倒立擺模型推導(dǎo)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上倒立擺系統(tǒng)模型研究控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量或變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在靜態(tài)條件下(即變量各階導(dǎo)數(shù)為零)，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型；而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，則可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的首要工作。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N方式：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。實(shí)驗(yàn)建模是通過(guò)在研究對(duì)象上加入各種由研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象，并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用系統(tǒng)辯識(shí)的手法分析輸入-輸出關(guān)

2、系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型逼近實(shí)際系統(tǒng)。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難，故而選用機(jī)理建模的方法。為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和分析的方便，可作出如下假設(shè)：1) 擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體；2) 齒型帶與輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶無(wú)拉長(zhǎng)現(xiàn)象；3) 各種摩擦系數(shù)固定不變；4) 忽略空氣阻力；在忽略掉這些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。本文采用分析力學(xué)Lagrange方程建立一、二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。Lagran

3、ge方程有如下特點(diǎn)：1) 它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的。2) 理想的約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。3) Lagrange方程是以能量的觀點(diǎn)建立起來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程式，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，只需從兩個(gè)方面進(jìn)行分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)能量系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量廣義力。因此，用Lagrange建模可以大大簡(jiǎn)化系統(tǒng)的建模過(guò)程。采用拉格朗日的方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。Lagrange算子可以描述如下： 其中：T ：系統(tǒng)的動(dòng)能V ：系統(tǒng)的勢(shì)能q ：系統(tǒng)的廣義坐

4、標(biāo)則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可用Lagrange算子描述如下： Lagrange方程可以簡(jiǎn)單的理解為系統(tǒng)的能量的變化隨著系統(tǒng)外加作用力的變化而變化。1.1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)1.1.1 拉格朗日方法建立一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以將一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和質(zhì)量均勻的擺桿組成，小車(chē)以向左方向運(yùn)動(dòng)為正，擺桿角度以自然下垂位置為零點(diǎn)，逆時(shí)針為正，如圖2.1所示。圖2.1 一級(jí)倒立擺示意圖各參數(shù)的物理意義及取值如表2.1：表 2.1 倒立擺物理參數(shù)符號(hào)意義及取值符號(hào)物理意義取值及單位M小車(chē)質(zhì)量1.096 kgm擺桿質(zhì)量0.109 kgc0小車(chē)摩擦系數(shù)0.1 Nm-1sec-1c1擺桿摩擦系數(shù)0.0022 Nm-

5、1sec-1l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25 mJ擺桿慣量0.0034 kgm2u控制力Nx小車(chē)位移m小車(chē)速度m sec-1擺桿角度rad擺桿角速度rad sec-1首先計(jì)算小車(chē)的動(dòng)能()、擺桿的動(dòng)能()和系統(tǒng)的總動(dòng)能(T)： 不妨假定導(dǎo)軌所在的水平面勢(shì)能為零，在一級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車(chē)的勢(shì)能始終為零，系統(tǒng)的總勢(shì)能為： 小車(chē)與導(dǎo)軌之間的摩擦力和擺桿與小車(chē)之間的摩擦力，使得系統(tǒng)能量的損失分別為： 則系統(tǒng)總共損失的能量為： 取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系為：，則拉格朗日算子為： 則系統(tǒng)的拉格朗日方程可以表示為： 借助Mathemetica軟件，由以上方程組可以得到一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，具體的推導(dǎo)過(guò)

6、程可以參看附錄一。 1.1.2 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在倒立點(diǎn)附近線性化處理現(xiàn)行的許多一級(jí)倒立擺穩(wěn)擺控制39需要將倒立擺在倒立點(diǎn)附近做近似線性化處理。首先由式(2.9)可得： 在倒立點(diǎn)附近，擺桿角度接近為零，角速度也較小，可以認(rèn)為： 將式(2.11)代入式(2.10)，可得 令 ： 將2.12寫(xiě)成矩陣形式，可以得到一級(jí)倒立擺在倒立點(diǎn)附近線性化模型的狀態(tài)空間方程，如下： 其中： 1.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng) 1.2.1 拉格朗日方法建立二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將二級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和質(zhì)量均勻的內(nèi)、外擺桿組成，小車(chē)以向左方向運(yùn)動(dòng)為正，擺桿角度以自然下垂位置為零點(diǎn)，逆時(shí)針為正，如圖2.2所示。各參數(shù)的物理意義

7、及取值如表2.2所示。圖2.2 二級(jí)倒立擺示意圖表 2.2 倒立擺物理參數(shù)符號(hào)意義及取值符號(hào)物理意義取值及單位M小車(chē)質(zhì)量1.32 kgm1內(nèi)桿質(zhì)量0.04 kgm2外桿質(zhì)量0.132 kgm3質(zhì)量塊質(zhì)量0.208 kgc0小車(chē)摩擦系數(shù)0.1 N/m/secc1內(nèi)桿-小車(chē)摩擦系數(shù)0 N/m/secc2內(nèi)-外桿摩擦系數(shù)0 N/m/secl1內(nèi)桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度0.09 mL1內(nèi)桿長(zhǎng)度0.18 ml2外桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度0.27 mJ1內(nèi)桿慣量0. kg*m2J2外桿慣量0.0034 kg*m2u控制力Nx小車(chē)位移m小車(chē)速度m/sec內(nèi)桿角度rad內(nèi)桿角速度rad/sec外桿角度rad外桿角

8、速度rad/sec首先計(jì)算小車(chē)的動(dòng)能()和內(nèi)、外擺桿的動(dòng)能(、)以及質(zhì)量塊的動(dòng)能 則總動(dòng)能為： 不妨假定導(dǎo)軌所在的水平面勢(shì)能為零，在二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小車(chē)的勢(shì)能始終為零，可以計(jì)算內(nèi)外桿、質(zhì)量塊勢(shì)能分別為： 則總勢(shì)能為： 小車(chē)-導(dǎo)軌、內(nèi)桿-小車(chē)、外桿-內(nèi)桿之間的摩擦力，使得系統(tǒng)能量的損失分別為： 故系統(tǒng)總共損失的能量為： 取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)系為：，則則拉格朗日算子為：系統(tǒng)的拉格朗日方程可以表示為： 借助mathemetica軟件，由以上方程組可以得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，具體的推導(dǎo)過(guò)程可以參看附錄二。 其中：1.2.2 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在倒立點(diǎn)附近線性化處理實(shí)現(xiàn)二級(jí)倒立擺穩(wěn)擺控制的LQR

9、40方法，需要對(duì)系統(tǒng)模型做線性化處理，在倒立點(diǎn)附近近似為線性時(shí)不變系統(tǒng)。在本文所規(guī)定的符號(hào)與方向的情況下，線性化結(jié)果如下：在倒立點(diǎn)附近存在： 將式(2.23)代入式(2.22)，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以近似為： 其中： 可以發(fā)現(xiàn)式(2.24)是二級(jí)倒立擺在倒立點(diǎn)附近線性化處理后的系統(tǒng)方程，若令： 則可以得到二級(jí)倒立擺在倒立點(diǎn)附近線性化模型的狀態(tài)空間方程： 1.3 倒立擺微分方程數(shù)值解法對(duì)倒立擺系統(tǒng)的仿真分析，實(shí)質(zhì)上是對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求數(shù)值解的過(guò)程。對(duì)于這樣的常微分方程數(shù)值解法按照求解步數(shù)可以分為單步法和多步法，單步法的代表是Runge-Kutta法，多步法的代表是Adms法；按照求解步長(zhǎng)可以

10、分為固定步和變步長(zhǎng)的求解方式；按照求解精度可以將求解方法歸為2階、3階、4階等。下面不加推導(dǎo)的給出4階經(jīng)典Runge-Kutta法的計(jì)算格式和Adms可變步長(zhǎng)的4階預(yù)測(cè)校正法的計(jì)算流程。已知微分方程初值條件，若x在區(qū)間 a，b 取(N+1)個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，求對(duì)應(yīng)的y的近似值。 對(duì)于這樣一個(gè)常微分方程的數(shù)值解問(wèn)題，取步長(zhǎng)h=(b-a)/N，4階經(jīng)典Runge-Kutta法求解格式如下41： Adams變步長(zhǎng)的4階預(yù)測(cè)校正算法的思路是：先用給定的初始步長(zhǎng)，采用4階Runge-Kutta法求出最初的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，接著依據(jù)采用Adams-Bashforth 4步顯式方法(式3.10)預(yù)測(cè)下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，用Ad

11、ams-Bashforth 3步隱式方法(式3.11)校正下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。采用兩種不同的方式計(jì)算的同一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值，兩個(gè)計(jì)算結(jié)果之差若在合理的范圍內(nèi)，則認(rèn)為計(jì)算精度滿足要求，無(wú)需改變步長(zhǎng)；若過(guò)大則認(rèn)為計(jì)算精度不夠，需減小步長(zhǎng)以提高計(jì)算的準(zhǔn)確性；若過(guò)小則認(rèn)為計(jì)算精度超標(biāo)，需增大步長(zhǎng)以提高計(jì)算效率。若步長(zhǎng)合適則保存結(jié)果，并采取當(dāng)前步長(zhǎng)繼續(xù)預(yù)測(cè)、校正下一個(gè)節(jié)點(diǎn)。否則，改變步長(zhǎng)重新采用Runge-Kutta法計(jì)算前面三個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后對(duì)新步長(zhǎng)做評(píng)價(jià)，不斷的重復(fù)這一過(guò)程直到找到合適的步長(zhǎng)為止。在計(jì)算快要結(jié)束時(shí)應(yīng)當(dāng)注意選取合適的步長(zhǎng)以包含最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)。Adams-Bashforth 4步顯式方法： Adams-

12、Bashforth 3步隱式方法： 通常高階方法可能擁有更好的計(jì)算精度41，比如二、三、四階方法對(duì)應(yīng)的局部截?cái)嗾`差是分別是O(h2)、O(h3)、O(h4)。但并不是說(shuō)高階的方法擁有更好的效果。這是由于插值多項(xiàng)式并不是次數(shù)越高逼近精度越好。另外，高階的方法將花費(fèi)更多的求解次數(shù)42，如表2.3。因此，常微分方程的數(shù)值解通常采用小于5階的求解方法。表2.3 求解次數(shù)與截?cái)嗾`差每步求解次數(shù)2345n78n910n最佳可能的截?cái)嗾`差O(h2)O(h3)O(h4)O(hn-1)O(hn-2)O(hn-3)在MATLAB當(dāng)中能方便的實(shí)現(xiàn)微分方程的數(shù)值解，常用的求解器及說(shuō)明如表2.4：表2.4 解常微分方程

13、初值問(wèn)題MATLAB的求解器求解器含義ode232、3階Runge-Kutta法ode454、5階Runge-Kutta法ode113多步Adams法ode23t適度剛性問(wèn)題梯形法ode15s剛性微分方程組多步法ode23s剛性微分方程組2階Rosenbrock法ode23tb剛性微分方程組低精度算法odesetode命令選項(xiàng)設(shè)置對(duì)常微分方程初值問(wèn)題，MATLAB的求解指令具有相同的格式，以最常用的ODE45為例說(shuō)明如下：常用格式 t，y = ode45(odefun，tspan，y0)完整格式 t，y = ode45(odefun，tspan，y0，options，p1，p2，)詳細(xì)的參數(shù)說(shuō)明如表2.5：表2.5 ODE求解指令參數(shù)說(shuō)明參數(shù)含義odefunf(t，y)的函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù)tspan自變量的初值和終值y0初值向量t標(biāo)量，返回節(jié)點(diǎn)列向量y標(biāo)量或向量，返回?cái)?shù)值解矩陣options設(shè)置的計(jì)算參數(shù)，默認(rèn)可用空矩陣表示p1，p2，為附加傳遞參數(shù)，這時(shí)odefun 必須表示為f(t，y，p1，p2，)可以在MATLAB當(dāng)中可以編寫(xiě)m文件求解一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的微分方程組。求解器選取ODE45的詳細(xì)程序清單見(jiàn)附錄三。1.4 本