正項級數(shù)的收斂判別法及其推廣

1、引 言數(shù)項級數(shù)又稱無窮級數(shù),簡稱級數(shù).若數(shù)項級數(shù)的各項都由正數(shù)組成,則稱為正項級數(shù).級數(shù)理論是數(shù)學(xué)中一個非常重要的理論,正項級數(shù)又是級數(shù)中的基礎(chǔ)部分,具有很強的實用價值和廣泛的應(yīng)用.作為一種常用的研究工具廣泛的應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)科學(xué)和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,因此它的收斂判定問題一直被人們所研究.正項級數(shù)的收斂判別法中,常用的且比較典型的判別法有比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法等.為了比較方便、簡單的判別正項級數(shù)是否收斂,首先,可以根據(jù)其特點選擇適當?shù)姆椒?如：柯西判別法、達朗貝爾判別法或拉貝判別法,使正項級數(shù)收斂的判別變得更加簡便.當上述方法都無法使用時,根據(jù)條件選擇積分判別法、對數(shù)判別法

2、、次數(shù)差審斂法等.一般是,當無法使用柯西判別法時,通?？梢赃x用達朗貝爾判別法,當達朗貝爾判別法也無法使用時,使用比較判別法,若比較判別法還是無法判別時,再使用正項級數(shù)收斂的充要條件進行判定.由此,我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進使用的,每當一種判別法無法判斷時,就出現(xiàn)一種新的判別法來進行判斷.根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷,能夠最大限度的節(jié)約時間,提高效率.本文歸納總結(jié)正項級數(shù)收斂性判斷的一些典型方法,比較這些方法的不同特點,總結(jié)出一些典型的正項級數(shù),并給出了不同通項特點的正項級數(shù)選用的不同的判別法.1關(guān)于正項級數(shù)的一些基礎(chǔ)知識定義1.1.11 給定一個數(shù)列,對它的各

3、項依次用“+”號連接起來的表達式 （1）稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也簡稱級數(shù)）,其中稱為數(shù)項級數(shù)的通項.數(shù)項級數(shù)（1）也常寫作：或簡單寫作.數(shù)項級數(shù)（1）的前項之和記為（2）稱它為數(shù)項級數(shù)（1）的第個部分和,也簡稱部分和.若數(shù)項級數(shù)的各項符號都相同,則稱它為同號級數(shù).對于同號級數(shù),只需研究各項都是由正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項級數(shù).定義1 若數(shù)項級數(shù)（1）的部分和數(shù)列收斂于S,則稱數(shù)項級數(shù)（1）收斂,稱S為數(shù)項級數(shù)（1）的和,記作或.若是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項級數(shù)（1）發(fā)散.2 正項級數(shù)常用的收斂判別法定理2.1 1（基本判別法）如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級數(shù)收斂.例1判定正項級數(shù)的斂散性.分

4、析：本題無法直接使用定義、柯西判別法、達朗貝爾判別法,或比較判別法以及其他的判別法進行判斷,因此可選用基本定理進行判斷.解 記,則級數(shù)的前項和所以原級數(shù)的部分和數(shù)列有上界,于是原級數(shù)收斂.定理2.2 2 (級數(shù)收斂的柯西準則) 級數(shù)收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在,使得當時,對于任意的正整數(shù),都成立著對于正項級數(shù),由于,因此,只要即可.注：當級數(shù)的通項為等差或等比數(shù)列,或通項為含二項以上根式的四則運算,且通項極限無法求出時,可以選用定義和柯西收斂原理進行判斷.例2 解 取,若令,則因此,由柯西收斂原理知級數(shù)發(fā)散.例3解 =則.所以,由級數(shù)收斂的定義知原級數(shù)收斂.定理2.31 若級數(shù)與

5、都收斂，則對任意常數(shù)，級數(shù)也收斂.定理2.41 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性.定理2.51 在收斂級數(shù)的項中任意加括號,既不改變級數(shù)的收斂性,也不改變它的和.定理2.6 2 （比較審斂法）設(shè)和是兩個正項級數(shù),如果存在某正數(shù)N,對一切都有則（i）若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂；（ii）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.比較審斂法的極限式設(shè)和是兩個正項級數(shù).若有,則（1）當時,級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散；（2）當時,若級數(shù)收斂,則也收斂；（3）當時,若級數(shù)發(fā)散,則也發(fā)散.注：當級數(shù)的通項型如或含有等三角函數(shù)的因子時,可以通過對其進行適當?shù)姆趴s,然后再與幾何級數(shù)、級數(shù)等常見的已知其斂散性的級數(shù)

6、進行比較,選用比較判別法進行判定.例4 判別正項級數(shù)6 收斂.解 因為,而級數(shù)收斂,所以由比較判別法知級數(shù)收斂.例5 判別正項級數(shù) 的斂散性.解 因為存在正整數(shù),當時,有,而正項級數(shù)是收斂的,所以由比較判別法知級數(shù)收斂.定理2.7 2 柯西判別法（根式判別法）設(shè)為正項級數(shù).且存在某正數(shù)及正常數(shù),則（i）若對一切,成立不等式1,則級數(shù)收斂；（ii）若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.柯西判別法的極限形式：對于正項級數(shù),設(shè)那么,當時,級數(shù)收斂;當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)的收斂性需要進一步判定.例6判定正項級數(shù)的斂散性.分析：本題級數(shù)的通項中含有,這種類型是柯西判別法的典型類型,只要取上極限進行判斷即

7、可.解 記,則.所以,由達朗貝爾判別法的極限形式得級數(shù)收斂.定理2.8 2 比式判別法設(shè)為正項級數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù)（）.(i)若對一切,成立不等式,則級數(shù)收斂;(ii) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.達朗貝爾判別法的極限形式：對于正項級數(shù),當時,級數(shù)收斂；當時,級數(shù)發(fā)散；當時,級數(shù)的收斂性需要進一步判定.注：當級數(shù)的通項含有型如或,或分子、分母含多個因子連乘時,選用達朗貝爾判別法.例7 判別正項級數(shù)的斂散性.解 由于,所以級數(shù)發(fā)散.例8 判別正項級數(shù)的斂散性.解 由于所以,.故正項級數(shù)收斂.定理2.9 1 （積分判別法） 設(shè)為上非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散.注：

8、當級數(shù)的通項含有型如,為含有的表達式或可以找到原函數(shù),或函數(shù)為上非負單調(diào)遞減函數(shù)且時,可以選用積分判別法.例9 判別正項級數(shù)的斂散性.解 由于,則廣義積分發(fā)散,所以由柯西積分判別法知原級數(shù)發(fā)散.定理2.10 1 （拉貝判別法）設(shè)為正項級數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),(i) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)收斂;(ii) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.拉貝判別法的極限形式設(shè)為正項級數(shù),且極限存在,則(i)當時,級數(shù)收斂；(ii)當時,級數(shù)發(fā)散.注：當級數(shù)的通項含有階乘與次冪,型如與時,而使用柯西判別法、達朗貝爾判別法時極限等于1等無法判斷其斂散性的時候,可選用拉貝判別法.例10 討論級數(shù)當時的斂散性.

9、解 無論哪一值,對級數(shù)的比式極限,都有,所以用比式判別法無法判別級數(shù)的斂散性.現(xiàn)在應(yīng)用拉貝判別法來討論,當時,由于 （）,所以級數(shù)是發(fā)散的.當時,由于（）,由拉貝判別法可知級數(shù)發(fā)散.當時,由于（）,所以級數(shù)收斂.定理2.111（對數(shù)判別法） 對于正項級數(shù),若從某一項起,有,則級數(shù)收斂；若從某一項起,有,則級數(shù)發(fā)散.對數(shù)判別法的極限形式：對于正項級數(shù),如果,那么,當時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時級數(shù)的收斂性需要進一步判定.注：當級數(shù)的通項或時,可以選用對數(shù)判別法.例11 判別級數(shù)8的斂散性.解 因為,對,當時,有,所以原級數(shù)收斂.使用上面定理時，通常要根據(jù)通項的特點來使用相應(yīng)的判別法,一般情況下有個

10、使用的先后順序,順序是：柯西判別法,達朗貝爾判別法,比較判別法,基本判別法.由此,我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進使用的,每當一種判別法無法判斷時,就出現(xiàn)一種新的判別法來進行判斷.3正項級數(shù)收斂判別法的推廣前面我們介紹了判別正項級數(shù)斂散性的一些常用判別法,但是有些題目用那些常用方法判別時可能會經(jīng)過特別麻煩的過程才能得到結(jié)果或者得不到結(jié)果.為了解決這個問題,我們將一些常用的判別法進行推廣,就使得對某些級數(shù)的斂散性判別變得更加容易了.3.15D-C判別法對于級數(shù),其中,若,那么（i）當時,級數(shù)收斂；（ii）當（含的情形）時,級數(shù)發(fā)散；（iii）當或或時,級數(shù)的收斂性待確定.例12判別級數(shù)的收

11、斂性.解 令,則有,.從而,由D-C判別法知,原級數(shù)收斂.3.23越項比值判別法設(shè)正項級數(shù)的通項是遞減的,如果,則（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.3.37次數(shù)差審斂法若正項級數(shù)的一般項為關(guān)于項數(shù)的分式形式（若為整式則分母視為1）,設(shè)分子的最高次數(shù)為,分母的最高次數(shù)為.（1）若,則級數(shù)發(fā)散；（2）若,則級數(shù)收斂.證明 （1）當時,分四種情況討論.若,則其部分和數(shù)列一定是一個單調(diào)增加無解數(shù)列,故部分和數(shù)列的極限不存在,由級數(shù)發(fā)散的定義,級數(shù)發(fā)散.若,則一般項的極限為分子、分母的最高次數(shù)的系數(shù)比,即一般項的極限不可能為0,根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,級數(shù)發(fā)散.若,此時的分子的次數(shù)高于分母的次

12、數(shù),則有,根據(jù)極限審斂法,級數(shù)發(fā)散.若,此時的分子、分母的最高次數(shù)相同,則有,根據(jù)極限審斂法,級數(shù)發(fā)散.綜上,若,級數(shù)發(fā)散.（2）若,設(shè),則存在p1使得,根據(jù)極限審斂法,級數(shù)收斂.例13判定級數(shù)的斂散性.分析：這里我們把認為的最高次數(shù)為1,此時,猜想級數(shù)收斂.啟示我們找一個收斂級數(shù)與該級數(shù)比較.解 因為得,因為級數(shù)收斂,由比較審斂法知收斂.例14 判定級數(shù)的斂散性解 由次數(shù)差審斂法,所以此級數(shù)發(fā)散.3.48柯西判別法的推廣設(shè)為正項級數(shù),若存在正定數(shù),使得,則（i）當時,級數(shù)收斂；（ii）當時,級數(shù)發(fā)散.例15考察正項級數(shù)的斂散性.解 由于,故由柯西判別法的推廣知此級數(shù)收斂.且容易看出這樣判別較

13、運用柯西判別法來判定,顯得更加簡便快捷.3.58達朗貝爾判別法的推廣設(shè)為正項級數(shù),且,則（i）當-q-1時,級數(shù)收斂；（ii）當-1q+時,級數(shù)發(fā)散.例16考察正項級數(shù)的斂散性.解 由于,故達朗貝爾判別法失效,但由于,故由達朗貝爾判別法的推廣知此級數(shù)收斂.3.612比較判別法的推廣（1）若正項級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂（）；（2）若正項級數(shù)發(fā)散,且,則級數(shù)發(fā)散.證明 用數(shù)學(xué)歸納法和比較判別法來證明.（1）當時,因為級數(shù)收斂,所以,從而,即收斂.假設(shè)時收斂,則時,由得收斂,所以結(jié)論成立.（2）當時,由比較判別法知發(fā)散.假設(shè)時發(fā)散,則時,因為,所以發(fā)散,因此結(jié)論成立.例17 判別級數(shù)的斂散性.解 由級

14、數(shù)和級數(shù)收斂,可得級數(shù)收斂.再由比較判別法的推廣得級數(shù)收斂.3.76拉貝判別法的推廣引理6 設(shè)正項級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)當時是收斂的,當時是發(fā)散的.其中,.證明 先證明時級數(shù)發(fā)散.因為正項級數(shù)發(fā)散,所以,并且單調(diào)遞增.于是對任意,存在使得,從而于是,級數(shù)發(fā)散.當時,由比較判別法知級數(shù)發(fā)散.當時,同樣因為正項級數(shù)發(fā)散,所以,并且單調(diào)遞增.故對任意,存在,使得,這說明所以對正項級數(shù)適當?shù)募永ㄌ柡笏玫募墧?shù)是收斂的,從而,原級數(shù)收斂.定理 設(shè)正項級數(shù)（）發(fā)散.若正項級數(shù)（）滿足 （3）則（i）當（包括）時級數(shù)收斂（ii）當時級數(shù)發(fā)散（iii）當R=1時級數(shù)的斂散性不定.證明 由,可以找到a滿足,記.因為級

15、數(shù)發(fā)散,所以,由引理知級數(shù)是收斂的.這時,若記,則又由（3）知,當充分大,是常數(shù)時,其中,當充分大時可以保證上式右端大于0,從而由引理知級數(shù)收斂.當時,與上面的證明相似.當時,由（1）得,由引理知發(fā)散.3.84厄爾馬可夫判別法設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),又設(shè),那么（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.厄爾馬可夫判別法的推廣設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),為遞增可導(dǎo)函數(shù),并滿足,如果,那么（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.證明 （1）設(shè),由于,有,使當時,有.取使,則.于是當時,有,=.由于充分大且,故,又因,故,從而,固定,讓,取極限得.于是由柯西積分判別法知級數(shù)收斂.（2）當時,則取充分

16、大,可得當時,.從而,常數(shù),上式表明,無論多大,總有使某常數(shù),從而積分發(fā)散.再由柯西判別法知級數(shù)發(fā)散.小 結(jié)正項級數(shù)是級數(shù)理論的重要組成部分,而它的斂散性的判定又是級數(shù)理論的核心問題.因此,正項級數(shù)斂散性的判定在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用.但斂散性的判別方法卻不盡相同.一、介紹了正項級數(shù)常用的收斂判別法. 常用的收斂判別法有：基本判別法 如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級數(shù)收斂.級數(shù)收斂的柯西準則 級數(shù)收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在,使得當時,對于任意的正整數(shù),都成立著對于正項級數(shù),由于,因此,只要即可.比較審斂法 設(shè)和是兩個正項級數(shù),如果存在某正數(shù)N,對一切都有則（i）若級

17、數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂；（ii）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.柯西判別法（根式判別法） 設(shè)為正項級數(shù).且存在某正數(shù)及正常數(shù),則（i）若對一切,成立不等式1,則級數(shù)收斂；（ii）若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.達朗貝爾判別法（或稱比式判別法） 設(shè)為正項級數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù)（）.(i)若對一切,成立不等式,則級數(shù)收斂;(ii) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.積分判別法 設(shè)為上非負減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散.拉貝判別法 設(shè)為正項級數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),(i) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)收斂;(ii) 若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.對數(shù)判別法 對于正項級數(shù),若從某一項

18、起,有,則級數(shù)收斂；若從某一項起,有,則級數(shù)發(fā)散.二、介紹了推廣后的正項級數(shù)收斂判別法D-C判別法對于級數(shù),其中,若,那么（i）當時,級數(shù)收斂；（ii）當（含的情形）時,級數(shù)發(fā)散；（iii）當或或時,級數(shù)的收斂性待確定.越項比值判別法 設(shè)正項級數(shù)的通項是遞減的,如果,則（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.次數(shù)差審斂法 若正項級數(shù)的一般項為關(guān)于項數(shù)的分式形式（若為整式則分母視為1）,設(shè)分子的最高次數(shù)為,分母的最高次數(shù)為.（1）若,則級數(shù)發(fā)散；（2）若,則級數(shù)收斂.柯西判別法的推廣設(shè)為正項級數(shù),若存在正定數(shù),使得,則（i）當時,級數(shù)收斂；（ii）當時,級數(shù)發(fā)散.達朗貝爾判別法的推廣設(shè)為正項

19、級數(shù),且,則（i）當-q-1時,級數(shù)收斂；（ii）當-1q+時,級數(shù)發(fā)散.比較判別法的推廣（1）若正項級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂（）；（2）若正項級數(shù)發(fā)散,且,則級數(shù)發(fā)散.拉貝判別法的推廣設(shè)正項級數(shù)（）發(fā)散.若正項級數(shù)（）滿足則（i）當（包括）時級數(shù)收斂（ii）當時級數(shù)發(fā)散（iii）當R=1時級數(shù)的斂散性不定.厄爾馬可夫判別法設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),又設(shè),那么（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.厄爾馬可夫判別法的推廣：設(shè)為遞減的正值連續(xù)函數(shù),為遞增可導(dǎo)函數(shù),并滿足,如果,那么（1）當時,級數(shù)收斂；（2）當時,級數(shù)發(fā)散.當然,這只是正項級數(shù)收斂判別法及其推廣的一小部分,除了這些之外,還有好多

20、其他判別法有待于我們進行更深刻的研究.致 謝隨著這篇本科畢業(yè)論文的最后落筆,四年河北北方學(xué)院的學(xué)習(xí)生活也即將劃上一個圓滿的句號.這四年也注定將成為我人生中的一段重要旅程回憶.四年來,我的師長、我的領(lǐng)導(dǎo)、我的同學(xué)給予我的關(guān)心和幫助,使我終身收益,倍感珍惜.在本文的撰寫過程中,韓振芳老師作為我的指導(dǎo)老師,她治學(xué)嚴謹,學(xué)識淵博,視野廣闊,為我營造了一種良好的學(xué)術(shù)氛圍.置身其間,耳濡目染,潛移默化,使我不僅接受了全新的思想觀念,樹立了明確的學(xué)術(shù)目標,領(lǐng)會了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且還明白了許多待人接物與為人處世的道理.其嚴以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范,樸實無華、平易近人的人格魅力,與無微不至、感人至深的人文關(guān)懷,令人如沐春風(fēng),倍感溫馨.正是由于她在百忙之中多次審閱全文,對細節(jié)進行修改,并為本文的撰寫提