概率結課論文概率論在統(tǒng)計物理學中的應用

1、概率論在統(tǒng)計物理學中的應用作者：尹航（英才學院、土木工程專業(yè)、1236007班、學號6123310701）摘要宏觀物體是由大量微觀粒子所構成的，而微觀粒子在永不停息的做無規(guī)則熱運動。由于微觀粒子的大量和無規(guī)則特點，無法對任意單獨或固定數(shù)量的粒子進行討論。而統(tǒng)計物理學正是采用概率論及數(shù)理統(tǒng)計的方法，認為宏觀物理量是微觀物理量的統(tǒng)計平均值，由此建立了宏觀與微觀量間關系。本文主要展示和分析了概率統(tǒng)計所建立的模型在“伽爾頓模板實驗”、“理想氣體的溫度公式和壓強公式”、“麥克斯韋氣體分子速率分布律”和“M-B分布”這四個重要的統(tǒng)計物理實驗及定律中的使用，體現(xiàn)了概率論在統(tǒng)計物理學發(fā)展過程中起到的巨大作用。

2、關鍵詞概率統(tǒng)計；統(tǒng)計物理學；伽爾頓模板實驗；麥克斯韋氣體分子速率分布律；理想氣體的溫度公式和壓強公式；“M-B分布”引言在本學年大學物理的學習過程中，統(tǒng)計物理學以它研究對象的特殊性和概率統(tǒng)計模型的廣泛應用而區(qū)別與其他學科的章節(jié)。其中很多問題的解答都可以歸結為概率模型的使用并應用概率論和隨機過程的理論及方法加以研究。統(tǒng)計物理學正是根據(jù)對物質微觀粒子統(tǒng)計特性的認識，用概率統(tǒng)計的方法，對由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質及宏觀規(guī)律做出微觀解釋。下面我們以“伽爾頓模板實驗”、“麥克斯韋氣體分子速率分布律”、“理想氣體的溫度公式和壓強公式”和 “M-B分布”為例，說明概率統(tǒng)計在統(tǒng)計物理中的應用。一、伽爾

3、頓模板實驗如下圖（1）所示，在一塊豎直的木板上有規(guī)律地排列著許多釘子，模板的下端被隔成許多等寬的狹槽，從頂部中央的漏斗形入口處可投入小球，板前覆蓋玻璃，以使小球留在狹槽內(nèi)，這個裝置叫做伽爾頓板。如果從入口投入一個小球，小球在下落過程中，將與若干個釘子相碰撞而不斷地改變其運動方向，經(jīng)過多次碰撞后會落入最下面的一個槽中。至于小球會落入哪個槽中是無法預測的，這是一個無規(guī)則的偶然事件，成為隨機現(xiàn)象。隨著投入的小球越來越多。則可觀察到小球的分布總會呈現(xiàn)固定的趨勢。對最終的結果進行理論推導：小球從上落入小槽途中與釘子相碰的次數(shù)都是相等的，設為 N，小球每次與釘子相碰后，它可能向左也可能向右運動。由釘子排列

4、是左右對稱的 ，則小球向右運動的幾率p和向左運動的幾率q是相等的，即p=q=1/2。 由二項式分布可知 ，小球經(jīng) N 次碰撞落入某槽過程中向右運動 n 次的幾率為：P(n)= 【3】及若以正中間的槽為0號槽，則小球落入距中間向右走n個槽的概率為P(n)。而由于裝置的左右對稱性，使得小球落入距中間向左走第n個槽的概率也為P(n)。由P(n)表達式的特點，小球落入槽的結果近似服從以中間槽為對稱軸的正態(tài)分布。圖（2），（3），（4）為實驗的一些效果圖。(效果圖及統(tǒng)計誤差來自網(wǎng)絡實驗數(shù)據(jù))當小球個數(shù)為80時，統(tǒng)計圖為圖1：誤差為：當小球個數(shù)為200時，統(tǒng)計圖為圖3：誤差為： 當小球個數(shù)為5000時，統(tǒng)

5、計圖為圖4：誤差為：從實驗中可以看到，隨著投入的小球數(shù)量的增多，看到落在各槽中的小球數(shù)目是不相等的，靠近入口槽內(nèi)的小球較多，離入口越遠的槽內(nèi)小球的數(shù)目越少?？梢园研∏虬床鄣姆植加霉P在玻璃板上畫出一條曲線表示。當小球數(shù)目較多時，重復試驗發(fā)現(xiàn)，每次得到的分布曲線近似重合。這個實驗說明，個別粒子的運動是無規(guī)則的、偶然的，大量粒子的運動是確定的、必然的，遵從一定的規(guī)律。（枷爾頓模板實驗應用了二項分布和正態(tài)分布的一些性質來進行實驗）由伽爾頓模板實驗結論：“個別粒子的運動是無規(guī)則的、偶然的，大量粒子的運動是確定的、必然的，遵從一定的規(guī)律”。我們可以進行對下面幾個由概率統(tǒng)計模型推出的統(tǒng)計物理學中微觀狀態(tài)氣體

6、分子定律。二、 麥克斯韋氣體分子速率分布律分子在做熱運動時，它們的分布是雜亂無章的，它們之間的相互碰撞是隨機的，因分子的不斷碰撞，它們的速度不可能保持整齊劃一，氣體分子運動速度的大小和方向的變化都是隨機的。對每個分子而言。其某一時刻具有的速度是偶然的，但大量分子整體運動遵循統(tǒng)計規(guī)律。麥克斯韋導出了在平衡態(tài)下，理想氣體滿足能量為的氣體分子概率密度與1成反比例的指數(shù)關系：（其中A是歸一化常數(shù)）。由概率密度歸一化條件得：（其中是氣相體積元，滿足=）。歸一化積分利用正態(tài)分布積分公式， 得歸一化常數(shù)。將A值代入，定義速度為v的分子概率密度為：綜上，得到了函數(shù)是平衡態(tài)理想氣體中分子按速率分布的概率密度函數(shù)

7、，稱為麥克斯韋氣體分子速率分布律， 表示速率附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子數(shù)的比例。例如，若氣體總分子數(shù)為，則速率附近速率間隔內(nèi)的分子數(shù)是。其函數(shù)曲線如圖1所示: T1 O O 圖1 圖2 除滿足歸一化條件外，函數(shù)還具有以下特點： （1） ， ； （2）令=0， 得最概然速率vp，即取取最大值時的速率：如圖1所示。 （3）當氣體溫度上升時，或用分子質量較小的氣體代替分子質量較大的氣體做實驗，的函數(shù)曲線將右移并變得平緩，如圖2所示。（麥克斯韋氣體分子速率分布律的推導利用概率密度函數(shù)的特征及歸一化條件）三、 理想氣體的溫度公式和壓強公式運用概率統(tǒng)計的方法推導兩個公式：溫度公式和壓強公式，以

8、加深對理想氣體和統(tǒng)計方法的理解。1.溫度公式由連續(xù)型隨機變量的期望求法，理想氣體分子平均平動動能是。將本文之前求得的計算公式代入上式，做分部積分，得到溫度公式： =。它表明溫度是氣體分子熱運動平均平動動能的量度，這就是溫度的微觀意義。上式把溫度這個宏觀量與氣體分子平動動能這個微觀量的平均值聯(lián)系了起來，是統(tǒng)計平均方法的典型體現(xiàn)。 2.壓強公式如果氣體分子與容器壁碰撞，它的動量將改變，同時給器壁以作用力。 大量分子的密集碰撞就形成了對器壁的壓力。由理想氣體宏觀狀態(tài)下壓強壓強公式：。（p=F/S=I/t*S，則壓強是器壁單位面積上單位時間內(nèi)，所有與之發(fā)生碰撞的氣體分子的動量該變量之和）?，F(xiàn)在運用微觀

9、狀態(tài)大量氣體分子密集碰撞器壁這個模型來推導上式：如右圖所示，設質量為的氣體分子以速率與器壁發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后分子動量增量為。按照麥克斯韋氣體分子速率分布律，設n為氣體分子總數(shù)量。則有單位體積中速率在范圍內(nèi)的氣體分子數(shù)是。由于氣體分子向各個方向運動的概率相同，單位體積中速率在范圍內(nèi)的分子只有個分子射向圖中右邊的器壁。 由于分子之間的碰撞是彈性的，碰撞只是使分子交換該方向的速度，對射向器壁的平均分子數(shù)無影響。則單位時間內(nèi)與器壁單位面積發(fā)生碰撞的分子數(shù)目是v，碰撞后這些分子動量的增量是。積分上式，得。而這個公式中p，平均值為氣體分子平均平動動能是微觀量，而T是氣體溫度是微觀量，此壓強公式成功聯(lián)系

10、起微觀量與宏觀量。（理想氣體的溫度公式和壓強公式用到了連續(xù)型隨機變量期望的求解）四、物理統(tǒng)計規(guī)律之麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計分布（M-B分布） 麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計分布是研究近獨立經(jīng)典粒子按能量的最概然分布。每個量子態(tài)中可容納的粒子數(shù)不受限制，先討論2個經(jīng)典粒子放在3個量子態(tài)中的可能分布，這種情況下，可能的占據(jù)方式有32=9種。以此推廣，Ni個彼此可以區(qū)分的粒子占據(jù)gi個量子態(tài)的可能方式有giNi種。根據(jù)概率的乘法原理，N1，N2，Ni，個粒子分別占用能級的可能占據(jù)方式共有igiNi種。由于N個粒子是可以區(qū)分的，N個粒子分別為N1，N2，Ni個粒子的組合方式也可能有很多種。從N個粒子中取出N1個

11、粒子放到能級中去，粒子的組合方式數(shù)為 ; 在余下的N-N1個粒子中取出2個粒子放入能級中去，粒子的組合方式數(shù)為 ; 以此類推，于是可能出現(xiàn)的粒子占據(jù)方式總數(shù)為。而求經(jīng)典粒子按能量的最概然分布就是求極大值的分布情況。統(tǒng)計物理學中，對于費米子的費米-狄拉克統(tǒng)計（F-D分布）、對于波色子的玻色-愛因斯坦統(tǒng)計（B-E分布）和對于經(jīng)典粒子的麥克斯韋-波爾茲曼（M-B）是三種重要的統(tǒng)計規(guī)律，而它們的得出都與概率論與數(shù)理統(tǒng)計有著密不可分的關系。（M-B分布的推導中應用了超幾何分布的組合方式數(shù)以及概率分布情況）五、概率論與統(tǒng)計物理物理學家將數(shù)學中的統(tǒng)計和概率的方法引入分子物理學，建立了統(tǒng)計物理學，為微觀狀態(tài)下的物理學帶來的長足的發(fā)展。概率論也為枝繁葉茂的物理大廈增添的自己的一份磚瓦。而這些更是體現(xiàn)了物理與數(shù)學之間密切的聯(lián)系，和學科交叉的重要性。對于我們，在其他學科的學習中牢固的掌握概率論及相關知識可以使我們變得更加準確與現(xiàn)實。而在實際生活中概率統(tǒng)計更是可以幫助我們分析各種規(guī)律的變化，如經(jīng)濟的增長、學生成績的起伏等。所以無論概率論或者統(tǒng)計物理，它們的發(fā)展都為我們的生活帶來著方便。參考文獻:1