曲線擬合的理解和研究

1、 曲線擬合的理解和應(yīng)用 曹明軒 精儀學(xué)院 1014202029曲線擬合在我們的實(shí)驗(yàn)測(cè)試中，都會(huì)得到海量的數(shù)據(jù)。為了更好地了解這些數(shù)據(jù)或者從數(shù)據(jù)中，做出預(yù)測(cè)、判斷，給實(shí)驗(yàn)者提供重要的參考。我們必須對(duì)得到的數(shù)據(jù)做擬合，得到能充分反映數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律的函數(shù)。在所有的擬合方法之中，曲線擬合具有重要的應(yīng)用前景 。曲線擬合，俗稱拉曲線，是一種把既有數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法代入一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法?？茖W(xué)和工程問題可以通過諸如采樣、實(shí)驗(yàn)等方法獲得若干離散的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們往往希望得到一個(gè)連續(xù)的函數(shù)（也就是曲線）或者更加密集的離散方程與已知數(shù)據(jù)相吻合，這過程就叫做擬合。曲線擬合主要是可以分為三步：確定曲線擬合的函

2、數(shù)模型在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和社會(huì)實(shí)踐中,我們常常需要觀測(cè)很多數(shù)據(jù)的規(guī)律, 通過實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)（xi，yi）(i=1,2, ，N),其中xi是彼此不同的。我們希望用一類與數(shù)據(jù)本質(zhì)規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，y=f(x,c)來反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)f(x,c)。常稱作擬合模型，當(dāng)c在和x滿足中線性關(guān)系時(shí)，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。線性模型是回歸模型中最常見的一種，但在實(shí)際中，有時(shí)很難確定參數(shù)之間存在著何種關(guān)系，是線性還是非線性， 如果是非線性，那是多項(xiàng)式函數(shù)、 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，甚至是它們的復(fù)合函數(shù)，有時(shí)還需要分段分析，因

3、此在整個(gè)擬合過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是最困難的。對(duì)于擬合函數(shù)的模型確定，一般來說，主要有觀察法，近似法以及計(jì)算法。目前使用比較多的是觀察法。觀察法是利用數(shù)學(xué)工具對(duì)已有的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布，初步確定其最可能的函數(shù)關(guān)系，這種方法最大的特點(diǎn)是簡單直觀。確定法方程求解參數(shù)實(shí)際上確定法方程求解參數(shù)就是對(duì)對(duì)誤差平方和最小值的求解，假設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=0,1，.，m），為所有的次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求，使得 由于上式為多元函數(shù)，其最小值存在的必要條件是其對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)等于零，由此可得， j=0,1，.，n 即 j=0,1，.，n上式稱為法方程，通過該方程可求出唯一解ak（k=0,1，.

4、，n），從而確定擬合函數(shù)。關(guān)于，當(dāng)k=1時(shí)，為線性擬合；當(dāng)k1，為多項(xiàng)式擬合。如果函數(shù)模型為其他非線性函數(shù)，在整個(gè)求解過程中應(yīng)當(dāng)先將非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，再根據(jù)上面的過程計(jì)算。此外，上述過程也可以通過Matlab自帶的函數(shù)polyfit自動(dòng)計(jì)算。這為廣大工程技術(shù)人員的設(shè)計(jì)大大的減小了計(jì)算量。曲線擬合性能檢驗(yàn)最后，當(dāng)擬合曲線模型很難通過一般方法確定時(shí)，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實(shí)際計(jì)算后再進(jìn)行比對(duì)，最終選定較好的模型。替班來說，最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，有些文獻(xiàn)也通過相關(guān)系數(shù)R的值來判斷擬合的優(yōu)劣。使用舉例在摩擦試驗(yàn)中，當(dāng)量電壓為-285V時(shí)，伺服電機(jī)開啟后，時(shí)間與

5、速度的實(shí)際測(cè)試結(jié)果如表中所示，表中的數(shù)據(jù)量足夠大，可以利用這些數(shù)據(jù)來進(jìn)行擬合。得到擬合曲線后的好處是我們可以將物理問題數(shù)學(xué)化，如果模型選的好，該數(shù)學(xué)模型就可以指導(dǎo)我們的工作，為我們的設(shè)計(jì)提出指導(dǎo)依據(jù)?，F(xiàn)在我們就利用MATLAB對(duì)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，首先將數(shù)據(jù)輸入到matlab中，并去掉其中的壞點(diǎn)（明顯不符合規(guī)律的點(diǎn)，這些點(diǎn)是由于一起的誤差產(chǎn)生的），的數(shù)據(jù)點(diǎn)的圖像：根據(jù)力學(xué)物理知識(shí)，當(dāng)加速度一定時(shí)，時(shí)間和速度是成一定比例的，問題是不知道加速度如何變化，所以時(shí)間和速度并不一定是線性關(guān)系，另外從上圖中看不出明顯的數(shù)學(xué)關(guān)系，所以對(duì)本體進(jìn)行了線性，多項(xiàng)式二次，三次，五次，冪函數(shù)，對(duì)函數(shù)曲線擬合，并比

6、較最優(yōu)擬合。下面是各種擬合的結(jié)果：1.線性擬合得到線性擬合函數(shù)：y=1.352x+0.0753誤差平方和 e=0.03932.多項(xiàng)式二次擬合得到線性擬合函數(shù)：-0.2054x2差平方和 e=0.0033.多項(xiàng)式三次擬合得到線性擬合函數(shù)：0.8401x3+2.386x2-2.5048x+0.0155差平方和 e=0.00294. 對(duì)數(shù)函數(shù)擬合， 得到的模型函數(shù)為y=0.2028logx+0.7539 誤差平方和e=0.08855. 冪函數(shù)擬合 得到的模型函數(shù)為1.3647x0.8339 誤差平方和e=0.0273最后經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，二次擬合和三次擬合誤差平方和最小，因此這種擬合為這幾種當(dāng)中最佳的方案。但是多項(xiàng)式擬合的擬合次數(shù)越高，計(jì)算量則越大，所以二次擬合更為合適?？偨Y(jié) 物理模型的建立離不開數(shù)學(xué)工具，物理過程的數(shù)學(xué)化是對(duì)整個(gè)研究過程的深化，數(shù)學(xué)模型的建立將是整個(gè)物理過程清晰化，完整化。曲線擬合則是一種對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)