求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

1、求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究等比數(shù)列的性質(zhì)與其前項(xiàng)和的基礎(chǔ)，也是研究數(shù)列問(wèn)題的基石，所以等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法在等比數(shù)列的研究中占有重要的地位，下文就介紹求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.一定義法：先根據(jù)條件判斷該數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列則又等比數(shù)列定義直接求它的通項(xiàng)公式.例1求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式5，-15，45，-135，405，-1512解：所給的數(shù)列是等比數(shù)列，且是首項(xiàng)為5，公比為-3。所以通項(xiàng)二公式法：如果數(shù)列是等比數(shù)列，只要知道首項(xiàng)與公比，就可以根據(jù)等比數(shù)列的通頂公式來(lái)求。例2：數(shù)列為等比數(shù)列，若，求通項(xiàng)解，由已知得（利用等比數(shù)列的性質(zhì)）， 即，解得或當(dāng)時(shí)

2、，得，當(dāng)時(shí)，得，評(píng)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)為了需要，不一定非得由與來(lái)表示，也可以用其他項(xiàng)來(lái)相互表示如例3：已知等比數(shù)列中，則該數(shù)列的通項(xiàng)=解： 注：此類題目都會(huì)很醒目的出現(xiàn)等比數(shù)的字眼，目的求首項(xiàng)與公比，當(dāng)然求首項(xiàng)和公比可靈活一些，如用等比數(shù)列的性質(zhì)以及變換式.三遞推關(guān)系式法：給出了遞推公式求通項(xiàng)，常用方法有兩種：（一）是配常數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，從而再求通項(xiàng)例4已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式解：由已知得：， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列 .即.評(píng)：對(duì)于形式的遞推關(guān)系式，可以配常數(shù)，即，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，再求通項(xiàng)。也可以用迭代法。如 ，將上列各式相加得.（二）取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，從而再求通項(xiàng).例5已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式.解：易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即.數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 故.四利用與的關(guān)系：與的關(guān)系為，把轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系式，再求通項(xiàng).例6已知數(shù)列的前的和為，且，其中為常數(shù)，求通項(xiàng)公式.解： 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 . .五實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)題中的含義建立數(shù)列模型后，再研究與的關(guān)系，求等比數(shù)列的通項(xiàng)例7從盛滿升純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去，問(wèn)第次操作后溶液的濃度是多少？解：開始的濃度為1，操作一次后溶液的濃度是，操作次后溶液的濃度為，由題意知：，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.等比數(shù)列通項(xiàng)的求法