2019屆河南省開封市高三10月定位考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1頁共 22 頁2019 屆河南省開封市高三 10 月定位考試數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 .已知集合 M = 0, 1 , 2, N = x | x 1 |w1,貝 UA.M=N B.NMC. MAN =M D.MUN=M【答案】C【解析】先化簡集合 N,再判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解【詳解】由題得 N= x | x 1|w1=x|0wx0,貝 U :為%3xA.R, x0lnx0w0 B.R, x0Inx00VxVx由題得 z：=：1-()2+ (-3= 155第2頁共 22 頁C.R,xlnxw0 D.R,xlnxv0【答案】A【解析】直接利用全稱命題的否定解答 .【詳解】根據(jù)全稱命題的否定得為：

2、 R, xo InXoW0.故答案為：A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)全稱命題P： g 丘也 pg，全稱命題 P 的否定(沖)：去丘也沖 M .特稱命題 P：八hm；,特稱命題的否定 仁匚，所以全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.4 等比數(shù)列 的前項(xiàng)和為，若，則公比 I ()A. IB.C.D.【答案】A【解析】將.轉(zhuǎn)化為關(guān)于：的方程，解方程可得的值.【詳解】. S _ 冷-匕：+ m _ 二,.日+ 2 巧 + 屯+ 2q * q )=巧(1 + q) = 0,又 ,故選 A.【點(diǎn)睛】3. ,00|.3 uS3

3、tQ本題考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，等比數(shù)列中共有五個(gè)量，其中是基本量，這五個(gè)量可“知三求二”，求解的實(shí)質(zhì)是解方程或解方程組.5.某商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量E(單位：kg)服從正態(tài)分布 N(10,(T2),根據(jù)檢測結(jié)果可知 P (9. 9Z10)= 0. 96,某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米 作為福利，第3頁共 22 頁若該公司有 1000 名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9. 9kg 以下的職工數(shù)大約第4頁共 22 頁A.1B.0【答案】B【解析】根據(jù)考試的成績E服從正態(tài)分布 N (10,d).得到考試的成績E關(guān)于E=1(對稱，根據(jù)P (9.91 -0.96長 10.1) =0.96，得

4、到 P (M9.9) =0.023，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到分發(fā)到的大米質(zhì)量在 9.9kg 以下的職工數(shù).【詳解】考試的成績E服從正態(tài)分布 N(10,d).考試的成績E關(guān)于E=1 對稱，/ P(9.9W李 10.1)=0.96,1 - 0,96P( EV9.9)=：=0.02,公司有 1000 名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在 9.9kg 以下的職工數(shù)大約為0.02X1000=20.故答案為：B .【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績E關(guān)于E=1(對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解.6 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則輸入

5、的 x 為A.10B.20C.30D.40第5頁共 22 頁C. 1 或 1 D. 1 或 0【答案】D【解析】先寫出分段函數(shù)的表達(dá)式 ，再求 x 的值.【詳解】如: j “由題得.當(dāng) xv0 時(shí)，“ - :. - ：_當(dāng) xA0寸，；，.；綜合得 x=-1 或 0故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖和分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力嚴(yán)一 +四蘭 0 xD. n 3【答案】D 【解析】 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】對于 A :函數(shù) y=xe是(0, +8)上的增函數(shù)， A 錯(cuò)；對于 B :n32V2? 3e3logaelog n

6、3loEnlog n3log 3n 3對于 D :l0e3噪人,D 正確；故答案為：D.【點(diǎn)睛】 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2n10 .已知空間四邊形 ABCD,/ BAC= , AB= AC= 2 , BD= CD= 6，且平面 ABC 丄平面 BCD,則空間四邊形 ABCD 的外接球的表面積為所以幾設(shè)點(diǎn)第 7 頁共 22 頁A.60nB.36nC. 24nD.12n【答案】A【解析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC 外接圓的半徑 r,設(shè)外接球的半徑為 R,球心到底面的距離為 h,得到關(guān)于 R 和 h 的方程組，解方程組即得R 和外接球的表

7、面積【詳解】BC2= 12+ 12-2 砧2$ (-) = 36tBC = 6.由余弦定理得由正弦定理得：il，所以三角形 ABC 的 外接圓半徑為 設(shè)外接球的球心為 0,半徑為 R,球心到底面的距離為 h,設(shè)三角形 ABC的外接圓圓心為 E,BC的中點(diǎn)為F,過點(diǎn)0作0G丄DF,連接D0,BE,0E. 在直角 0BE中，衣打( 1),在直角 D0G 中，：心 U*-(2),解得 h 二爲(wèi) R =廟所以外接球的表面積為-故答案為：A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查幾何體的外接球的表面積的計(jì)算，考查空間位置關(guān)系， 考查正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)求幾何體外接

8、球的半徑常用模型法、方程法11.將函數(shù) y= sin2x cos2x 的圖象向左平移 m (m 0)個(gè)單位以后得到的圖象與函數(shù)y= ksinxcosx (k0)的圖象關(guān)于(，0)對稱，貝 U k+ m 的最小正值是【答案】C【解析】n4A.2 +3n5n7nB.C.D.12設(shè)點(diǎn)第 7 頁共 22 頁由題意可得 y= - cos (2x - 2m)的圖象和y= sin2x (k 0)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,第10頁共 22 頁n0)-乂D“ -P(X0,yo)為 y= - cos( 2x- 2m)上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于. 對稱點(diǎn)為 在=cos(2x0- 2m),由此求得 k+m 的最小正值.【詳解】將

9、函數(shù) y=sin2x - cos2x= - cos2x 的函數(shù)圖象向右平移 m 個(gè)單位以后得到 y= - cos2 (x -m)=-cos (2x - 2m )的圖象，kn一(一*0)根據(jù)所得圖象與 y=ks in xcosx= si n2x (k 0)的圖象關(guān)于. 對稱，設(shè)點(diǎn) P (Xo, yo)為 y= - cos (2x - 2m)上任意一點(diǎn)，n2nk(? ) -；則該點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為在 y= sin2x (k 0)的圖象上，故有.-cos(2x0- 2m) = v0 k 4n- 2x0) = - y0n5n所以 k=2 , sin (2x-弓)=cos (2x- 2m),即 cos (2

10、x- & ) =cos (2x 2m),5n5n5n- 2m= - +2kn, kZ,即 2m= - 2kn, kZ,故 m 的最小正值為 ,5n則 k+m 的最小正值為 2+ .故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對稱的性質(zhì)，屬于中檔題.44一y= sin2x (k 0)的圖象上，故有,-cos(2x0- 2m) =y0 k 4n|j$in(y-2x0)= -y05n，求得 k=2，且 cos ( 2xo：)第11頁共 22 頁12 .已知函數(shù) f (x) = ( k+ ) Inx+ , k 4 , + ),曲線 y= f(x)上總存在兩 點(diǎn)

11、 M(x1 , y1) ,N (x2 , y2),使曲線 y= f(x)在 M, N 兩點(diǎn)處的切線互相平行，貝 U x1+ x2 的取值范圍為第12頁共 22 頁由題意，可得 f(xj=f (x2) (x20,且 X! Mx2),44k + -k * _k 4k4 -旳x/1V S1即-1= 1,4化簡得 4 (X!+X2)= (k+ ) XiX2,g而 X!X2,4(K1+ X2J24 (xi+X2)對 kq4, +8)恒成立，4令 g (k) =k+ ,4 (k + 2|(k-2)則 g (k) =1 - * =o 對 k 4, +)恒成立, g (k) g (4) =5,161616A.

12、( ,+ ) B.( ,+ ) C. ,+ I【答案】B【解析】利用過 M、N 點(diǎn)處的切線互相平行，建立方程，結(jié)合基本不等式,D., + 8)再求最值，即可求X1+X2的取值范圍.【詳解】儀 5 上)k由題得 f(x) =x廠1= 一(x0, k0)4 16第13頁共 22 頁16二 x1+x2,16故 X1+X2的取值范圍為(,+s).故答案為：B【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題13 .已知向量 a=( 2, - 6), b=( 3, m)，且 a 丄 b，則 I a + b|=_ .【答案】.【解析】先根據(jù)

13、已知求出 m 的值，再求JL： I - I .【詳解】由題得 2X3-6m=0,所以 m=1,所以“ = ( 5, -5),所以 1 日+引二時(shí)加+ 25= 5 也.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力14 .若 sind-cos 尸，貝 U sin2 a 勺值為_.7【答案】【解析】直接把已知方程兩邊同時(shí)平方即得解【詳解】177sin2a = - - - sin2a =,-由題得 1+:故答案為：第14頁共 22 頁【點(diǎn)睛】 本題主要考查二倍角的正弦，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力15 從 5 名學(xué)生中選出

14、4 名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，乙只能參加數(shù)學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為_ 【答案】36【解析】分三種情況討論，分別求出每一種情況下的方法數(shù)，即得解【詳解】(1)當(dāng)甲上乙不上時(shí)，共有種方法；(2)當(dāng)甲不上乙上時(shí)，共有 種方法；(3)當(dāng)甲乙都上時(shí)，共有一 ” “ 種方法.綜上所述，不同的參賽方案種數(shù)為 18+6+12=36 種.故答案為：36【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查計(jì)數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜

15、問題分類法、小數(shù)問題列舉法16 我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理(祖暅原理)：幕勢既同，則積不容異”，勢”即是高，幕”是面積意思是：如果兩等高的幾何體在同高處所截得兩幾 何體的截面積恒等， 那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線 C 的離心率 e =，焦點(diǎn)到其漸近線的距離為 2 直線 y= 0 與 y= 2 在第一象限內(nèi)與雙曲線 C 及其漸近線圍成如圖所示的圖形OABN,則它繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為【答案】【解析】由題意得雙曲線方程為；=1, y=2 在第一象限內(nèi)與漸近線的交點(diǎn) N 的坐標(biāo)和與雙曲線第15頁共 22 頁第一象限交點(diǎn) B 的坐標(biāo)，記 y=

16、2 與 y 軸交于點(diǎn) M，由nMB|2- MN |2=n,根據(jù)祖晅 原理，能求出它繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積.【詳解】比 2J *由題得：，所以 a=1,b=2.22 yx -雙曲線方程為 丨=1,y=2 在第一象限內(nèi)與漸近線y=2x 的交點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(，2),y=2 與雙曲線；=1 在第一象限交點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(；，2),記 y=2 與 y 軸交于點(diǎn) M (0, 2), A (1, 0),/nMB|2- nMN |2=：l=n,根據(jù)祖晅原理，它繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為-=2n.故答案為：2n【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意祖暅原理的

17、合理運(yùn)三、解答題兔Sn17 .設(shè)等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，且 a4 + a5= S4= 16 .(I)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；1b33丄 TbT”(n)設(shè)數(shù)列=，求 的前 n 項(xiàng)和.na =in丄1【答案】(1);(2).【解析】(I)根據(jù)已知解方程組得到：,即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式.(n)利用裂項(xiàng)第16頁共 22 頁相消法求的前 n 項(xiàng)和【詳解】(I)-為等差數(shù)列，解得.，.11If 11 II一【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)類似(其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù))的數(shù)列、部分無理數(shù)列等用裂項(xiàng)相消法求和1

18、8 .如圖，在四棱錐 PABCD 中，四邊形 ABCD 為菱形， PAD 為正三角形，且 E 為AD 的中點(diǎn)，BEX平面 PAD(I)求證：平面 PBCL 平面 PEB;(n)求平面 PEB 與平面 PDC 所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)見解析;(2)【解析】(I)先證明 BC 丄平面 PEB 再證明平面 PBCX平面 PEB. (n)建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz , 利用向量法求平面 PEB 與平面 PDC 所成的銳二面角的余弦值.【詳解】第17頁共 22 頁(I)vBE!平面 PAD 又 AM 平面 PAD ADL BE又 PAD 為正三角形，E 為 AD 的中點(diǎn)， ADLPE又

19、 PEPBE E,. ADL 平面 PEB ABCE 為菱形， =，引，. BC!平面 PEB又 BC 匚平面 PBC 二平面 PBCL平面 PEB.(H)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系 E-xyz ,廠設(shè)菱形 ABCD 的邊長為 2，貝UAE=ED=1 PE=EB=，C (- 2, 0)D (- 1 , 0 , 0), P ( 0 , 0,),応(-屆咲恥(1訴).又平面 PEB 的一個(gè)法向量為本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的計(jì)算， 意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和空間想象分析轉(zhuǎn)化推理能力19 甲、乙兩家外賣公司，其 騎手”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪 70 元，每單 抽

20、成 1 元；乙公司規(guī)定底薪 100 元，每日前 45 單無抽成，超出 45 單的部分每單抽成 6 元.假設(shè)同一公司的 騎手”一日送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名騎手”并記錄其 100 天的送餐單數(shù)，得到如下條形圖：平面 PEB 與平面 PDC 所成的銳二面角的余弦值為設(shè)平面 PDQ 的一個(gè)法向量為:樣 QCO=-55第18頁共 22 頁(n)若將頻率視為概率，回答以下問題:與送餐單數(shù) n ( n N *)的函數(shù)關(guān)系;(i)記乙公司的 騎手”日工資為 x(單位：元)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望;(ii)小明擬到這兩家公司中的一家應(yīng)聘騎手”的工作，如果僅從日工資的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)

21、計(jì)學(xué)知識(shí)為他做出選擇，并說明理由.(100 n45rn NV=【答案】(1)I； (2) (i) 112 元(ii )推薦小明去甲公司應(yīng)聘.【解析】 = 100(1 牴n w N(I)根據(jù)題意可知日工資; 1(n) (i )先求出送單數(shù)為42,44,46,48,50時(shí)的頻率，再寫出分布列和期望(ii )先求出甲公司的“騎手”日平均送餐單數(shù)和甲公司的“騎手”日平均工資，再計(jì)算乙公司的“騎手”日平均工資,即得解.【詳解】(I)根據(jù)題意可知，乙公司每天的底薪100 元，前 45 單無抽成，超出 45 單部分每單抽成 6 元, =故日工資I 100 n m = k-1即 了 2i，故直線AB過定點(diǎn)（-

22、i , -i）經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意綜上所述，直線 AB 過定點(diǎn)（-1 , -1 ）【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系和直線的定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用直接法、定義法和代入法.21 .已知函數(shù) f(x)= In (x+ 1) + ax2 x.(i)討論 f(x)在0,+)上的單調(diào)性；1=?(1 + 9k2)x2+ 18kmx + 9m?- 9 = 0Xl+ X2 =，得即(2 - 2k)KtK2= (m -1)(K2+ 勺- 2k)(9m2* 9) = (m 1)(- 18km)第22

23、頁共 22 頁(n)若函數(shù) g (x)= f (x) + x 有兩個(gè)極值點(diǎn) x1, x2,且 x1vx2,求證:g ( x2) In2 .第23頁共 22 頁g(Kj-ln2【詳解】x(2ax + 2a -1)f(x) - -，K E 0 + 8)設(shè) h(x) = 2 馭+ 2a -1，設(shè),a王一即時(shí)，h (x)0,. f (x)在上單調(diào)遞增;/I -2ah (x) 0,. f ( x)單調(diào)遞增.ias 【答案】(1)當(dāng) a0時(shí)，f(x)在 Is 上單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)，f(x)在 1 上單調(diào)遞增;10 a m( -一| =In-4- - =In2(I)解:當(dāng)a0時(shí),h (x)v0，二 f ( x

24、 )在上單調(diào)遞減;當(dāng)當(dāng)2a-1v0,時(shí),l-2axe 0,-23時(shí)，h (x)v0，二 f ( x)單調(diào)遞減;第24頁共 22 頁1a i 時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增;綜上所述，當(dāng) a0，使小“八1-門有兩不同實(shí)根，且.，只需，即 a2.4 -1=1 0*1)乂(0),1 刃2,1 g ( x )在 上單調(diào)遞增，在-上單調(diào)遞減，在 g ( X)在取得極大值，在取得極小值2 - 1 = 2ax?+ 2ax?+ 1 = 0ra =-.-= ln(x?+ 1 + axj = ln(x24-11 +tm(t) = ln(t+ 1)- , re設(shè) 數(shù),j 1111 m -j = ln- + - = In

25、2【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,是求得 g ( x )在取得極大值，在取得極小值，其二是求出 mf -= ln- + - = In2 2 222(X )在上單調(diào)遞增上單調(diào)憶=ln(x?4-1 j +意在考(2)解答本題的關(guān)鍵有三點(diǎn)，其一其三是求出10 a 0魚： ,m ( t )第26頁共 22 頁jx 4 + 4co5a22 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1: ：(a為參數(shù))，以 0 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為p24pcos 令 3= 0,直線 I 的極 坐標(biāo)方程為0=(pR) (I)求曲線 C1 的極坐標(biāo)方程與直線 I 的直角坐標(biāo)方程；(H)若直線 I 與曲線 C1, C2 在第一象限分別交于 A, B 兩點(diǎn)，P 為曲線 C1 上的動(dòng)點(diǎn)，求APAB面積的最大值.【答案】(1)：;(2).【解析】(I)先求出曲線 C 的普通方程為(+上 1 百，再化成極坐標(biāo)方程為卩二肚禍,再利用消參法求出直線 I 的直角坐標(biāo)方程為廠叔.(H)先求出|AB| =p2_ P1= 1,再 求 C (4, 0)到 I 的距離為2 遲，以AB為底邊的厶 PAB 的高的最大值為4宀艮再求 PAB 的面積的最大值?！驹斀狻?I)依題意，曲線 C 的普通方程為:I,極坐標(biāo)方程為:,