電動力學緒論

1、電電 動動 力力 學學Electrodynamics物理科學與技術(shù)學院物理科學與技術(shù)學院主講教師：周代梅主講教師：周代梅Office: 9422Tel:mail: QQ: 739432652第第0 0章章 緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備 第第2 2章章 靜電場靜電場 第第3 3章章 靜磁場靜磁場 第第4 4章章 電磁波的傳播電磁波的傳播第第5 5章章 電磁波的輻射電磁波的輻射電 動 力 學目錄第第1 1章章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第第6 6章章 狹義相對論狹義相對論課程簡介課程類型：課程類型：物理學本科專業(yè)主干課物理學本科專業(yè)主干課成績評定：成績評定：期末

2、考試（期末考試（60%60%），平時表現(xiàn)及作業(yè)（），平時表現(xiàn)及作業(yè)（40%40%）學時學分：學時學分：6464學時，學時，4 4學分學分先修要求：先修要求：電磁學；高等數(shù)學；數(shù)學物理方程電磁學；高等數(shù)學；數(shù)學物理方程基本目的：基本目的：1. 1. 學習處理電磁問題的一般理論和方法學習處理電磁問題的一般理論和方法2. 2. 學習狹義相對論的理論和方法學習狹義相對論的理論和方法內(nèi)容提要：內(nèi)容提要：1 1電磁場的基本規(guī)律（電磁場的基本規(guī)律（6 6學時學時）2 2靜電問題和靜磁問題（靜電問題和靜磁問題（2020學時學時）3 3電磁波的輻射和傳播（電磁波的輻射和傳播（1616學時學時）4 4狹義相對論的

3、概念和理論的數(shù)學形式（狹義相對論的概念和理論的數(shù)學形式（1212學時學時）1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學4一、基本情況及要求一、基本情況及要求 研究對象研究對象電動力學主要研究電磁場的基電動力學主要研究電磁場的基本性質(zhì)、運動規(guī)律以及與帶電本性質(zhì)、運動規(guī)律以及與帶電物質(zhì)之間的相互作用。物質(zhì)之間的相互作用。 課程性質(zhì)課程性質(zhì)電動力學是物理學科的一門重電動力學是物理學科的一門重要基礎(chǔ)理論課，是物理學的要基礎(chǔ)理論課，是物理學的“四大力學四大力學”之一。之一。普通物理學數(shù)學電電動動力力學學統(tǒng)統(tǒng)計計力力學學量量子子力力學學理論物理學固體物理學激光物理學量子電動力學量子場論電子通信

4、類課程電磁相關(guān)的技術(shù)1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學5 學習目的與要求學習目的與要求 （1 1）通過學習電磁運動的基本規(guī)律，加深對通過學習電磁運動的基本規(guī)律，加深對電磁場電磁場基本性基本性質(zhì)的理解；質(zhì)的理解； （2 2）通過學習狹義相對論理論了解）通過學習狹義相對論理論了解相對論的時空觀相對論的時空觀及有關(guān)及有關(guān)的基本理論；的基本理論； （3 3）獲得在本門課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初）獲得在本門課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力；步能力； （4 4）為學習后續(xù)課程和獨力解決實際問題打下必要的基礎(chǔ)。）為學習后續(xù)課程和獨力解決實際問題打下必要的基礎(chǔ)。 1

5、緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學6主要考核目標（包括重點及難點）主要考核目標（包括重點及難點）（1 1）掌握矢量場論的簡單運算；）掌握矢量場論的簡單運算；（2 2）掌握電磁場基本理論、重要實驗定律；）掌握電磁場基本理論、重要實驗定律；（3 3）掌握靜電場和靜磁場的基本理論和解題方法；）掌握靜電場和靜磁場的基本理論和解題方法；（4 4）掌握電磁波傳播和輻射的基本概念和簡單應(yīng)用；）掌握電磁波傳播和輻射的基本概念和簡單應(yīng)用；1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學7二、電動力學與電磁學的聯(lián)系與區(qū)別二、電動力學與電磁學的聯(lián)系與區(qū)別 范圍范圍 既討論靜場又討論變化場，

6、外加相對論。既討論靜場又討論變化場，外加相對論。 深度深度 從矢量場論出發(fā)，總結(jié)電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律，解題更具一般性。從矢量場論出發(fā)，總結(jié)電磁現(xiàn)象普遍規(guī)律，解題更具一般性。 方法方法 建立模型、求解方程、注重理論。建立模型、求解方程、注重理論。 數(shù)學數(shù)學 矢量場論、張量分析初步、線性代數(shù)、數(shù)理方程、特殊函矢量場論、張量分析初步、線性代數(shù)、數(shù)理方程、特殊函數(shù)數(shù) 1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學8三、理論物理的特點三、理論物理的特點 模型建立在一些實驗與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上模型建立在一些實驗與一系列假設(shè)基礎(chǔ)之上 模型一般為偏微分方程模型一般為偏微分方程 求解方程需要特殊的數(shù)學方法

7、求解方程需要特殊的數(shù)學方法 理論的正確由求解結(jié)果與實驗是否相符合來驗證理論的正確由求解結(jié)果與實驗是否相符合來驗證 一些基本思想在爭論中不斷發(fā)展一些基本思想在爭論中不斷發(fā)展1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學9四、適用范圍及主要應(yīng)用四、適用范圍及主要應(yīng)用 適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對于微觀粒子不考慮波動性適用于宏觀電磁現(xiàn)象，對于微觀粒子不考慮波動性 同時也不考慮電磁場的量子性。同時也不考慮電磁場的量子性。 主要應(yīng)用：電力工業(yè)技術(shù)、主要應(yīng)用：電力工業(yè)技術(shù)、 廣播、通訊、雷達、廣播、通訊、雷達、 測井技術(shù)、加速器、光電子技術(shù)、激光理論、非測井技術(shù)、加速器、光電子技術(shù)、激光理論、非 線性

8、光學、等離子體、天體物理線性光學、等離子體、天體物理 。1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學10微波爐怎樣把食物加熱的微波爐怎樣把食物加熱的 微波微波(microwaves)(microwaves)就是頻率介乎就是頻率介乎30030000MHz(30030000MHz(波長介乎波長介乎1100cm)1100cm)的電磁波。微波妒就是利用微波的能量把食物加的電磁波。微波妒就是利用微波的能量把食物加熱，由微波的能量轉(zhuǎn)變?yōu)槭澄锏膬?nèi)能。熱，由微波的能量轉(zhuǎn)變?yōu)槭澄锏膬?nèi)能。 在水分子在水分子(H2O)(H2O)中，中，H2H2的一端帶正電，而的一端帶正電，而O O的一端帶的一端帶負電。

9、微波通過食物時，微波的電場就對水分子產(chǎn)生作用負電。微波通過食物時，微波的電場就對水分子產(chǎn)生作用力，令水分子的正負兩端急劇地扭轉(zhuǎn)振動。如圖所示。這力，令水分子的正負兩端急劇地扭轉(zhuǎn)振動。如圖所示。這振動就引致摩擦生熱，迅速把食物煮熟。振動就引致摩擦生熱，迅速把食物煮熟。微波爐的微波頻率為微波爐的微波頻率為2450MHz2450MHz，這是使水分子振動的最有效，這是使水分子振動的最有效頻率。頻率。 瓷質(zhì)盛器中沒有水分子，也沒有一端正一端負的其瓷質(zhì)盛器中沒有水分子，也沒有一端正一端負的其他分子，故微波爐的電場不能使其分子運動，故不會被加他分子，故微波爐的電場不能使其分子運動，故不會被加熱。反之，金屬盛

10、器中具有大量的自由電子。自由電子輕熱。反之，金屬盛器中具有大量的自由電子。自由電子輕易受到微波的電場而運動，善于吸收微波的能量而受熱。易受到微波的電場而運動，善于吸收微波的能量而受熱。故不要用金屬器皿載食物放入微波妒中。故不要用金屬器皿載食物放入微波妒中。 1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學11環(huán)境電磁學環(huán)境電磁學 主要研究各種電磁污染的來源及其對人類生活環(huán)境的影響。主要研究各種電磁污染的來源及其對人類生活環(huán)境的影響。 電磁污染：天然的和人為的各種電磁波干擾和有害的電磁輻電磁污染：天然的和人為的各種電磁波干擾和有害的電磁輻射。射。 研究內(nèi)容：研究和提高電子儀器和電氣設(shè)備在

11、強烈電磁干擾研究內(nèi)容：研究和提高電子儀器和電氣設(shè)備在強烈電磁干擾環(huán)境中的工作穩(wěn)定性和可靠性；高強度電磁輻射的物理化學環(huán)境中的工作穩(wěn)定性和可靠性；高強度電磁輻射的物理化學和生物效應(yīng)，特別是它對人體的作用和危害（無線電廣播，和生物效應(yīng)，特別是它對人體的作用和危害（無線電廣播，電視，微波，射頻電視，微波，射頻） 天然的電磁污染：自然現(xiàn)象，雷電，火山噴發(fā)，地震，太陽天然的電磁污染：自然現(xiàn)象，雷電，火山噴發(fā)，地震，太陽黑子活動引起磁暴。天然的電磁污染對短波通信的干擾特別黑子活動引起磁暴。天然的電磁污染對短波通信的干擾特別嚴重。嚴重。 人為電磁污染：脈沖放電（切斷大電流電路產(chǎn)生火花），工人為電磁污染：脈沖

12、放電（切斷大電流電路產(chǎn)生火花），工頻交變電磁場（變壓器頻交變電磁場（變壓器 ），射頻電磁輻射（廣播電視，微波），射頻電磁輻射（廣播電視，微波通信）通信）1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學12五、主要參考書五、主要參考書1電動力學電動力學郭碩鴻郭碩鴻 高教出版社高教出版社 第二版第二版 19972電動力學電動力學虞福春、鄭春開虞福春、鄭春開 北京大學出版社北京大學出版社 20033電動力學解題指導(dǎo)電動力學解題指導(dǎo)鄭春開鄭春開 北京大學出版社北京大學出版社 20044 經(jīng)典電動力學經(jīng)典電動力學( (影印版影印版)()(第第3 3版版) John David ) John Da

13、vid Jackson Jackson 高等教育出版社高等教育出版社 20042004 .5 電動力學電動力學汪德新汪德新 科學出版社科學出版社 20051 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學13 1785 1785 庫侖定律庫侖定律 1820 1820 電流磁效應(yīng)（畢薩定律）電流磁效應(yīng)（畢薩定律） 1822 1822 安培作用力定律（電動力學一詞開始使用）安培作用力定律（電動力學一詞開始使用） 1831 1831 電磁感應(yīng)（法拉第），場的思想電磁感應(yīng)（法拉第），場的思想 1856-1873 1856-1873 麥克斯韋方程，預(yù)言了電磁波的存在麥克斯韋方程，預(yù)言了電磁波的存在

14、 1881-1887 邁克爾遜實驗（邁克爾遜實驗（1881）, ,邁莫雷實驗邁莫雷實驗（1887） 1888 赫茲證實電磁波存在赫茲證實電磁波存在 1905 狹義相對論（愛因斯坦狹義相對論（愛因斯坦“論運動物體的電動論運動物體的電動力學力學”）。）。 六、發(fā)展簡史六、發(fā)展簡史41231 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學14法拉第法拉第最主要貢獻：最主要貢獻：18311831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象 18341834年他研究電流通過溶液時產(chǎn)生的化年他研究電流通過溶液時產(chǎn)生的化學變化，提出了法拉第電解定律。學變化，提出了法拉第電解定律。 18451845年年9

15、9月月1313日法拉第發(fā)現(xiàn)，一束平面偏日法拉第發(fā)現(xiàn)，一束平面偏振光通過磁場時發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象被稱振光通過磁場時發(fā)生旋轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象被稱為為“法拉第效應(yīng)法拉第效應(yīng)”。法拉第認為光具有電法拉第認為光具有電磁性質(zhì)，磁性質(zhì)，是光的電磁波理論的先驅(qū)。是光的電磁波理論的先驅(qū)。 18521852年他引進磁力線概念。年他引進磁力線概念。1 緒論緒論緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學15麥克斯韋麥克斯韋( (James Clerk Maxwell 1831James Clerk Maxwell 183118791879) ) 生平簡介生平簡介：英國物理學家，英國物理學家，18311831年年6 6月月

16、1313日生于英國日生于英國愛丁堡，愛丁堡，18501850年轉(zhuǎn)入劍橋大學研習數(shù)學；年轉(zhuǎn)入劍橋大學研習數(shù)學；18541854年以優(yōu)年以優(yōu)異成績畢業(yè)于該校三一學院數(shù)學系，并留校任職。異成績畢業(yè)于該校三一學院數(shù)學系，并留校任職。18561856年到阿伯丁的馬里沙耳學院任自然哲學教授。年到阿伯丁的馬里沙耳學院任自然哲學教授。18601860年到倫敦任皇家學院自然哲學及天文學教授；年到倫敦任皇家學院自然哲學及天文學教授；18711871年受聘為劍橋大學的實驗物理學教授，負責籌建年受聘為劍橋大學的實驗物理學教授，負責籌建該校的第一所物理學實驗室該校的第一所物理學實驗室卡文迪許實驗室，卡文迪許實驗室，18

17、741874年建成后擔任主任。年建成后擔任主任?？茖W成就科學成就：電磁場理論和光的電磁理論，預(yù)言了電磁波的存在電磁場理論和光的電磁理論，預(yù)言了電磁波的存在 ，18731873電磁學通論電磁學通論。他建立了實驗驗證的嚴格理論，并重復(fù)卡文迪許的實驗，。他建立了實驗驗證的嚴格理論，并重復(fù)卡文迪許的實驗，他還發(fā)明了麥克斯韋電橋。運用數(shù)學統(tǒng)計的方法導(dǎo)出了分子運動的麥克斯他還發(fā)明了麥克斯韋電橋。運用數(shù)學統(tǒng)計的方法導(dǎo)出了分子運動的麥克斯韋速度分布律，創(chuàng)立了定量色度學，負責建立起來的卡文迪許實驗室韋速度分布律，創(chuàng)立了定量色度學，負責建立起來的卡文迪許實驗室 。2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電

18、動力學電動力學162 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學172 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學182 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學192 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學20一一 矢量代數(shù)與張量初步矢量代數(shù)與張量初步AAAAAAAA,zyzAA iA jA k31iiiAA e31222221231()iiAAAAAA31cosiiiA BABAB 123123123sinneeeA BABeAAABBB2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學21)()(

19、)(bacacbcbadAdAdAAAdtdtdt()d A BdBdAABdtdtdt()d ABdBdAABdtdtdtcbabcacba)()()(注意順序注意順序不能顛倒不能顛倒2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學22 AB ABBA（一般一般 ） ijee 為單位并矢，張量的基（為單位并矢，張量的基（9 9個分量）個分量） 123,iiAAAeAAA123(,)AA A AjjiiijjijijieeTeeBABAT31,31,2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學2331ijie e 100010001BAT3332312322

20、21131211TTTTTTTTTTiiiBABABABABBBAAABA31332211321321),(2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學24,()iijijji jTVTV e e AB CA B CA C BAC BC B AC BAB C AB CA C ABC A BB C AB A CBA C AB CA B CCABCA B并矢并矢2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學25:AB CDB CA DCCC ABABAB : ABA BABCDA B C DA B C ADCD AB 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)

21、學準備電動力學電動力學26()aab()aba()jik()kij()()()()()()a b c dac b dad b c ()()()0abcbcacab ABAB計算計算與矢量與矢量 垂直垂直, ,即即Mb a ca b c CM C證明證明計算下列各式計算下列各式證明下列各式證明下列各式 （ 0， ， 1， 1 ）2()a ba a b 2 BA2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學271 二二 矢量場論復(fù)習矢量場論復(fù)習 ( , , , )( , )( , , , )( , )x y z tx tA x y z tA x t標量場矢量場描述一定空間中連續(xù)分

22、布的物質(zhì)對象的物理量?；蛎枋鲆欢臻g中連續(xù)分布的物質(zhì)對象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點，都對應(yīng)著某個物理說：若在一定空間中的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。 如：強度場、速度場、引力場、電磁場。如：強度場、速度場、引力場、電磁場。場用一個空間和時間場用一個空間和時間 坐標的函數(shù)來描述坐標的函數(shù)來描述：2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學28已已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）?；P(guān)系（梯、散、旋度）。已已知場函

23、數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場函數(shù)，知場函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場函數(shù)， 這是電動力學求解電磁場的主要方法。這是電動力學求解電磁場的主要方法。穩(wěn)穩(wěn)恒場（穩(wěn)定場、靜場）：場與時間無關(guān)恒場（穩(wěn)定場、靜場）：場與時間無關(guān)變變化場（時變場）：場函數(shù)與時間有關(guān)化場（時變場）：場函數(shù)與時間有關(guān)2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學29ddxdydzxyzxyzddxedyedzexyzdeeeddxyz 在空間任意靠近兩點函數(shù)在空間任意靠近兩點函數(shù) 的全微分的全微分lded cos 在空間某點的任意在空間某點的任意方向上，導(dǎo)數(shù)有無方向上，導(dǎo)數(shù)有無窮多個，其中有一窮多個，其中

24、有一個值最大，這個方個值最大，這個方向?qū)?shù)的最大值定向?qū)?shù)的最大值定義為梯度：義為梯度： grad 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學30 梯度的意義：梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率空間某點標量場函數(shù)的最大變化率 ，刻畫了標量場的空間分布特征，刻畫了標量場的空間分布特征 等值面：等值面： 常數(shù)的曲面稱為等值面。常數(shù)的曲面稱為等值面。 ( )x梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面的關(guān)系：梯度與等值面垂直。梯度與等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。已知梯度即可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動

25、力學31xyzeeexyz xyzeeexyz它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。 yxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAe AeAxyzxyz 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學32yyxxzzxyzAAAAAAA eeeyzzxxy xyzxyzeeexyzAAA1 12()2rxxxxxrr,ryyrzzyrzrxyzxxyyzzrreeerrrr 12222rrxxyyzzr=？rrr 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學33()xxx()yyy()zzz()xyzxyzeeeeeex

26、yzxyz ()=？() 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學34矢矢量族量族 在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個矢量族。窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個矢量族。 矢矢量場的通量量場的通量 面元面元 的通量：的通量： dsdA ds 有限面積有限面積 的通量的通量 SSA ds 意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具意義：用來描述空間某

27、一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具 有局域性質(zhì)，不能反映空間一點的情況。有局域性質(zhì)，不能反映空間一點的情況。 000有源 無源 負源 閉合曲面的通量閉合曲面的通量 sSdA2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學35高高斯公式 yxzSVVAAAA dsAdVdxdydzxyz矢矢量場的散度 縮小到一點縮小到一點 若空間各點處處若空間各點處處 0A則稱則稱 為無源場。為無源場。 A000AAA該點有源 該點無源 該點為負源 VSdAASV0limVASdAS)(2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學363xrxxyzrx x ey y ez z e

28、 r3rr12222(0)rx xy yz zr3333rxxyyzzrxryrzr3443330 xxyyxxyyrrrrr2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學37AAA xyzAAAAxyzyxzxyzAAAAAAxyzxyzAA 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學38 矢量場的環(huán)量（環(huán)流） 表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場線不閉合表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場線不閉合 0 0 表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場線閉合表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場線閉合 斯斯托克斯公式（定理） SdAldASL)(L矢量矢量 沿任一閉合曲線沿任一閉合曲線 的積分稱為

29、環(huán)量的積分稱為環(huán)量 ALldA2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學39定義定義 為矢量場的旋度，它在為矢量場的旋度，它在 法線方向上法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄鰣鼍€在的分量為單位面積上的環(huán)量。刻畫矢量場場線在空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點 ，則稱則稱 為無旋場。為無旋場。 AS0AA 矢量場的旋度 當L無限?。?SASAAldnL)()(SAldALSn0lim)(nAAn 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學40 33zzyyyrzr33531yyzzzzzzyry rr 33531y

30、yzzyyyyzrz rr 30 xrr330yzrrrr 3rr2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學41 AAA zyxAAAyzyzzyAAAAyyzzzyxAAAyzxxAA xyzxxAA eA eA eA e AA 2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學42例例 求求 ,xyzrxeyeze()k r其中其中 為常矢量為常矢量 kP()xyzxyzxxyzyxyxyzzx xy yz zzk x k y k zk x k y k z ek x k y k zk rek x k y k z ek ek eekk2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒

31、論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學4333311()()()p rp rrrrrp 33(1)1()()rp rrp rrr 433()()rpp rrrr 533()()rpp rrr 353()pp r rrr 例：例： 求求 ， 3()p rr 為常矢量為常矢量 解：解： P2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學44關(guān)關(guān)于散度旋度的兩個定理 正定理：標量場的梯度必為無旋場，正定理：標量場的梯度必為無旋場， 即即 逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。 即若即若 ，則，則 ， 稱為無旋場稱為無旋場 的標量的

32、標量 勢函數(shù)。勢函數(shù)。 =00A AA2. 正定理正定理: 矢量場的旋度必為無源場，即矢量場的旋度必為無源場，即 逆定理逆定理: 無源場必可表示為某個矢量場的旋度。無源場必可表示為某個矢量場的旋度。 即若即若 ，則，則 ， 稱為無源場稱為無源場 的矢量勢函數(shù)。的矢量勢函數(shù)。 0A 0BBA AB2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學45 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 任意矢量場任意矢量場 均可分均可分 解為無旋場解為無旋場 和無源場和無源場 之和。之和。 0,0FF 1F2FF12FFF120,0FF1FA2FFF1F 2FA F2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)

33、學準備電動力學電動力學46 定理定理： 在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及 矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量，矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量， ( )( )( )n SAxAxAf SS 在V內(nèi)在 面上則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。 V2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學47三三“三度三度”在坐標系中的表示及一些重要公式在坐標系中的表示及一些重要公式 xyzeeexyz 1zeeez 11()sinreeerrr 直角坐標直角坐標柱坐標柱坐標球坐標球坐標2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學

34、準備電動力學電動力學481.1.直角坐標系直角坐標系u yxzAAAxyzxyzxyzeeexyzAAA()yxzAAexygradu xyzuuueeexyzA divA A rotA ()xzyAAezx()yzxAAeyz22ux22uy22uz2u2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學492.2.柱坐標系柱坐標系u 11()()zAAAzzzeeezAAAgradu 1zuuueeezA divA A rotA 1()u2221()u22uz2u2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學503.3.球坐標系球坐標系u 22111()(si

35、n)()sinsinrAr AArrrr2sinsinsinrreeerrrrArArAgradu 11sinruuueeerrrA divA A rotA 221()urrrr21(sin)sinur22221()sinur2u2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學51 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的 三度公式三度公式 dffuudu dAA uudu dAA uudu 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 SVVAdVdVASdA)(LSSASdSdAldA)()(利用混合利用混合積公式積公式2 數(shù)學準備數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備緒論及數(shù)學準備電動力學電動力學52格林公式格林公式 第一公式第一公式 第二公式第二公式 SVSddV)(2SVSddV)()(22SVSddVLSldSdSVSddVASdAdV