概率論重點題

1、概率統(tǒng)計重難點題1已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A=其中一個為女孩，B=至少有一個男孩，樣本點總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.2已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A=此人是男人，B=此人是色盲，則由貝葉斯公式 3在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3

2、個球中有i個新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有 4某保險公司把被保險人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 31.設(shè)隨機(jī)變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=-2lnX的分布函

3、數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時當(dāng)1<y<e時當(dāng)ye時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0<X<1）=1知當(dāng)z0時，當(dāng)z>0時， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為5設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y0時，當(dāng)0<y<1時， 當(dāng)y1時，故Y的密度函數(shù)為6設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題11圖【解】 所以 7設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如圖，SD=，故（X

4、，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 8某車間有同型號機(jī)床200部，每部機(jī)床開動的概率為0.7，假定各機(jī)床開動與否互不影響，開動時每部機(jī)床消耗電能15個單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時開動的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時開動的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可滿足要求.令X表同時開動機(jī)床數(shù)目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.9某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的

5、血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 10. 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨立，且服從同一分布.（1） 求參加

6、會議的家長數(shù)X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11.設(shè)總體X服從二項分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計.【解】因此np=所以p的矩估計量 12.設(shè)總體X的密度函數(shù)f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參

7、數(shù)的矩法估計.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計量為 13.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計.（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以的極大似然估計量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,n.由知所以的極大似然估計量為 14. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.1082).現(xiàn)在測了5爐鐵水，其含碳量（%）分別為4.28 4.40 4.42 4.35 4.37問若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無顯著性變化（=0.05）?【解】所以拒絕H0，認(rèn)為總體平均值有顯著性變化.15. 某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（%）經(jīng)測定為：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25設(shè)含鎳量服從正態(tài)分布，問在=0.01下能否接收假設(shè)：這批礦砂的含鎳量為3.25.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這批礦砂的含鎳量為3.25.16. 在正常狀態(tài)下，某種牌子的香煙一支平均1.1克，若從這種香