構(gòu)造法裂項相消法——學(xué)生版

1、求數(shù)列通項：構(gòu)造法類型1 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，化為等比數(shù)列解決。類型2 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，B，C，化為等比數(shù)列解決。 類型3 形如的數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造，代入遞推公式求出A，B，C，化為等比數(shù)列解決。 1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例1.設(shè)數(shù)列的前項的和，.求通項；例2： 已知=2，試求的通項公式.例3： 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：例4： 數(shù)列中前n項的和，求數(shù)列的通項公式.例5. 已知數(shù)

2、列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用累加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.類型4 形如（其中p，q均為常數(shù)）的數(shù)列的遞推公式。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足例6. 已知數(shù)列中，,，求。例7： 數(shù)列中，且，（nN*），求通項公式.3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.例8： 數(shù)列中，前n項的和，求.4、構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.例10： 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.例11： 已知數(shù)列中，n2時

3、，求通項公式.求數(shù)列前n項之和：裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。適用于其中是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項為：；2）。（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消 求和）常見裂項公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常見放縮公式：.例12 （2010年東城二模19改編）已知數(shù)列的前項和為，設(shè)（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列滿足，求。例13 （2010四川）已知數(shù)列滿足=0，=2，且對任意m、nN*都有（1） 求，；（2）設(shè)(nN*),證明：bn是等差數(shù)列；（3）設(shè)(q0，nN*),求數(shù)列cn的前n項和Sn例14 設(shè)數(shù)列an的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(n=2