2020-2021學(xué)年湖南師大附中高一下學(xué)期入學(xué)自主檢測(cè)數(shù)學(xué)試題Word版

1、-1 -湖南師大附中 2020-2021 學(xué)年度高一第二學(xué)期入學(xué)自主檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)量：20 分鐘滿分：50 分一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的.21.已知集合Mxx 2x 0，N 0,1,2，則M N（）A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2235-，則a,b,c的大小關(guān)系是（）5A.a b cB.bcaC.cabD.cba1x13.函數(shù)f xx2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）2A.0 B.1 C.2D.34.已知函數(shù)fxasi nxbcos x，且f 43，則f 2021的值為（）A.1B.1 C.3 D.325.關(guān)于x的方程

2、x ax b 0，有下列四個(gè)命題：甲：x 1是該方程的根；乙：x 3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2； 丁：該方程兩根異號(hào).如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12 .6.若實(shí)數(shù)a，b滿足一一 ab，則ab的最小值為（）a bA.2B.2 C.2-2D.47.若函數(shù)f xx x b在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A.,4B.,2C.2,D.4,8.已知函數(shù)y fx的定義域?yàn)镽，則“f x無(wú)最大值”的一個(gè)充分條件是（）C2一52 - 5b3 _52一5a設(shè)-2 -12.已知Xy 1，y 0，X0.則-乩的值可能是（y 1A.f X為偶函數(shù)且關(guān)于直線

3、X 1對(duì)稱B.f X為偶函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱C.f X為奇函數(shù)且關(guān)于直線X 1對(duì)稱D.f X為奇函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得 5 分，部分選對(duì)的得 2 分，有選錯(cuò)的得 0 分.9已知a 0，b 0，且a b 4.則下列結(jié)論正確的是（）A.ab 4B.丄丄1C.2a2b16D.a2b28a b10.下列幾個(gè)說(shuō)法中，正確的是（）1A.已知函數(shù)f X的定義域是 一,8，則f 2X的定義域是1,32B.命題“X 0，eXX1”的否定為：“X。B.函數(shù)f x在 ，一上單調(diào)遞增12 3C.若f

4、X1f X22，則X1X2的最小值為 3D.函數(shù)fX的圖象向右平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y cos3x的圖象4C 若函數(shù)fX2X2 b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是0 b 221 XD.若函數(shù)f x 4 x2ln在區(qū)間1 X1 1-1,-上的最大值與最小值分別為2 2M和m，則11.已知函數(shù)fXsin 3X的圖象關(guān)于直線X對(duì)稱，則（）224A.函數(shù)X 為奇函數(shù)12-3 -235A.B.C.1 D.-344三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.已知4a2，lg x a，則,上單調(diào)遞減，則6 2x, x16.設(shè)函數(shù)f x2x已知函數(shù)f xx22x a lgx(1)求使

5、f a1的a最小值;18.(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f x sin2x sinx茲s2x于(1)求f x的最大值及取得最大值時(shí)x的值;、2(2)若方程f X在0,上的解為x1，x2，而，求cos x-!x2的值.319.(本小題滿分 12 分)1.已知函數(shù)f x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí),2x.則x0時(shí),15.已知函數(shù)f x sin x3cos x 0，若x 0,使得f 1x f 1 x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是若函數(shù)f x為R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是四、解答題：本題共 6 個(gè)小題，共70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17.(本小題滿分10 分)(2)若對(duì)任意x

6、1,，有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.a,2x, x a,-4 -xe a設(shè)a 0,f xx是R上的偶函數(shù).a e（1）求a的值；（2） 判斷f x在0,上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論.20. （本小題滿分 12 分）倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)、生態(tài)意識(shí)，構(gòu)建全社會(huì)共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會(huì)生活中的主流文化某化工企業(yè)探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量r0為2mg / m3，首次改良工藝后排放的廢氣一3中含有污染物數(shù)量ri為1.94mg/m，第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量r.可由函數(shù)模型rnroro ”50.5n pp

7、 R,n N*給出，其中n是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后rn的函數(shù)模型；（2） 依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過(guò)0.08mg /m3試問(wèn)：至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使企業(yè)所排放的廢氣中含有污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)？（參考數(shù)據(jù)：取lg2 0.3）21. （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)f x10、.3sincos仝10cos2.2 2 2（1）求函數(shù)f x的最小正周期；（2）將函數(shù)f x的圖象向右平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移a a 0個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函6數(shù)g x的圖象，且函數(shù)g x的最大值為 2.（i）求函數(shù)g x的解析式；（ii） 證明：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)

8、x0，使得g x00.22. （本小題滿分 12 分）2-5 -已知f xax bx 2，x R.（1）若b 1，且3 y yf x , x R，求a的取值范圍；-6 -(2)若a 1，且方程f xx212在0,2上有兩個(gè)解x,x2，求b的取值范圍，并湖南師大附中 2020-2021 學(xué)年度高一第二學(xué)期入學(xué)自主檢測(cè)證明21Xi丄X24.-7 -數(shù)學(xué)參考答案、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的題號(hào)12345678答案CDBDACDD、多項(xiàng)選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

9、目要求.全部選對(duì)的得 5 分，部分選對(duì)的得 2 分，有選錯(cuò)的得 0 分題號(hào)9101112答案ABACDACBCD三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.1015. 2【解析】Tf x在一，一上單調(diào)遞減，且f一f一0,f0,6 26 2f x sin x .3 cos x2si nx3 f L21f2sin_0,2333-kkZ3k 1k Z,331 2又由2- -一0,得03,2262.161,01四、解答題:本題共6 個(gè)小題， 共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.【解析】(1)fa1即lg 3 a1，所以3 a 10,即a 7,所以a的最小值為

10、 7214.x0,因?yàn)閒 x是奇函數(shù)，所以所以f X f x22x 2 x x 2x.-8 -2小, x 2x aL+上，0恒成x2立x 2x a 0恒成立.設(shè)y x22x a,x 1,所以a的取值范圍是3,方法二： 對(duì)任意x 1,fx有意義在區(qū)間1,2,x 2x上，xa0恒成立2x2x a0恒成立a2x 2x恒成立，設(shè)g x2x2x,x1,，則agxmax，因?yàn)間 xx22x2x 11，故當(dāng)x 1時(shí)g x取得最大值g 13,所以a 3，即a的取值范圍是3,當(dāng)2x2k k Z，325即xk k Z時(shí)，函數(shù)f x取最大值，且最大值為1.125 k（2）由（1）知，函數(shù)f x圖象的對(duì)稱軸為x kZ

11、，12 2511當(dāng)x 0,時(shí)，對(duì)稱軸為x 或一.12122又方程f x在0,上的解為x-i,x2.3225結(jié)合圖象知點(diǎn)x1-與點(diǎn)x2-關(guān)于x對(duì)稱.3312（2）方法一：對(duì)任意X 1,f X有意義 在區(qū)間1,2y x 2xaa 1遞增，所以當(dāng)x 1時(shí)，ymin于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin3 a 0時(shí),x在x 1,上有意義，故a 3.18.【解析】（1）f xcosxsin xsin 2x2討2xsin 2x 3-9 -x-ix25，則X156COS XiX25COS -62x2sin 2x2又f x2sin 2x2-，故COS X1x2319.【解析】因?yàn)閒是R上的偶函數(shù),所以XX即e aXa eXe_

12、aXa e又exex不可能恒為“ 0 ”,0，而a(2)f在0,上是增函數(shù) 證明如下:在0,上任取x1X2，x1f x2X2eexeX2X1ee51eX2/2X11X1X2e1e2eX2因?yàn)?，所以由0為X2得1eX1x2X1xX1所以.xX1ee2e1e 1eX1eX20，即fX1所以在0,上是增函數(shù)20.【解析】(1)由題意得r01.94，所以當(dāng)n1時(shí)，A rrr150.5X1x2e1e2從而x2X2即1.94 22 1.94 50.5 p，解得p 0.5所以rn2 0.06 50.5n 0.5n故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型rn2 0.06 50.5 n 0.5n N-

13、10 -(2)由題意可得，rn0.5 n 0.52 0.06 50.08,整理得50.5n 0.5竺0.06即50.5n 0.532,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得0.5 n 0.5Ig5，整理得n 2翌21，1 lg2取Ig2 0.3代入，得25lg 21 lg230 1757，又因?yàn)閚 N，所以n6.綜上，至少進(jìn)行 6 次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)21.x x2xx 10、3 si n cos 10cos2 25.3 sin x 5cos x25 10sin5.所以函數(shù)f x的最小正周期T(2)( i)將f x的圖象向右平移-個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)610sin x5的圖

14、象, 再向下平移a a 0個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g x10sin xa的圖象.又已知函數(shù)g x的最大值為 2,所以102，解得a13.所以g x 10sin x &(ii)要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)X。，使得g x00，就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得10sin x0840，即sin x05由5子知，存在003，使得sin由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x時(shí), 均有sin x因?yàn)閥 sin x的周期為2，所以當(dāng)x 2k0,2kZ時(shí)，均有sin x因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)k，2k2k0031,-11 -所以對(duì)任意的正整數(shù)k，都存在正整數(shù)xk2k0,2k4，使得sin xk5即存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)Xo，使得g Xo0.22.【解析】（1）b1時(shí)，fx ax2x 2,因?yàn)?,x R關(guān)于x的方程2axx 23即ax2x 10無(wú)實(shí)數(shù)解,易