江蘇省常州市部分四星級高中高二下期中數(shù)學(xué)試卷文科

1、2014-2015學(xué)年江蘇省常州市部分四星級高中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1（5分）（2015春常州期中）計(jì)算i+i2+i2015的值為1考點(diǎn)： 虛數(shù)單位i及其性質(zhì)專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： 由于i2015=（i4）503i3=i再利用等比數(shù)列當(dāng)前n項(xiàng)和公式即可得出解答： 解：i2015=（i4）503i3=ii+i2+i2015=1故答案為：1點(diǎn)評： 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、周期性、等比數(shù)列當(dāng)前n項(xiàng)和公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題2（5分）（2015春常州期中）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，

2、1）考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念專題： 計(jì)算題分析： 首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分子和分母進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到最簡形式即復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)解答： 解：=，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）故答案為（0，1）點(diǎn)評： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，要寫點(diǎn)的坐標(biāo)，需要把復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，實(shí)部做橫標(biāo)，虛部做縱標(biāo)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)3（5分）（2015春常州期中）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：i（z+1）=3+2i，則z的虛部是3考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： 化簡已知復(fù)

3、數(shù)，由復(fù)數(shù)的基本概念可得虛部解答： 解：復(fù)數(shù)z滿足：i（z+1）=3+2i，z=1=1=1=23i1=13i，復(fù)數(shù)的虛部為：3，故答案為：3點(diǎn)評： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題4（5分）（2015春常州期中）設(shè)全集U=1，3，5，7，9，A=1，|a5|，9，UA=5，7，則a的值為2或8考點(diǎn)： 集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題專題： 常規(guī)題型分析： 根據(jù)題意，結(jié)合補(bǔ)集的性質(zhì)，可得兩相等集合，即得|a5|=3，解出a即可解答： 解：由于全集U=1，3，5，7，9，CUA=5，7，依據(jù)補(bǔ)集的性質(zhì)CU（CUA）=A則有1，3，9=1，|a5|，9，即|a5|=3，解得：a

4、=2或8故答案為：2或8點(diǎn)評： 本題考查了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算和集合相等，屬于基礎(chǔ)題5（5分）（2015春常州期中）命題“xR，x2x+10”的否定是考點(diǎn)： 命題的否定專題： 計(jì)算題分析： 根據(jù)命題的否定的規(guī)則進(jìn)行求解，注意“任意”的“否定”為存在；解答： 解：命題“xR，x2x+10”“任意”的否定為“存在”命題的否定為：，故答案為：點(diǎn)評： 此題主要考查命題的否定規(guī)則，是一道基礎(chǔ)題，注意常見的否定詞；6（5分）（2015春常州期中）設(shè)x是純虛數(shù)，y是實(shí)數(shù)，且2x1+i=y（3y）i，則|x+y|=考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： 設(shè)x=ai（aR，且a0）代入2x1+

5、i=y（3y）i，可得2ai1+i=y（3y）i，利用復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式即可得出解答： 解：設(shè)x=ai（aR，且a0）2x1+i=y（3y）i，2ai1+i=y（3y）i，1=y，2a+1=（3y），解得y=1，a=x+yi=i=則|x+y|=故答案為：點(diǎn)評： 本題考查了復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題7（5分）（2015春常州期中）已知關(guān)于實(shí)數(shù)x的兩個(gè)命題：p：0，q：x+a0，且命題p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1考點(diǎn)： 復(fù)合命題的真假專題： 簡易邏輯分析： 根據(jù)不等式的解法求出p，q的等價(jià)條件，然后利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論解答： 解：p：0（x+1）

6、（x2）0，解得x1，或x2，q：x+a0，解得xa，命題p是q的必要不充分條件，a1，即a1故答案為：a1點(diǎn)評： 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)求出p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵8（5分）（2015春常州期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論解答： 解：函數(shù)為奇函數(shù)，f（x）=f（x）即=，即（3x1）（x+a）=（3x+1）（xa）則3x2+（3a1）xa=3x2+（13a）xa，則3a1=13a，即3a1=0，解得a=；故答案為：；點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用

7、，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵9（5分）（2015春常州期中）將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列：則第n（n4）行從左向右的第3個(gè)數(shù)為n2n+5考點(diǎn)： 歸納推理專題： 推理和證明分析： 由三角形數(shù)陣，知第n行的前面共有1+2+3+（n1）個(gè)連續(xù)奇數(shù)，第n行從左向右的第3個(gè)數(shù)應(yīng)為2+31解答： 解：觀察三角形數(shù)陣，知第n行（n3）前共有1+2+3+（n1）=個(gè)連續(xù)奇數(shù)，第n行（n3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為2+31=n2n+5；故答案為：n2n+5點(diǎn)評： 本題從觀察數(shù)陣的排列規(guī)律，考查了數(shù)列的求和應(yīng)用問題；解題時(shí)，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用所學(xué)知識，來解答問題10（5分）（2015春常州期中）二維空間中

8、，正方形的一維測度（周長）l=4a（其中a為正方形的邊長），二維測度（面積）S=a2；三維空間中，正方體的二維測度（表面積）S=6a2（其中a為正方形的邊長），三維測度（體積）V=a3；應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超立方”的三維測度V=4a3，則其四維測度W=考點(diǎn)： 類比推理專題： 推理和證明分析： 根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測度的導(dǎo)數(shù)是底一維的測度，從而得到W=V，從而求出所求解答： 解：二維空間中，正方形的一維測度（周長）l=4a（其中a為正方形的邊長），二維測度（面積）S=a2；三維空間中，正方體的二維測度（表面積）S=6a2（其中a為正方形的邊長），三維測度（體積）V=

9、a3；應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超立方”的三維測度V=4a3，則其四維測度W=，故答案為：點(diǎn)評： 本題考查類比推理，解題的關(guān)鍵是理解類比的規(guī)律，解題的關(guān)鍵主要是通過所給的示例及類比推理的規(guī)則得出高維的測度的導(dǎo)數(shù)是低一維的測度，屬于基礎(chǔ)題11（5分）（2015春常州期中）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上是減函數(shù)，則使f（lnx）f（1）的x的取值范圍為（，e）考點(diǎn)： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： 函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（，0上是減函數(shù)，可得函數(shù)f（x）在0，+）上是增函數(shù)，由f（lnx）f（1），即f（|lnx|）f（1），利用單調(diào)性即可得出解

10、答： 解：函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在（，0上是減函數(shù)，函數(shù)f（x）在0，+）上是增函數(shù)，f（lnx）f（1），即f（|lnx|）f（1），|lnx|1，1lnx1，解得：xe實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，e），故答案為：點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，得到f（|lnx|）f（1）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題12（5分）（2015春常州期中）直線y=t與函數(shù)f（x）=的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長度的最小值為考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： 由題意得到A（t2，t），B（lnt，t），其中t2lnt，且t0，表示|AB|，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的

11、單調(diào)性，即可求出|AB|的最小值解答： 解：直線y=t與函數(shù)f（x）=的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，A（t2，t），B（lnt，t），其中t2lnt，且t0，|AB|=t2lnt設(shè)函數(shù)f（t）=t2lnt，f（t）=t，t0，令f（t）=0，解得t=1，當(dāng)f（t）0，即t1時(shí)，函數(shù)在（1，+）單調(diào)遞增，當(dāng)f（t）0，即0t1時(shí)，函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減，故t=1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為f（1）=，故線段AB的長度的最小值為故答案為：點(diǎn)評： 本題考查最值問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題13（5分）（2015春常州期中）如果函數(shù)y=a2x+2ax1（a0，a1）在區(qū)間

12、1，1上的最大值是14，則實(shí)數(shù)a的值為3或考點(diǎn)： 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： 令t=ax，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可解答： 解：設(shè)t=ax，則函數(shù)等價(jià)為y=f（t）=t2+2t1=（t+1）22，對稱軸為t=1，若a1，則0ta，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（a）=（a+1）22=14，即（a+1）2=16，即a+1=4或a+1=4，即a=3或a=5（舍），若0a1，則0at，此時(shí)函數(shù)的最大值為f（）=（+1）22=14，即（+1）2=16，即+1=4或+1=4，即=3或=5（舍），解得a=，綜上3或；故答案為：3或；點(diǎn)評： 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和

13、應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵14（5分）（2015春常州期中）已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=，若函數(shù)f（x）在（t，t+2）上的值域是，則實(shí)數(shù)t的值的集合為，2考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可解答： 解：函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽偶函數(shù)，若2x0，則0x2，則f（x）=f（x），即當(dāng)2x0，f（x）=，若x2，則x2，則f（x）=f（x），即當(dāng)x2，f（x）=，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2，由=得

14、x2=3，x=±，由=得x=3，由=得x=3，若函數(shù)的值域?yàn)?，則t0t+2即2t0，當(dāng)t=時(shí)，f（t）=，此時(shí)t+2=2，02，滿足函數(shù)的值域?yàn)?，若t+2=時(shí)，即f（t+2）=，此時(shí)t=2，20，滿足函數(shù)的值域?yàn)?，綜上t=或2，故答案為：，2點(diǎn)評： 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15（14分）（2015春常州期中）已知命題p：關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q：關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程4x2+

15、4（m2）x+1=0無實(shí)根命題“p或q”真，“p且q”假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)： 復(fù)合命題的真假專題： 簡易邏輯分析： 根據(jù)條件分別求出命題p，q的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可解答： 解：若方程x2+mx+1=0有兩不等的負(fù)根，則，解得m2即命題p：m2，（4分）若方程4x2+4（m2）x+1=0無實(shí)根，則=16（m2）216=16（m24m+3）0解得：1m3即命題q：1m3（8分）由題意知，命題p、q應(yīng)一真一假，即命題p為真，命題q為假或命題p為假，命題q為真（10分）或，解得：m3或1m2（14分）點(diǎn)評： 本題主要考查復(fù)合命題真假之間的關(guān)系以及應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題p，

16、q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵16（14分）（2015春常州期中）已知z是復(fù)數(shù)，均為實(shí)數(shù)，（1）求復(fù)數(shù)z（2）若復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： （1）設(shè)z=x+yi（x，yR），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出；（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出解答： 解：（1）設(shè)z=x+yi（x，yR），則z（1+2i）=（x+yi）（1+2i）=x2y+（2x+y）iR，則2x+y=0，則x+2y+2=0，由解得：，（2），在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，當(dāng)且僅當(dāng)：，解得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是點(diǎn)評： 本題

17、考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題17（14分）（2015春常州期中）已知集合A=，C=xR|x2+bx+c0（1）求AB；（2）若（AB）C為空集，（AB）C=R，求b，c的值考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算；并集及其運(yùn)算專題： 集合分析： （1）求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出兩集合的并集即可；（2）由題意得到x2+bx+c=0必有兩個(gè)不等實(shí)根，記為x1，x2（x1x2），表示出C，根據(jù)題意確定出x1，x2的值，即可求出b與c的值解答： 解：（1）A=（2，1），B=24，3），211，AB=（2，3）；（2）由題意知，方程x2+bx+c=0必

18、有兩個(gè)不等實(shí)根，記為x1，x2（x1x2），C=（，x1x2，+），由（AB）C為空集，得到x12，x23，由（AB）C=R，得到x12，x23，x1=2，x2=3，解得：b=1，c=6點(diǎn)評： 此題考查了交集及其運(yùn)算，并集及其運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵18（16分）（2015春常州期中）將一個(gè)長寬分別為2米和2k米（0k1）的鐵皮的四角切去相同的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長方體的盒子，記切去的正方形邊長為x（0xk），（1）若，求這個(gè)長方體盒子的容積的最大時(shí)的x的值；（2）若該長方體的盒子的對角線長有最小值，求k的范圍考點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用專題： 計(jì)算題；應(yīng)用題；

19、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： （1）化簡V=4（1x）（kx）x=4x3（1+k）x2+kx，x（0，k），從而求導(dǎo)，；從而確定函數(shù)的最大值即可；（2）記長方體的盒子的對角線長度為l米，從而可得，從而可得，從而解得解答： 解：（1）V=4（1x）（kx）x=4x3（1+k）x2+kx，x（0，k），；解得（舍去），；故函數(shù)V在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減；故這個(gè)長方體盒子的容積的最大時(shí)的x的值為（2）記長方體的盒子的對角線長度為l米，則，l有最小值，解得故k的范圍為（，1）點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題19（16分）（2015春常州期中

20、）已知函數(shù)f（x）=x2+|xa|+1，xR，（1）當(dāng)a=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)奇偶性的判斷專題： 分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析： （1）求出a=0時(shí)，f（x）的解析式，由偶函數(shù)的定義，即可判斷；（2）去絕對值，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，可得單調(diào)區(qū)間；（3）去絕對值，討論a的范圍，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2+|x|+1，定義域?yàn)镽，f（x）=（x）2+|x|+1=x2+|x|+1=f（x），則f（x）為偶函數(shù)；

21、（2）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=，當(dāng)x時(shí)，f（x）=（x+）2+遞增；當(dāng)x時(shí)，f（x）=（x）2+，遞減則f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）f（x）=，（）當(dāng)時(shí)，f（x）在上遞減，在上遞增，；（）當(dāng)時(shí)，f（x）在（，a）上遞減，在（a，+）上遞增，點(diǎn)評： 本題考查含絕對值函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及最值求法，注意去絕對值化為二次函數(shù)解決，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵20（16分）（2015春常州期中）已知函數(shù)，g（x）=ax（1）若直線y=g（x）是函數(shù)的圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：x1x22e2（取e為2.8，取ln2為0.7，取為1.4）考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性專題： 綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析： （1）求導(dǎo)數(shù)，利用直線y=g（x）是函數(shù)的圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；（