高等數(shù)學(xué)微分方程試題

1、第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判斷題1.y=ce(c的任意常數(shù))是=2x的特解。 ( )2.y=()是二階微分方程。 ( )3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )4.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，則這個(gè)解稱(chēng)為通解。 （ ）5.微分方程的通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。 （ ）二、填空題1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的階數(shù)是 。2. 函數(shù)y=3sinx-4cosx 微分方程的解。3. 積分曲線y=(c+cx)e中滿(mǎn)足yx=0=0, x=0=1的曲線是 。三、選擇題1下列方程中 是常微分方程（A）、x2+y2=a2 (B)、 y+ (C)、

2、+=0 （D）、=x2+y2 2.下列方程中 是二階微分方程（A）（）+x2+x2=0 (B) () 2+3x2y=x3 (C) +3+y=0 (D)-y2=sinx 3.微分方程+w2y=0的通解是 其中c.c1.c2均為任意常數(shù)（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4. C是任意常數(shù)，則微分方程=的一個(gè)特解是 （A）y-=(x+2)3 (B)y=x3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、試求以下述函數(shù)為通解的微分方程。1（其中為任意常數(shù)） 2.（其中為任意常數(shù)）五、質(zhì)量為m的

3、物體自液面上方高為h處由靜止開(kāi)始自由落下，已知物體在液體中受的阻力與運(yùn)動(dòng)的速度成正比。用微分方程表示物體，在液體中運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系并寫(xiě)出初始條件。12-2 可分離變量的微分方程一、求下列微分方程的通解1 sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02 (x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03 (ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=04 =cos(x-y).(提示令.x-y=z)二、求下列微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解1 cosydx+(1+e-x)sinydy=0. yx=0=2.三 、設(shè)f(x)=x+f(u)du,f(x)是可微函數(shù)，求f(x)四、求一曲線的方程，曲線

4、通過(guò)點(diǎn)（0.1）,且曲線上任一點(diǎn)處的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線。五、船從初速v0=6米/秒而開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，5秒后速度減至一半。已知阻力與速度成正比，試求船速隨時(shí)間變化的規(guī)律。12-3 齊次方程一、求下列齊次方程的通解1 -xsin 2 (x+ycosdx-xcosdy=0 二 求下列齊次方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解1xy=x2+y2 yx=e=2e 2.x2dy+(xy-y2)dx=0yx=1=1三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解四、設(shè)有連結(jié)點(diǎn)O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲線孤對(duì)于上任一點(diǎn) P（x，y）,曲線孤與直線段所圍圖形的面積為x2，求曲線孤的方程。12.4 一

5、階線性微分方程一、求下列微分方程的通解1.x+y=xex 2.+ytanx=sin2x3.+ 4.二、求下列微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解 1cosy+siny =x y 2.(2x+1)ey2ey=4 y三、已知f(),曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)f(x).四、質(zhì)量為M 0克的雨滴在下落過(guò)程中，由于不斷蒸發(fā)，使雨滴的質(zhì)量以每秒m克的速率減少，且所受空氣阻力和下落速度成正比，若開(kāi)始下落時(shí)雨滴速度為零，試求雨滴下落的速度與時(shí)間的關(guān)系。五、 求下列伯努利方程的通解1y+2y5 2. xy+y-y2lnx=012-4 全微分方程一、求下列方程通解1cos(x+y2)+3ydx+2ycos(x+y2)+3x

6、dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.eydx+(xey-2y)dy=0二、利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y2xdx=02 y(2xy+ex)dx-exdy=0三、xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0為全微分方程，其中函數(shù)f(x)連續(xù)可微，f(0)=0,試求函數(shù)f(x)，并求該方程的通解。12-7 可降階的高階微分方程一、求下列各微分方程的通解1=xsinx 2. -=x3.y+()2= 4. (1+ex)+=0二、求下列各微分方程滿(mǎn)足所給初始條件的特解12=sin2y y 2. x-ln+lnx=0 y 三、

7、函數(shù)f(x)在x>0內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且f(1)=2，以及(x)-,求f(x).四、一物體質(zhì)量為m,以初速度Vo從一斜面上滑下，若斜面的傾角為，摩擦系數(shù)為u,試求物體在斜面上滑動(dòng)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。12-8 高階線性的微分方程一、選擇題1下列方程中 為線性微分方程（A）（）+x=x (B)y (C) (D)2.已知函數(shù)y1=，y1=，y3=e(x-則 （A）僅y1與y2線性相關(guān) （B）僅y2與y3線性相關(guān) （C）僅y1與y3線性相關(guān) （D）它們兩兩線性相關(guān)3若y1和y2是二階齊次線性方程，+p(x)+4(x)y=0兩個(gè)特解，c1c2為任意常數(shù)，則y=c1y1+c2y2 (A)一定是該方

8、程的通解 （B）是該方程的特解 （C）是該方程的解 （D）不一定是方程的解4下列函數(shù)中哪組是線性無(wú)關(guān)的 （A）lnx, lnx2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln, lnx2二、證明：下列函數(shù)是微分方程的通解1y=c1x2+c2x2lnx(c1 c2是任意常數(shù))是方程x2-3x+4y=0的通解2y=c1e-x+c2e(c1c2是任意常數(shù))是方程2的通解三、設(shè)y1(x)y2(x)是某個(gè)二階線齊次線性微分方程的三個(gè)解，且y1(x)y2(x).y3(x).線性無(wú)關(guān)， 證明：微分方程的通解為：四、試求以y=ex+c2e-x)+ (c1,c2是任意常數(shù))為通解的二階線性微分方程。12

9、-9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、選擇題1以y1=cosx,y2=sinx為特解的方程是 （A） (B) (C) (D)2微分方程2的通解是 （A）（B）（C） (D)3常微分方程，（其中是不等的系數(shù)），在初始條件y1x=0=特解是 （A）y=0 (B)y= (C) （D）4是微分方程的一個(gè)特解，則此方程的通解是 （A） （B）（C） （D）5是微分方程 的通解（A）（B）（C）（D）二、求下列微分方程的通解1 23 45 5. 三、求下列微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解 1 2 四、一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止（t=0,v=0）開(kāi)始滑入液體，下滑時(shí)液體阻力的大小與下沉速度的大小成正比（比例系數(shù)為k），

10、求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。12-10 二階常數(shù)非齊次線性微分方程一、選擇題1微分方程， (A)ax (B)ax+b (C)ax (D)2.微分方程 （A） （B） （C） （D）3微分方程的特解y*形式為 （A） （B） （C） （D）4微分方程的特解y*形式為 （A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x5. 微分方程的特解形式為y*= （A）（ax+b）sin2x (B)(ax+b)sin2x+(cx+d)cos2x（C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+e

11、x+f6. 微分方程的特解形式為 （A） (B)（C） （D）二、求下列各方程的通解1 23 4三、求微分方程滿(mǎn)足的特解四、已知二階常系數(shù)微分方程有特解，求的值，并求該方程的通解五、為常數(shù)。試求的通解。六、設(shè)，其中f(x)為連續(xù)的數(shù)，求f(x)。七、一鏈長(zhǎng)18cm，掛在光滑的圓釘上，一邊垂下8cm，另一邊垂下10cm，問(wèn)整個(gè)鏈子滑過(guò)釘子需要多少時(shí)間？第十二章自測(cè)題一一、 填空題1已知曲線y=y(x)過(guò)點(diǎn)（0， ）且其上任一點(diǎn)（x,y）處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)= 2以為通解的微分方程是 （其中為任意常數(shù)）3。微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解為 4微分方程的通解為

12、5已知某四階線性齊次方程有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的解e-x,ex,sinx,cosx,則該微分方程為 二、選擇題已知函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x處的增量y=且當(dāng)xo時(shí)，是比x更高階的無(wú)窮小量，y(o)=，則y(1)等于 （A）2 （B） （C） （D）2 y=y(x)是微分方程的解，且，則f(x)在 （A） x的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加 （B）x的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少（C）x處的取極小值 （D）x處取極大值3一曲線通過(guò)點(diǎn)m(4.3),且該曲線上任意一點(diǎn)p處的切線在y軸上的截距等于原點(diǎn)到p的距離，則此曲線方程為 （A）（B）（C）（D）4下列方程中可利用,降為p的一階微分方程的是 （） （）（C） (D) 三、求解

13、下列微分方程1.求ydx+(x2y-x)dy=0，滿(mǎn)足的特解，2.求的通解四、求的通解。五、已知，是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程。六、已知函數(shù)f(x)可微 ，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足：f(x+y)=,求此函數(shù)f(x).七、火車(chē)沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)火車(chē)質(zhì)量為m,機(jī)車(chē)牽引力為F,阻力為a+bv,其中a,b為常數(shù)，v為火車(chē)的速度，若已知火車(chē)的初速度與初位移均為零，求火車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t).第十二章自測(cè)題二一、單項(xiàng)選擇題設(shè)y=是方程的解，若則在點(diǎn) （A）取得極大值； （B）取得極小值；（C）某鄰域內(nèi)單調(diào)遞增；（D）某鄰域內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)是方程的 （A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不對(duì)微分方程的特解應(yīng)具有形式（其中，a,b,c為常數(shù)） （A） （B） （C）a+bcos2x; (D) ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程特解應(yīng)具有形式 （A）（Ax+Bx）e3x (B)x(Ax+B)e3x （C）x2(Ax+B)e3x （D）Ax3e3x5.設(shè)一動(dòng)點(diǎn)以等加速度a作直線運(yùn)動(dòng)，且其初速度為v0,初始位移為s0，則此質(zhì)點(diǎn)規(guī)律是 （A）s=v0+s0; (B) (C) (D)6 函數(shù)f(x)滿(mǎn)足關(guān)系式 （A）1n2·ex; （B）1n2·e2x; （C）ex+ln2; （D）&#