2011高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案(13)不等式

1、2011 高考二輪復(fù)習(xí)備考資料,由株洲數(shù)學(xué)家教劉平老師整理,如需要更好更全的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考資料,請上百度,輸入株洲數(shù)學(xué)家教劉平查詢!第 13 章 不等式【專題要點專題要點】 （1）不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)是不等式的理論基礎(chǔ)，是證明不等式和求解不等式的主要依據(jù)，也是高考的重要內(nèi)容，在高考中一般不單獨(dú)命題，而是以其他知識（如函數(shù)、集合、充要條件等）為載體進(jìn)行考查，主要體現(xiàn)它的基礎(chǔ)性和工具性。若直接考查，則常以選擇題和填空題形式出現(xiàn) 高考資源網(wǎng)(2)不等式的解法 要理解“三個二次”之間的關(guān)系，熟練掌握一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法，這是解其它不等式的基礎(chǔ)。會解含參數(shù)的一元二次不等式會解絕對值

2、不等式,能將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）求解。(3)簡單的線性規(guī)劃 能從實際問題中抽象出二元一次不等式組。 理解二元一次不等式組表示平面的區(qū)域，能夠準(zhǔn)確的畫出可行域。能夠?qū)嶋H問題抽象概括為線性規(guī)劃問題，培養(yǎng)應(yīng)用線性規(guī)劃的知識解決實際問題的能力。高考資源網(wǎng)(4)均值定理 理解均值不等式的概念，掌握均值不等式的證明過程。能夠利用均值不等式求函數(shù)的最值問題。能利用均值不等式解答實際問題。(5)不等式的綜合應(yīng)用 能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì)、定理，不等式的解法及不等式的證明有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實際問題?！究季V要求考綱要求】(1) 了解日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式的有關(guān)概念及其分類；(2) 掌握不等式的性

3、質(zhì)及其應(yīng)用；明確各個性質(zhì)中結(jié)論成立的前提條件。(3) 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖。(4) 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；了解線性規(guī)劃的意義并會簡單應(yīng)用。(5) 掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單應(yīng)用。(6) 掌握用比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式?！局R縱橫知識縱橫】 【教法指引教法指引】1.從近幾年高考題目來看，不等式的性質(zhì)和解不等式問題多以一個選擇題的形式出現(xiàn)，且

4、多與集合、簡易邏輯、函數(shù)知識相結(jié)合，難度較低；在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)時應(yīng)高度重視，對每一條性質(zhì)，要弄清楚條件和結(jié)論，注意條件加強(qiáng)和放寬后，條件和結(jié)論之間發(fā)生的變化；記住了不等式運(yùn)算法則的結(jié)論形式，還要掌握運(yùn)算法則的條件，避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤，掌握證明不等式性質(zhì)的方法，可以進(jìn)一步提高邏輯推理能力,在解不等式時,可結(jié)合函數(shù)的定義域,值域和單調(diào)性.高考資源網(wǎng)2.均值不等式是歷年高考的重點考查內(nèi)容，考查方式多樣，在客觀題中出現(xiàn)，一般只有一個選擇或填空，考查直接，難度較低；在解答題中出現(xiàn)，其應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且常考常新，難度較高,利用均值不等式解決問題的關(guān)鍵是要注意定理成立的三個

5、條件“一正二定三相等”. 高考資源網(wǎng)3.不等式證明也是高考的一個重點內(nèi)容，且多以解答題的一個分支出現(xiàn)，常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合，題目往往非常靈活，難度高。線性規(guī)劃問題是近幾年高考的一個新熱點，在考題種主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，當(dāng)然，也可以實際問題進(jìn)行考查?？疾榱藘?yōu)化思想在解決問題的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從而形成解決簡單實際問題的能力，進(jìn)一步考查了考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。4 線性規(guī)劃等內(nèi)容已成為高考的熱點，在復(fù)習(xí)時要給于重視,另外，不等式的證明、繁瑣的推理逐漸趨于淡化,在復(fù)習(xí)時也應(yīng)是注意5.要注意利用導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系來研究函數(shù)的性質(zhì)和求最值問題.3 預(yù)計在 2010 年高

6、考中，對不等式的性質(zhì)和解不等式特別是含參數(shù)的不等式的解法，仍會繼續(xù)滲透在其他知識中進(jìn)行考查。對不等式的應(yīng)用，突出滲透數(shù)學(xué)思想方法和不等式知識的綜合應(yīng)用，特別是求最值問題、不等式證明問題，將繼續(xù)強(qiáng)調(diào)考查邏輯推理能力，尤其是不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角、解析幾何的綜合題型將會繼續(xù)出現(xiàn)在高考的中、高檔題中,這也是我們復(fù)習(xí)本章的重中之重. 高考資源網(wǎng)無理不等式不 等 式不等式的性質(zhì)均值不等式不等式的解法比較法綜合法分析法放縮法反證法換元法函數(shù)法導(dǎo)數(shù)法不等式的證明有理不等式超越不等式絕對值不等式一元一次不等式(組)一元二次不等式(組)整式高次不等式(組)分式高次不等式(組)指數(shù)不等式(組)對數(shù)不等式(組)三

7、角不等式(組)不等式的應(yīng)用函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)性取值范圍問題最值問題方程根的分布數(shù)列不等式、函數(shù)不等式的證明實際應(yīng)用問題線性規(guī)劃【典例精析典例精析】 考點考點 1 不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)例 1（1）（2009 安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件高考資源網(wǎng)【解析】易得abcd 且 且時必有acbd .若acbd 時，則可能有adcb 且 且，選 A?！敬鸢浮緼（2） （2009 四川卷文）已知a，b，c，d為實數(shù)，且cd.則“ab”是“acbd”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條

8、件 D. 既不充分也不必要條件【答案答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析解析】顯然，充分性不成立.又，若acbd和cd都成立，則同向不等式相加得ab點評：這類題目主要考察不等式的性質(zhì)成立的條件，以及條件與結(jié)論的充要關(guān)系.考點考點 2 2 比較大小比較大小例例 2 2 (2006 陜西卷)已知函數(shù)2( )24f xaxax(a0),若12xx, 120 xx, 則( )A.12( )()f xf x B.12( )()f xf x C.12( )()f xf x D.1()f x與2()f x的大小不能確定 分析分析 本題是比較兩個數(shù)的大小關(guān)系.比較法是比較兩個數(shù)的大小的最常

9、用的方法. 解法解法 1 1： 22121122()()(24)(24)f xf xaxaxaxax2212121212()2 ()()(2)a xxa xxa xxxx122 ()0a xx,故12()()f xf x.解法解法 2 2：函數(shù)2( )24f xaxax (a0)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為1x ，a0， x1+x2=0，x1與x2的中點為 0，x1x2， x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離， f(x1)f(x2) ，選A點點評: 在比較實數(shù)大小的過程中,要遵循異中求同,即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分的規(guī)律.一般地,在數(shù)的大小比較中,常用

10、的有以下方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和 1 比較大??；(2)找中間量,往往是 1,在這些數(shù)中,有的比 1 大,有的比 1 ??；,(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等. 高考資源網(wǎng)考點考點 3 解不等式解不等式高考要求掌握簡單不等式的解法.解不等式是研究函數(shù)和方法的重要工具，是求函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、求反函數(shù)和參數(shù)的取值范圍的重要手段， “不等式的變形”是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一，它滲透到高中數(shù)學(xué)的每個角落中（如函數(shù)、方程、集合、數(shù)列、平面向量、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)等） ，其基本思

11、想是轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式其中準(zhǔn)確熟練求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，解一元高次不等式的有效方法是序軸法.此外,要重視數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的運(yùn)用.不等式的解法是高考必考內(nèi)容，直接考查主要以選擇題、填空題為主，這類題小巧靈活，?？汲Ｐ?；但有時也以解答題形式出現(xiàn)，主要考查含參數(shù)的不等式的解法.間接考查則更多，常以工具作用出現(xiàn)在函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、平面向量等問題之中,考查時重點考查一元二次不等式、分式不等式、含絕對值不等式，但偶爾也會涉及無理不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式的解法高考資源網(wǎng)例 3(2009 山東卷理)

12、不等式0212xx的解集為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:原不等式等價于不等式組221 (2)0 xxx 或12221 (2)0 xxx 或12(21)(2)0 xxx不等式組無解,由得112x,由得112x ,綜上得11x ,所以原不等式的解集為 | 11xx . 答案: | 11xx 點評:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據(jù)絕對值的定義分段去掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想.但若兩邊同時平方則更為簡單.例 4（2008 天津卷 8）已知函數(shù)2,0( )2,0 xxf xxx ，則不等式2( )f xx的解集是 A（

13、A） 1,1 （B） 2,2 （C） 2,1 （D） 1,2【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為不等式組220022xxxxxx或,可解得11x ,故選A.點評:分段函數(shù)問題是高考中的熱點問題.例 5（2009 天津卷理）ab 10,若關(guān)于 x 的不等式2()xb2()ax的解集中的整數(shù)恰有 3 個，則高考資源網(wǎng)（A）01 a （B）10 a （C）31 a （D）63 a解析：由題得不等式2()xb2()ax即02)1(222 bbxxa，它的解應(yīng)在兩根之間，故有04)1(4422222 baabb，不等式的解集為11 abxab或110 abxab。若不等式的解集為11 abxab，又由ab 10得1

14、10 ab，故213 ab，即312 ab w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 點評:本小題考查解一元二次不等式.考點考點 4 求最值求最值高考資源網(wǎng)例 6（2009 天津卷理）設(shè)0,0.ab若11333abab是與的等比中項，則的最小值為 A 8 B 4 C 1 D 14【解析】因為333 ba，所以1 ba，4222)11)(11 baabbaabbababa，當(dāng)且僅當(dāng)baab 即21 ba時“=”成立，故選擇 C【點評】本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力。例 7（2009 重慶卷文）已知0,0ab，則112 abab的最小值是（ ）A2B2 2

15、C4D5解析:因為11112222()4abababababab當(dāng)且僅當(dāng)11ab，且1abab，即ab時，取“=”號。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】C 高考資源網(wǎng)例 8 （2009 重慶卷理）不等式2313xxaa對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）A(, 14,) B(, 25,) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C1,2 D(,12,)【解析】因為不等式2313xxaa對任意實數(shù)x恒成立,故2max(31)3xxaa,即22343041aaaaaa 即，解得或【答案】A點評點評:恒成立問題是高考考試的熱點問題,常將其轉(zhuǎn)化為最值問題去處理.不等式有解、無

16、解與恒成立的關(guān)系如下( )f x有最大值或最小值)：( )af x有解min( )afx；( )af x有解max( )afx.( )af x無解max( )afx；( )af x無解min( )afx.( )af x恒成立max( )afx；( )af x恒成立min( )afx.考點考點 5 線性規(guī)劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃是高考熱點之一線性規(guī)劃是高考熱點之一,考查內(nèi)容設(shè)計最優(yōu)解考查內(nèi)容設(shè)計最優(yōu)解,最值最值,區(qū)域面積與形狀等區(qū)域面積與形狀等,通常通過畫可行域通常通過畫可行域,移線移線,數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合等方法解決問題等方法解決問題.例例 7（2009 天津卷理）設(shè)變量 x，y 滿足約束條件：3123

17、xyxyxy .則目標(biāo)函數(shù) z=2x+3y 的最小值為（A）6 （B）7 （C）8 （D）23解析：畫出不等式3123xyxyxy 表示的可行域，如右圖，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 讓目標(biāo)函數(shù)表示直線332zxy 在可行域上平移，知在點 B 自目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組 323yxyx得)1 , 2(，所以734min z，故選擇 Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3q x = -2x3+7h x = 2x-3g x = x+1f x = -x+3AB例 8（2009 福建卷文）在平面直角坐標(biāo)系中，若

18、不等式組101010 xyxaxy （為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于 2，則a的值為高考資源網(wǎng)A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析解析 如圖可得黃色即為滿足010101yaxyxx的可行域，而與的直線恒過（0，1） ，故看作直線繞點（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng) a=-5 時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當(dāng) a=1 時，面積是1；a=2 時，面積是23；當(dāng) a=3 時，面積恰好為 2，故選 D.例 9（2009 四川卷理）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 A 原料 3 噸、B 原料 2 噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A 原料 1 噸、B 原料 3 噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3 萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13 噸，B 原料不超過 18 噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12 萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)x、y噸，可使利潤z最大，故本題即已知約束條件 001832133yxyxyx，求目標(biāo)函數(shù)yxz35 的最大值，可求出最優(yōu)解為 43yx，故271215max z，故選擇 D?？键c考點 6 不等式的證明不等式的證明高考要求掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.不等式證明是高中