求一階微分方程積分因子的一些方法

1、求一階微分方程積分因子的一些方法付開祥 指導(dǎo)老師：李拓（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計學(xué)院 甘肅張掖 734000）摘 要 本文給出了求一階微分方程積分因子的一些方法，從而解決了求某些一階微分方程通解的問題對一些特殊類型的方程分別給出了求積分因子的特殊方法，并給出實例說明用積分法求解微分方程的具體方法關(guān)鍵詞 恰當(dāng)方程；積分因子；分組組合法；比較系數(shù)法；待定系數(shù)法中圖分類號 H007.1For first order differential equation of integral factor some methodsAbstract: This article gives a new defin

2、ition of complex integrating factor about first order ordinary differential equation and a new existence theorem of a type of integral factor and calculation formual, and the resuct in this paper amplifies the conclusions in the relevant referenceKey words:Properly equation；Integral factor；Group gro

3、up legal；More coefficient method；Undetermined coefficient method1 引言 對于一個恰當(dāng)微分方程可以通過積分的方法求出它的通解，而一個非恰當(dāng)微分方程是不能通過積分求解的，因此能否將一個非恰當(dāng)常微分方程轉(zhuǎn)化為一個恰當(dāng)微分方程就有很大意義1,2,3 給出了積分因子的定義和求法定義1 我們可以將一階方程寫成微分方程的形式 (1)如果方程(1)左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即則稱該方程為恰當(dāng)微分方程定義2 如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得為一恰當(dāng)微分方程，則稱為方程的積分因子引理 方程(1)有只與x有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為引理

4、 方程(1)有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是，且積分因子為本文將給出求一階微分方程積分因子的另外一些方法，從而使解決求某些非恰當(dāng)微分方程通解的問題簡單化 2 主要結(jié)論及其證明定理 若方程性有兩個積分因子和 ，且不恒等于常數(shù)，則該方程的通解為= （c任意常數(shù)） 證明 是方程的積分因子，故可求得可微函數(shù)，使得則 是方程的解根據(jù)結(jié)論，我們得到這里是的可微函數(shù)由上式可得，即 由于我們已經(jīng)知道 是方程的解故也是方程的解變形上式后，這就證明了 是方程通解定理 方程 具有形如 的積分因子的充要條件是 證明 必要性 若方程有形如的積分因子，則是恰當(dāng)微分方程從而令，則 ,所以 變形為即因此 充分性 顯然成立所

5、以，當(dāng)時，可以求出，所以方程具有形為的積分因子的充要條件為定理 方程 具有形如 的積分因子的充要條件是 證明 令，則，方程 具有的積分因子的充要條件是即當(dāng)且僅當(dāng)時，可以求出的表達式所以，方程具有形為的積分因子的充要條件為3 應(yīng)用舉例例 求方程的解.解 由于，則，因此該方程不是恰當(dāng)微分方程因為，所以方程有形如的積分因子將乘方程兩邊，得到即因而，通解為 ,（c任意常數(shù)）例 求方程的解解 這里，方程是非恰當(dāng)?shù)囊驗椋苑匠逃蟹e分因子,以乘方程兩邊得到,因此方程的通解為例 求方程的解解 這里， ， ，因此方程是非恰當(dāng)?shù)囊驗?，所以方程有積分因子 ,以乘方程兩邊得，即 ，于是方程的通解為致謝 感謝李老師的悉心指導(dǎo)和幫助！ 參 考 文 獻1 葉產(chǎn)謙常微分方程講義M第二版北京：高等教育出版社，19882 王柔壞,伍桌群常微分方程講義M北京：人民教育出版社，19793 李瑞遐應(yīng)用微分方程M上海：華東理工大學(xué)出版社，20054 王高雄常