正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法及其推廣

1、引 言數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)又稱無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù).若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都由正數(shù)組成,則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的理論,正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)中的基礎(chǔ)部分,具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值和廣泛的應(yīng)用.作為一種常用的研究工具廣泛的應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)科學(xué)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,因此它的收斂判定問(wèn)題一直被人們所研究.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法中,常用的且比較典型的判別法有比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法等.為了比較方便、簡(jiǎn)單的判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,首先,可以根據(jù)其特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?如：柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法或拉貝判別法,使正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別變得更加簡(jiǎn)便.當(dāng)上述方法都無(wú)法使用時(shí),根據(jù)條件選擇積分判別法、對(duì)數(shù)判別法

2、、次數(shù)差審斂法等.一般是,當(dāng)無(wú)法使用柯西判別法時(shí),通?？梢赃x用達(dá)朗貝爾判別法,當(dāng)達(dá)朗貝爾判別法也無(wú)法使用時(shí),使用比較判別法,若比較判別法還是無(wú)法判別時(shí),再使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件進(jìn)行判定.由此,我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的,每當(dāng)一種判別法無(wú)法判斷時(shí),就出現(xiàn)一種新的判別法來(lái)進(jìn)行判斷.根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷,能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間,提高效率.本文歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法,比較這些方法的不同特點(diǎn),總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù),并給出了不同通項(xiàng)特點(diǎn)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)選用的不同的判別法.1關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基礎(chǔ)知識(shí)定義1.1.11 給定一個(gè)數(shù)列,對(duì)它的各

3、項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 （1）稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）,其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）也常寫(xiě)作：或簡(jiǎn)單寫(xiě)作.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的前項(xiàng)之和記為（2）稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的第個(gè)部分和,也簡(jiǎn)稱部分和.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)符號(hào)都相同,則稱它為同號(hào)級(jí)數(shù).對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù),只需研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義1 若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列收斂于S,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）收斂,稱S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的和,記作或.若是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)常用的收斂判別法定理2.1 1（基本判別法）如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級(jí)數(shù)收斂.例1判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.分

4、析：本題無(wú)法直接使用定義、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法,或比較判別法以及其他的判別法進(jìn)行判斷,因此可選用基本定理進(jìn)行判斷.解 記,則級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和所以原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界,于是原級(jí)數(shù)收斂.定理2.2 2 (級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則) 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),都成立著對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),由于,因此,只要即可.注：當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為等差或等比數(shù)列,或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算,且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí),可以選用定義和柯西收斂原理進(jìn)行判斷.例2 解 取,若令,則因此,由柯西收斂原理知級(jí)數(shù)發(fā)散.例3解 =則.所以,由級(jí)數(shù)收斂的定義知原級(jí)數(shù)收斂.定理2.31 若級(jí)數(shù)與

5、都收斂，則對(duì)任意常數(shù)，級(jí)數(shù)也收斂.定理2.41 去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的斂散性.定理2.51 在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào),既不改變級(jí)數(shù)的收斂性,也不改變它的和.定理2.6 2 （比較審斂法）設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù)N,對(duì)一切都有則（i）若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂；（ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.比較審斂法的極限式設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù).若有,則（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（2）當(dāng)時(shí),若級(jí)數(shù)收斂,則也收斂；（3）當(dāng)時(shí),若級(jí)數(shù)發(fā)散,則也發(fā)散.注：當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)型如或含有等三角函數(shù)的因子時(shí),可以通過(guò)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,然后再與幾何級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)等常見(jiàn)的已知其斂散性的級(jí)數(shù)

6、進(jìn)行比較,選用比較判別法進(jìn)行判定.例4 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)6 收斂.解 因?yàn)?而級(jí)數(shù)收斂,所以由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.例5 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性.解 因?yàn)榇嬖谡麛?shù),當(dāng)時(shí),有,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的,所以由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.定理2.7 2 柯西判別法（根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).且存在某正數(shù)及正常數(shù),則（i）若對(duì)一切,成立不等式1,則級(jí)數(shù)收斂；（ii）若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.柯西判別法的極限形式：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè)那么,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的收斂性需要進(jìn)一步判定.例6判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.分析：本題級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中含有,這種類型是柯西判別法的典型類型,只要取上極限進(jìn)行判斷即

7、可.解 記,則.所以,由達(dá)朗貝爾判別法的極限形式得級(jí)數(shù)收斂.定理2.8 2 比式判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù)（）.(i)若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂;(ii) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.達(dá)朗貝爾判別法的極限形式：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的收斂性需要進(jìn)一步判定.注：當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)含有型如或,或分子、分母含多個(gè)因子連乘時(shí),選用達(dá)朗貝爾判別法.例7 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 由于,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.例8 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 由于所以,.故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.定理2.9 1 （積分判別法） 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.注：

8、當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)含有型如,為含有的表達(dá)式或可以找到原函數(shù),或函數(shù)為上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)且時(shí),可以選用積分判別法.例9 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 由于,則廣義積分發(fā)散,所以由柯西積分判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散.定理2.10 1 （拉貝判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),(i) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂;(ii) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.拉貝判別法的極限形式設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且極限存在,則(i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.注：當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)含有階乘與次冪,型如與時(shí),而使用柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法時(shí)極限等于1等無(wú)法判斷其斂散性的時(shí)候,可選用拉貝判別法.例10 討論級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性.

9、解 無(wú)論哪一值,對(duì)級(jí)數(shù)的比式極限,都有,所以用比式判別法無(wú)法判別級(jí)數(shù)的斂散性.現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來(lái)討論,當(dāng)時(shí),由于 （）,所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時(shí),由于（）,由拉貝判別法可知級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),由于（）,所以級(jí)數(shù)收斂.定理2.111（對(duì)數(shù)判別法） 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),若從某一項(xiàng)起,有,則級(jí)數(shù)收斂；若從某一項(xiàng)起,有,則級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)數(shù)判別法的極限形式：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果,那么,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)的收斂性需要進(jìn)一步判定.注：當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或時(shí),可以選用對(duì)數(shù)判別法.例11 判別級(jí)數(shù)8的斂散性.解 因?yàn)?對(duì),當(dāng)時(shí),有,所以原級(jí)數(shù)收斂.使用上面定理時(shí)，通常要根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)來(lái)使用相應(yīng)的判別法,一般情況下有個(gè)

10、使用的先后順序,順序是：柯西判別法,達(dá)朗貝爾判別法,比較判別法,基本判別法.由此,我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的,每當(dāng)一種判別法無(wú)法判斷時(shí),就出現(xiàn)一種新的判別法來(lái)進(jìn)行判斷.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法的推廣前面我們介紹了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一些常用判別法,但是有些題目用那些常用方法判別時(shí)可能會(huì)經(jīng)過(guò)特別麻煩的過(guò)程才能得到結(jié)果或者得不到結(jié)果.為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們將一些常用的判別法進(jìn)行推廣,就使得對(duì)某些級(jí)數(shù)的斂散性判別變得更加容易了.3.15D-C判別法對(duì)于級(jí)數(shù),其中,若,那么（i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)（含的情形）時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；（iii）當(dāng)或或時(shí),級(jí)數(shù)的收斂性待確定.例12判別級(jí)數(shù)的收

11、斂性.解 令,則有,.從而,由D-C判別法知,原級(jí)數(shù)收斂.3.23越項(xiàng)比值判別法設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是遞減的,如果,則（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.3.37次數(shù)差審斂法若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為關(guān)于項(xiàng)數(shù)的分式形式（若為整式則分母視為1）,設(shè)分子的最高次數(shù)為,分母的最高次數(shù)為.（1）若,則級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）若,則級(jí)數(shù)收斂.證明 （1）當(dāng)時(shí),分四種情況討論.若,則其部分和數(shù)列一定是一個(gè)單調(diào)增加無(wú)解數(shù)列,故部分和數(shù)列的極限不存在,由級(jí)數(shù)發(fā)散的定義,級(jí)數(shù)發(fā)散.若,則一般項(xiàng)的極限為分子、分母的最高次數(shù)的系數(shù)比,即一般項(xiàng)的極限不可能為0,根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,級(jí)數(shù)發(fā)散.若,此時(shí)的分子的次數(shù)高于分母的次

12、數(shù),則有,根據(jù)極限審斂法,級(jí)數(shù)發(fā)散.若,此時(shí)的分子、分母的最高次數(shù)相同,則有,根據(jù)極限審斂法,級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上,若,級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）若,設(shè),則存在p1使得,根據(jù)極限審斂法,級(jí)數(shù)收斂.例13判定級(jí)數(shù)的斂散性.分析：這里我們把認(rèn)為的最高次數(shù)為1,此時(shí),猜想級(jí)數(shù)收斂.啟示我們找一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與該級(jí)數(shù)比較.解 因?yàn)榈?因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知收斂.例14 判定級(jí)數(shù)的斂散性解 由次數(shù)差審斂法,所以此級(jí)數(shù)發(fā)散.3.48柯西判別法的推廣設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若存在正定數(shù),使得,則（i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.例15考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 由于,故由柯西判別法的推廣知此級(jí)數(shù)收斂.且容易看出這樣判別較

13、運(yùn)用柯西判別法來(lái)判定,顯得更加簡(jiǎn)便快捷.3.58達(dá)朗貝爾判別法的推廣設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,則（i）當(dāng)-q-1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)-1q+時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.例16考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.解 由于,故達(dá)朗貝爾判別法失效,但由于,故由達(dá)朗貝爾判別法的推廣知此級(jí)數(shù)收斂.3.612比較判別法的推廣（1）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂（）；（2）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,且,則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明 用數(shù)學(xué)歸納法和比較判別法來(lái)證明.（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以,從而,即收斂.假設(shè)時(shí)收斂,則時(shí),由得收斂,所以結(jié)論成立.（2）當(dāng)時(shí),由比較判別法知發(fā)散.假設(shè)時(shí)發(fā)散,則時(shí),因?yàn)?所以發(fā)散,因此結(jié)論成立.例17 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解 由級(jí)

14、數(shù)和級(jí)數(shù)收斂,可得級(jí)數(shù)收斂.再由比較判別法的推廣得級(jí)數(shù)收斂.3.76拉貝判別法的推廣引理6 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)是收斂的,當(dāng)時(shí)是發(fā)散的.其中,.證明 先證明時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,所以,并且單調(diào)遞增.于是對(duì)任意,存在使得,從而于是,級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),由比較判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),同樣因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,所以,并且單調(diào)遞增.故對(duì)任意,存在,使得,這說(shuō)明所以對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)適當(dāng)?shù)募永ㄌ?hào)后所得的級(jí)數(shù)是收斂的,從而,原級(jí)數(shù)收斂.定理 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）發(fā)散.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）滿足 （3）則（i）當(dāng)（包括）時(shí)級(jí)數(shù)收斂（ii）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散（iii）當(dāng)R=1時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性不定.證明 由,可以找到a滿足,記.因?yàn)榧?jí)

15、數(shù)發(fā)散,所以,由引理知級(jí)數(shù)是收斂的.這時(shí),若記,則又由（3）知,當(dāng)充分大,是常數(shù)時(shí),其中,當(dāng)充分大時(shí)可以保證上式右端大于0,從而由引理知級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),與上面的證明相似.當(dāng)時(shí),由（1）得,由引理知發(fā)散.3.84厄爾馬可夫判別法設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),又設(shè),那么（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.厄爾馬可夫判別法的推廣設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),為遞增可導(dǎo)函數(shù),并滿足,如果,那么（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.證明 （1）設(shè),由于,有,使當(dāng)時(shí),有.取使,則.于是當(dāng)時(shí),有,=.由于充分大且,故,又因,故,從而,固定,讓,取極限得.于是由柯西積分判別法知級(jí)數(shù)收斂.（2）當(dāng)時(shí),則取充分

16、大,可得當(dāng)時(shí),.從而,常數(shù),上式表明,無(wú)論多大,總有使某常數(shù),從而積分發(fā)散.再由柯西判別法知級(jí)數(shù)發(fā)散.小 結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)理論的重要組成部分,而它的斂散性的判定又是級(jí)數(shù)理論的核心問(wèn)題.因此,正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.但斂散性的判別方法卻不盡相同.一、介紹了正項(xiàng)級(jí)數(shù)常用的收斂判別法. 常用的收斂判別法有：基本判別法 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則 級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù),都成立著對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),由于,因此,只要即可.比較審斂法 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù)N,對(duì)一切都有則（i）若級(jí)

17、數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂；（ii）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.柯西判別法（根式判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).且存在某正數(shù)及正常數(shù),則（i）若對(duì)一切,成立不等式1,則級(jí)數(shù)收斂；（ii）若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.達(dá)朗貝爾判別法（或稱比式判別法） 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù)（）.(i)若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂;(ii) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.積分判別法 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.拉貝判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),(i) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂;(ii) 若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)數(shù)判別法 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),若從某一項(xiàng)

18、起,有,則級(jí)數(shù)收斂；若從某一項(xiàng)起,有,則級(jí)數(shù)發(fā)散.二、介紹了推廣后的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法D-C判別法對(duì)于級(jí)數(shù),其中,若,那么（i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)（含的情形）時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散；（iii）當(dāng)或或時(shí),級(jí)數(shù)的收斂性待確定.越項(xiàng)比值判別法 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是遞減的,如果,則（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.次數(shù)差審斂法 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為關(guān)于項(xiàng)數(shù)的分式形式（若為整式則分母視為1）,設(shè)分子的最高次數(shù)為,分母的最高次數(shù)為.（1）若,則級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）若,則級(jí)數(shù)收斂.柯西判別法的推廣設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若存在正定數(shù),使得,則（i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.達(dá)朗貝爾判別法的推廣設(shè)為正項(xiàng)

19、級(jí)數(shù),且,則（i）當(dāng)-q-1時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)-1q+時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.比較判別法的推廣（1）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂（）；（2）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,且,則級(jí)數(shù)發(fā)散.拉貝判別法的推廣設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）發(fā)散.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）滿足則（i）當(dāng)（包括）時(shí)級(jí)數(shù)收斂（ii）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散（iii）當(dāng)R=1時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性不定.厄爾馬可夫判別法設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),又設(shè),那么（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.厄爾馬可夫判別法的推廣：設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),為遞增可導(dǎo)函數(shù),并滿足,如果,那么（1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)然,這只是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法及其推廣的一小部分,除了這些之外,還有好多

20、其他判別法有待于我們進(jìn)行更深刻的研究.致 謝隨著這篇本科畢業(yè)論文的最后落筆,四年河北北方學(xué)院的學(xué)習(xí)生活也即將劃上一個(gè)圓滿的句號(hào).這四年也注定將成為我人生中的一段重要旅程回憶.四年來(lái),我的師長(zhǎng)、我的領(lǐng)導(dǎo)、我的同學(xué)給予我的關(guān)心和幫助,使我終身收益,倍感珍惜.在本文的撰寫(xiě)過(guò)程中,韓振芳老師作為我的指導(dǎo)老師,她治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)識(shí)淵博,視野廣闊,為我營(yíng)造了一種良好的學(xué)術(shù)氛圍.置身其間,耳濡目染,潛移默化,使我不僅接受了全新的思想觀念,樹(shù)立了明確的學(xué)術(shù)目標(biāo),領(lǐng)會(huì)了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且還明白了許多待人接物與為人處世的道理.其嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范,樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力,與無(wú)微不至、感人至深的人文關(guān)懷,令人如沐春風(fēng),倍感溫馨.正是由于她在百忙之中多次審閱全文,對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行修改,并為本文的撰寫(xiě)提