2)知PEPF, 又PEPD PE平面PDF10分PDE為DE與平面PDF所成的角， 11分在RtPDE中l(wèi)2分14分7解：(1)連BD，四邊形ABCD菱形，ADAB，BAD=600,ABD為正三角形，Q為AD中點(diǎn)，ADBQ,PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，ADPQ,又BQPQ=QAD平面PQB，平面PAD,平面PQB平面PAD(2)當(dāng)時(shí)，PA平面MQB,下面證明，若PA平面MQB，連AC交BQ于N,由AQ

11、BC,可得,即PA平面MQB，平面PAC,平面PAC平面MQB=MN，PAMN即：,(3)由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQAD.又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為令,則,由,得點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)平面MQB的法向量為,可得,解得取平面ABCD的法向量又因?yàn)槎娼荕BQC為銳二面角，所以其大小為600。8(1)略證：作MEAC，連接NE，可證得AB平面MNE,即得MNAB4分 過A作AF垂直DN且與DN的延長線相交于點(diǎn)F，連接SF在DBN中,在RtAFN中,在RtSAF中,(3)