2020屆廣東省佛山市禪城區(qū)高三上學(xué)期統(tǒng)一調(diào)研測試(二)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1頁共 19 頁2020 屆廣東省佛山市禪城區(qū)高三上學(xué)期統(tǒng)一調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1.已知i是虛數(shù)單位，若2 i z（1 i），則 z 的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（）A .第一象限B.第二象限C .第三象限D(zhuǎn) .第四象限【答案】D【解析】 把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出z 的坐標(biāo)得答案.【詳解】13.i,22故選 D.【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.2 .設(shè)集合A y| y 3x,x R,By | y 4 x2,x R，則AI B()AI B 0,2本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集

2、運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題W3 .函數(shù)f（x）e的大致圖象是（）x 3解：由 2+i = z (1 - i),得 z1 i2i13.i,1 i1i22則 z 的共軛復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為1,3），在復(fù)平面的第四象限.2 2A.0,2B.0,【答案】C【解析】 根據(jù)函數(shù)值域的求解可得到集合【詳解】A y|y 3x,x R 0,BC.0,2D.0,2A和集合B，由交集定義可得到結(jié)果y y 4x2,x R第2頁共 19 頁【答案】A【詳解】由題意得，函數(shù)fXeX2x 32T X,則函數(shù)f X為偶函數(shù)，圖象關(guān)x 3于 y 軸對稱，故排除C、D ,又由當(dāng)X 1時(shí)，f1 0,1 3故排除 B,故選 A.【點(diǎn)睛】

3、4 .已知等邊VABC內(nèi)接于e O,D為線段OA的中點(diǎn)，則uuuBD=()2 uuv 1 uuu/4 uuv 1 uuv2 uuv 5 uuy2uuv 1 uuvA.BA-BCB.BA -BCC.- BABCD.BABC36363633【答案】A數(shù)值進(jìn)行排除求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算寫出【解析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性及取特殊值X 1，進(jìn)行排除即可得答案本題主要考查了函數(shù)圖象的識別,其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性,以及特殊點(diǎn)的函uuumuuuuuiuBD用BA、BCA .第3頁共 19 頁的表達(dá)式即可.

4、【詳解】解：如圖所示,uuu i uur i i uuuBA BA ?BC33 2故選 A.【點(diǎn)睛】 本題考查了平面向量的線性表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.5 已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為（）A .0.75B.0.6C.0.52D.0.48【答案】A【解析】 記事件A:該元件使用壽命超過1年，記事件B:該元件使用壽命超過2年，計(jì)算出P A和P AB，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為P ABP B A -.P A【詳解】記事件A:該元件使用壽命超過1年，記事件B:該元件使用壽命超過2

5、年，則P A 0.8,P ABP B 0.6,因此，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為P BA皿6P A0.80.75，故選 A.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，解題時(shí)要弄清楚兩個(gè)事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等題uuur uuruuruuu 1 uuur uuu1uuuBDBAADBAAEBA(AB33uuu、BE)2 uuu i uuurBA BC.36設(shè) BC 中點(diǎn)為 E，則故選 B.第 4 頁共 19 頁6 .若f(x) sinx. 3 cosx在m,m(m 0)上是增函數(shù)，則m的最大值為(52A .B.C .

6、D .6363【答案】C【解析】 利用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得m 的最大值.【詳解】3cosx)= 2sin (x ) 在-m, m (m23 0) 上是增函數(shù), - m，且325求得 m ，且6故選：C.【點(diǎn)睛】正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.7 .已知a,b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，且cA . 、6.B. 7C.2 2D.2 .3【答案】B【解析】由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的平方即為模的平方，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，化簡計(jì)算可得所求值.【詳解】rr r r r解：a,b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，可得a?b0, |a|= |b

7、|= 1,因?yàn)?, b是相互垂直的，所以得c與a,b的夾角a B的和或差為 90由c a,c b i,rr可得|c|cosa3, |c|cos 1，由 cos2a+COB=1 ,可得 |Ef=4,r rr r r r則b c2= |b|2+|c|2+2b?c1+4+2 = 7,即b cV7.解：若 f (x)= sinx、.31cosx= 2 ( sinx2m，故m的最大值為6，本題主要考查、3,柑1，則|bv|=()第5頁共 19 頁22由可行域知z x y 2的最大值是|AD17，最小值為D到直線x y 1 0的1距離的平方為一，故選 A.2考點(diǎn)：利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值則 ABC為（）

8、A 等腰三角形C 等腰直角三角形【答案】【點(diǎn)本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì),以及垂直的性質(zhì)和向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算8 .設(shè)實(shí)數(shù)x,xy滿足約束條件xy1,0,0,則x222的取值范圍是（）1A.,172B.1,17【答案】A【解析】 【詳解】試題分析:畫出約束條件所表示的可行域,如圖，A 1,2 ,D 0. 2,9.在厶 ABC中，角A,B , C的對邊分別為a ,b,c，若ca cosB(2 a b)cos A,直角三角形等腰或直角三角形【解余弦定理得cosA2 , 2 2b a2bccos B2 2c a2acb2-代入原式得2c,2 2 , 2 2b c b a 2a2bc2

9、.2 2c b a2b22.2 2c b a2c2ac2bc第6頁共 19 頁解得a b或c2a2b20則形狀為等腰或直角三角形，選 D.點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.31 12,21第7頁共 19 頁化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此【答案】因此，這四項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)之和即為原式的常數(shù)項(xiàng),且各項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)如下:130 90 20141,61即x 1的常數(shù)項(xiàng)為141,x故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，涉及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和常數(shù)項(xiàng)的確定，以及組合數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.11.設(shè)奇函數(shù) f(x)在

10、 R 上存在導(dǎo)數(shù)f (x)，且在(0,133時(shí)要注意應(yīng)用ABCn這個(gè)結(jié)論.10.x6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A . 32B.90D . 141【解先將原式寫成:6，再用二項(xiàng)式定理將該式展開，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的特征，得出常數(shù)項(xiàng)為:C60C6CC4C6gC4CgC；，最后求出其值即可.【詳解：xC；x上式共有 7 項(xiàng)，其中第，五，七項(xiàng)存在常數(shù)項(xiàng),CdgC2cfgC：cgd)上f (x) x2，若In 2 In 3.12，15第8頁共 19 頁f(m) -(1 m)3m3，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(B.2f (1 m)In 2 In 3.12，15第9頁共 19 頁【答案】B13【解析】構(gòu)造輔助函數(shù) g(x)

11、 f(x) _x，由 f(x)是奇函數(shù)，g( x) g(x) 0，可知31_ _g(x)是奇函數(shù)，求導(dǎo)判斷g(x)的單調(diào)性，f(1 m) f(m)-(1 m) m ，即3g(1 m)g(m)，解得m的取值范圍.【詳解】1_解：令 g(x) f (x) x ,31_1_Qg( x) g(x) f( x) -( x)_f(x) -x_0 ,33函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，Q x (0,)時(shí)，2g (x) f (x) x o ,函數(shù)g(x)在x (0,)為減函數(shù)，又由題可知，f(0)0,g(0) 0,所以函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù),13m) (1 m) f(m)3即 g(1 m)-g(m),1 m, m,

12、1m.2故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.()Q f(1 m)f(m)-(1 m)o3,m ,f(112 .若不等式0有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為In 2 In 3.12，15第10頁共 19 頁In 2 In 2B.12，813.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1352,則a8a9第11頁共 19 頁In 3 In 2158158【答案】AInx【解析】不等式mx22mx Inx 0有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于mx 2m有且xIn x僅有兩個(gè)正整數(shù)解，令fx mx 2m x 2 m,g x，則問題轉(zhuǎn)化為

13、函x數(shù)f x ,g x的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)?！驹斀狻坑深}得，x 0，二不等式mx22mx Inx 0有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于mx 2mInx ,一 .，一” 亠.記f x mx2m x 2 m, /函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)止整數(shù)解x是過定點(diǎn)2,0的直線.又記gxInx,，g x x1 Inx2x，令g x0 x e，二當(dāng)x0,e時(shí)，g x 0,g x單調(diào)遞增；當(dāng)xe,時(shí)，g x0，g x單調(diào)遞減，如圖所示,1.-iT_2pf13 /4 *Inx一要使mx 2m有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可知，只需滿足xIn24mf 2g 22In3In2In3f 3g 35m即-m.故選 A31215f 4g

14、4In46m【點(diǎn)睛】含參的不等式可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是能構(gòu)造函數(shù)f x x 2 m,利用導(dǎo)函數(shù)解決，屬于難題。二、填空題【答案】12In 3 In 2Inx第12頁共 19 頁再利用通項(xiàng)公式代入 a4+a8+a9，即可得出.詳解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,TS13=52,13 1213a1+d=52，化為：a1+6d=4 .2則 a4+a8+a9=3ai+18d=3 (ai+6d) =3 4=12 .故填 12.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)和前n 項(xiàng)和，意在考查學(xué)生等差數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本的運(yùn)算能力14 .為培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某校準(zhǔn)備在高二年級開設(shè)A,B,C,D,E,F

15、六門選修課程，學(xué)校規(guī)定每個(gè)學(xué)生必須從這6門課程中選3門，且A,B兩門課程至少要選1門，則學(xué)生甲共有 _ 種不同的選法【答案】16【解析】 本道題先計(jì)算總體個(gè)數(shù)，然后計(jì)算A,B 都不選的個(gè)數(shù)，相減，即可?！驹斀狻?3總體種數(shù)有C620, A,B 都不選的個(gè)數(shù)有C44，所以一共有 16 種?！军c(diǎn)睛】本道題考查了排列組合問題，難度中等。15 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終 邊過點(diǎn)(丄3)，則cos 2.(2 2)3-【答案】1【解析】 結(jié)合終邊過點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出sin ,cos，結(jié)合二倍角公式和余弦兩角和公式， 即可.【詳解】1 .兀，cos2_ 21cos

16、,si n2cos1- ,sin 2 2sin cos2222所以cos 2cos21si n2邁1322【點(diǎn)睛】本道題考查了二倍角公式與余弦的兩角和公式，難度中等.【解析】 分析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由 Si3=52，可得 13ai+13 122d=52，化簡第13頁共 19 頁16. 已知x“X2是函數(shù)fx :2sin 2x cos2x m在0,內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，貝V2sin%X2【答案】2.55【解析】分析: 由于函數(shù)f(x)的兩點(diǎn)零點(diǎn)是x1,x2，所以m2sin 2x1cos2xi2sin2x2COS2X2，由和差化積公式，可得2sin(洛X2)20，再由X1X20,n，可解.25

17、詳解:由X1,X2是函數(shù)f(x)n2sin 2x cos2x m在 0,內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得m2sin 2x1cos 2X12sin2x2COS2X2，即為：點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)零點(diǎn)和的三角函數(shù)值問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化零點(diǎn)問題與怎么化簡 方程問題.三、解答題在平面四邊形ABCD中，AC與BD為其對角線，已知 BC 1，且2(sin 2捲sin2x2)cos2x1COS2X2,即有4cos(x(x2)sin(為x2)2sin (x2xjsin(x2xj ,由x(x2，可得sin(捲x2)0，可得sin(x2x() 2cos(Xjx2),2又sin (x1x2) cos2(x-|x2)1，可得sin2

18、(XiX2)20，25-xix2【,n,二sin(x)X2)17 .如圖所示,第14頁共 19 頁cos BCD且AB 2，求AC的長;第15頁共 19 頁sin CDB sin CBD可得CDBC sinCBD 5，即CD的長為 5.sin CDBAC2遷AC53.530,解得AC . 5，或AC5(舍去)AC的長為3(2)- cos BCD,sinBCD12cos BCD455又TCBD45osinCDBsino180BCD45osinBCD 45osinBCDcosBCD210由余弦定理AB2BC2AC22BC AC cos ACB可得:在BCD中，由正弦定理一(2)若CBD 4丘，求C

19、D的長.【答案】(1) 15 (2) 5【解析】(1)由對角線AC平分BCD，求得cos BCDi，進(jìn)而得到cos ACB-55在ABC中，利用余弦定理，即可求得AC的長.(2)根據(jù)三角sin CDB話，再在BCD中，由正弦定理,即可求【詳(1)若對角線AC平分BCD，即BCD 2 ACB 2 ACD,二cos BCD 2cos2ACB 1-5 cosACB 0,cos ACB/在ABC中，BC1,AB2,第16頁共 19 頁【點(diǎn)睛】1第17頁共 19 頁本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決 三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵在ABC

20、中，通常涉及三邊三角，知三(除已知三角外)求三，可解出三角形，當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對 角或兩角及其中一角對邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用 余弦定理求解.由題意可得ai3,d 2或ai6,d 1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得所求;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程即可得到所求【詳解】18 .在公差 d 的等差數(shù)列an中，aid6,a1N,d N，且a1d.(1) 求an的通項(xiàng)公式;(2)若ai,a4,冃3成等差的前 n 項(xiàng)和Sn.anan 1【答(1)ann5；( 2)J6n 9【解1anan 1(2n 1)(2n3)12n 1 2n 3，再由裂項(xiàng)

21、相消求和即可得解.an，求得1第18頁共 19 頁【點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，以及分類討論思想和方程思想,解：(1) a1d 6,N，且印a1da16 d1當(dāng)a13時(shí)，an2n當(dāng)a16時(shí)，an5.(2) a1,a4,a13成等比數(shù)列，a1a132a4a1(a112d)(a13d)，化為 d0 或2a13d(1)2nanan 1(2n1)(2n3)12n 1 2n故Sn-212n 112n 312n 3n6n 9第19頁共 19 頁考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19 .設(shè)函數(shù)f(x) sin( x ) sin( x )，其中06 2(i)求;(n)將函數(shù)y f(x)的圖

22、象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y g(x)的圖象，求g(x)在,3上的444最小值.【答案】(I)2.3(n).2【解析】試題分析：(I)禾U用兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到y(tǒng) f (x)、.3(sin x )3.已知f(-)0.2 倍(縱坐標(biāo)不變)，再將由題設(shè)知f(g0及03 可得.(n)由(I)得f (x)從而g(x)、3si n(x4J sin(2x -)3). 3 si n(x根據(jù)x12進(jìn)一步求試題解析:(I)因?yàn)閒 (x)sin( x )6sin( x )2，所以f (x)一 3 .sin x21 cos2cos xsin23cos x2A選sin.3

23、x cos2x)由題設(shè)知f(6) 0，所以66kZ.所以2.第20頁共 19 頁題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò) 點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍難度不大,能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等x20 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 1 的參數(shù)方程為y2 tcos(t 為參數(shù))，以坐標(biāo)tsi n原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為2cos，直線 I 與曲線 C 交于不同的兩點(diǎn) A，B.(1) 求曲線 C 的參數(shù)方程；1 1(2)若點(diǎn) P 為直線與 x 軸的交點(diǎn)，求22的取值范圍|PA|

24、|PB|x 1 cos1 5【答案】(1)(為參數(shù))；(2),一y sin4 16【解析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用直線和曲線的位置關(guān)系建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系H和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：(1)2cos等價(jià)于22 cos2 2 2將x y，cosx代入上式，可得曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為2 2y y222x 0，即卩x 1y 1x 1 cos所以曲線 C 的參數(shù)方程為sin(為參數(shù)).y(U)由所以g(x)(I)得f (x). 3sin(2x -)33sin(x) .3sin(x ).4

25、3_12因?yàn)樗?23n時(shí)，32.【名師點(diǎn)睛】此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目,g (x)取得最小值可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本第 i5 頁共 i9 頁(2)將2 t cos由題意得設(shè)方程t2tsin236cos6tcos 8所以ti與t?同號，由參數(shù)|PA|PB| tit2代入曲線 C 的直角坐標(biāo)方程,320，故cos20的兩個(gè)實(shí)根分別為t的幾何意義，可得tit2整理得；t26tcosti，t26|cos |，|PA|2ii_ (| PA| | PB|) 2|PA| | PB| PA |2| PB|2| PA|2| PB |2cos22cos，則ti|PB|t2t1t2 cos26cos2tit2

26、2址22tit29,i，tit28,9cos24i629cos 4i6-,，所以丄2的取值范圍是4 i6| PA| |PB |丄54，i6【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換， 正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用， 一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用， 主要考 查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.2i.為發(fā)揮體育咋核心素養(yǎng)時(shí)代的獨(dú)特育人價(jià)值，越來越多的中學(xué)生已將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程，某中學(xué)計(jì)劃在高一年級開設(shè)游泳課程，為了解學(xué)生對游泳的興趣，某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生抽取了i00 人進(jìn)行調(diào)查班級一（i） 一(2)一（3）

27、一（4） 一（5） 一（6） 一（7） 一（8） 一（9） 一（i0）市 級比 賽獲 獎(jiǎng)人2233443342第 i5 頁共 i9 頁第23頁共 19 頁數(shù)市級以上比賽獲獎(jiǎng)人 數(shù)2210233212（1）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班學(xué)生，其中 3 名對游泳有興趣，現(xiàn)在從 這 6名學(xué)生中最忌抽取 3 人，求至少有 2 人對游泳有興趣的概率；（2）該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查發(fā)現(xiàn)，對游泳有興趣的學(xué)生中有部分曾在市級以上游泳比賽中獲獎(jiǎng)，如上表所示，若從高一（ 8）班和高一（9）班獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)各抽取 2 人進(jìn)行跟蹤調(diào)查記選中的 4 人中市級以上游泳比賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)

28、期望【答案】（1）-；（ 2）分布列見解析，-25【解析】（1）利用互斥事件的概率公式計(jì)算所求事件的概率值；（2）由題意知隨機(jī)變量的所有可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值.【詳解】解：（1）記事件A 從這 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取的 3 人中恰好有 i 人有興趣，i 0,123,則A2A3從這 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取的3 人中至少有 2 人有興趣，且 A 與A3互斥.第24頁共 19 頁所求概率p pA2A第25頁共 19 頁(2)由題意，可知所有可能取值有 0,1, 2, 3.所以的分布列是0123P92415250505050 E( )0一1242153一50505050【點(diǎn)睛】 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，屬于中檔題.22 .已知函數(shù)f(x) aexsi n x,其中a R, e 為自然對數(shù)的底數(shù)(1) 當(dāng) a 1 時(shí)，證明：對 x 0,), f (x)1 ;(2)若函數(shù) f (x)在0,上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。2【答案】(1)見證明；(2)a 0,1【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性， 進(jìn)而求得函數(shù)的最小值， 得到要證明的結(jié)論;(2)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a 分類討論，分別研究 a 的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求