有關(guān)類比推理一個例子與證明

1、類比推理的教學(xué)案例分析大興安嶺實驗中學(xué) 袁玉娟引言：我記得曾經(jīng)讀過這樣一條軼聞：在我國科學(xué)家代表團(tuán)前去參加世界大會的飛機(jī)上，當(dāng)時，主要有均已作古的華羅庚、錢三強(qiáng)、趙九章等我國老一輩科學(xué)家。一位前去參加大會的歷史學(xué)家，即興給數(shù)學(xué)家華羅庚出了一幅上聯(lián)“三強(qiáng)，趙韓魏”。這幅上聯(lián)，即嵌含著物理學(xué)家錢三強(qiáng)的名字，又涉及到中國古代戰(zhàn)國時期的一段歷史，符合出聯(lián)者身份；華羅庚稍加思索，很快就對出“九章，勾股玄”。此下聯(lián)對得很巧妙，既嵌入了空間物理學(xué)家趙九章的名字，用“勾股玄”這個數(shù)學(xué)概念，表明了對者的身份。一般說來，數(shù)學(xué)家是靠邏輯思維和推理的。但也不盡然，作為學(xué)者不僅要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，而且也需要深厚的文學(xué)功

2、底。本文著重想談數(shù)學(xué)中的推理和證明。一、教材分析“類比推理”是人教版選修22的第二章第二節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是其中的第二課時.課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)案例和生活實例，了解合情推理的含義，能利用類比的方法進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”.并指出：“合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程和數(shù)學(xué)體系建構(gòu)過程中的一種重要思維形式”.要求“在教學(xué)中要注意從學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活中的實例出發(fā)，喚起學(xué)生的經(jīng)驗，找到知識的生長點”根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合教材實際，我將從重難點分析、目標(biāo)定位、教法學(xué)法、教學(xué)設(shè)想、教學(xué)評價等五個方面對本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行說明.在教學(xué)中教師從一個傳說說起：春秋時代魯

3、國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具； 它也可以是齒形的.教材中試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合.球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長表面積面積體積二、問題提出問題提出一：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中相應(yīng)的結(jié)論   大家都知道，學(xué)過平面幾何后，就要繼續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何了。人們常常根據(jù)平面幾何中的定理，類比推廣到立體幾何中。有這

4、樣一個例子，從平面直角三角形勾股定理，“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”，直接推測出三個兩兩垂直的平面和一個斜三角形平面構(gòu)成四面體（示如圖）的面積關(guān)系定理，“四面體斜面的面積的平方等于三個直角面的面積平方和”。 先給出如下證明：     設(shè)三個兩兩垂直的直三角形平面的邊分別為：a ,b ,c ; 構(gòu)成斜平面三角形的三條邊分別為：A , B ,C。   根據(jù)勾股定理有構(gòu)成四面體斜面的三條邊分別為：           

5、;    A2=a2+c2  (1) ；B2=a2+b2  (2)  ； C2=b2+c2   (3)    再依據(jù)南宋數(shù)學(xué)家秦九昭所著數(shù)書九章（卷五）記載“問有沙田一段，有叁斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知田幾何。以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積?！?#160;   此即為我國古代計算三角形面積公式： S=1/4A

6、2C2-（(A2+C2-B2)/2）21/2。此公式等同于世稱海倫公式的三角形面積計算公式。在證明此題時，也可以應(yīng)用海倫公式，但計算頗為復(fù)雜。若用數(shù)書九章中的“三斜求積”公式，則計算過程相對簡單些。先將此公式經(jīng)化簡得：                                

7、;S2=1/4(A2C2-(A2+C2-B2)/2)2                                        =A2C2/4-(A2+C2-B2)( A2+C2-B2)/16&

8、#160;                                 =A2C2/4-(A4+B4+C4+2A2C2-2A2B2-2B2C2)/16         

9、0;                        =(2A2C2+2A2B2+2B2C2-A4-B4-C4)/16，                  再將式（1），（2），（3

10、）代入上式，計算后得：                                   S2=(a2c2+a2b2+c2b2)/4      又根據(jù)已知條件，知構(gòu)成四面體的三個直角形面積平方和，當(dāng)三條直角邊

11、分別為a、b、c時                          S12=a2c2/4，S22=b2c2/4，S32=a2b2/4                 &

12、#160;        S12+ S22+ S32=（ a2c2 + a2b2）+ b2c2）/4                          S2= S12+ S22+ S32   證畢?！邦惐韧评怼?/p>

13、概念枯燥抽象，學(xué)生似懂非懂，道理似易實難.題目淺深度難以把握，而且對具體題目的處理，沒有確信的統(tǒng)一方法.思辨之美，難以體會.教師根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，更多的專注于推理的形式，引用多個實例，如：地球和細(xì)胞多相似啊，細(xì)胞分細(xì)胞壁、細(xì)胞質(zhì)、細(xì)胞核，那么地球也差不多得分這么幾層，果不其然：地殼、地幔地核；鳥的飛翔與飛機(jī)的飛行等等。帶領(lǐng)學(xué)生親歷思維過程即推理過程，真正理解推理概念.同時，我也希望通過這節(jié)課的教學(xué)，能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，認(rèn)識數(shù)學(xué)的文化價值.問題提出二：圓中有結(jié)論“經(jīng)過圓心的任意弦的兩端點與圓上任意一點的連線的斜率之積為定值-1”是正確的。通過類比，對于橢圓，我

14、們有結(jié)論“                                               ”成立。 通過橢圓的類比，那么雙曲線上任意一點與過中點的弦的兩端連線的斜率之積是否也為定值？ 當(dāng)然，課堂是一個動態(tài)的過程，為使嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n堂更具彈性，我還做了其他準(zhǔn)備