橢圓講義及例題

1、7.橢圓1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。.注意：若，則動點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動點(diǎn)的軌跡無圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 。 3、橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍

2、：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）： 假設(shè)已知橢圓方程（），且已知橢圓的準(zhǔn)線方程為

3、，試推導(dǎo)出下列式子：（提示：用三角函數(shù)假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)4、橢圓的另一個定義：到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。即上圖中有5、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，軸長長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，一般而言：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點(diǎn)的連線及兩焦點(diǎn)連線段的中垂線；橢圓都有四個頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是曲線與它本身的對稱軸的交點(diǎn)；離心率確定了橢圓的形狀（扁圓形狀），當(dāng)離心率越接近于0，橢圓越圓；當(dāng)離心率越接近于1時，橢圓越扁。6.直線與橢圓的位置關(guān)系1.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后通過判別式來判斷直

4、線和橢圓是否相交、相切或相離。2.消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)。7.橢圓方程的求解方法 1.要學(xué)會運(yùn)用待定系數(shù)法來求橢圓方程，即設(shè)法建立或者中的方程組，要善于抓住條件列方程。先定型，再定量，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）或（）；或者不必考慮焦點(diǎn)的位置，直接把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為 或者 mx2+ny2=1 （），這樣可以避免討論及繁雜的計算，當(dāng)已知橢圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo)時這種解題更方便。但是需要注意的是m和n（或者）誰代表，誰代表要分清。不要忘記隱含條件和方程，例如：，等等。不同的圓錐曲線有不同的隱含

5、條件和方程，切勿弄混。 2.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想圖形，注意數(shù)形結(jié)合法的使用，切勿漏掉一種情況。課上例題： 方程化簡的結(jié)果是 已知點(diǎn)A（4,0）和B（2，2），M是橢圓上的一動點(diǎn)，則|MA|+|MB|的最大值是 3. 求與橢圓共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的橢圓方程。4. 已知橢圓，焦點(diǎn)為、，是橢圓上一點(diǎn)若，求的面積5. 已知橢圓，M為橢圓上一動點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，求線段 的中點(diǎn)P的軌跡方程。橢圓課后練習(xí)1. 已知動圓過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程2.已知橢圓方程，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）3.以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程4. 求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程5. 已知B是橢圓E：上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且BF軸，B（1，）。（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)和是長軸的兩個端點(diǎn)，直線垂直于的延長線于點(diǎn)D，|OD|=4，P是上異于點(diǎn)D的任意一點(diǎn)，直線交橢圓E于