2020屆北京市通州區(qū)高三第一學期期末考試數(shù)學試題(解析版)

1、第1頁共 18 頁2020 屆北京市通州區(qū)高三第一學期期末考試數(shù)學試題、單選題1.已知 集合A x2x1,B x1 x3，則AUB()A .x2x 3B.x1 x 1C.x1 x3D.x2 x1【答案】A【解析】根據(jù)并集運算法則求解即可【詳解】由題：集合A x2x1,B x1x3,則AU B x 2 x 3.故選：A【點睛】此題考查根據(jù)描述法表示的集合，并求兩個集合的并集1i2 .在復平面內，復數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）對應的點位于（）iA .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】化簡復數(shù)，得出其在復平面內的點，即可判定位置【詳解】由題：復數(shù)1i i丄1 i,i i1在

2、復平面內對應的點為1,1,位于第一象限故選：A【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)對應復平面內的點的辨析，關鍵在于準確計算，熟練掌握幾何意義23.已知點 A（2,a）為拋物線y 4x圖象上一點，點 F 為拋物線的焦點，則AF等于（）A . 4B. 3C.2 2D . 2第2頁共 18 頁【答案】B【解析】寫出焦點坐標，根據(jù)拋物線上的點到焦點距離公式即可求解【詳解】由題：點 A（2,a）為拋物線y 4x圖象上一點，點 F 為拋物線的焦點，所以F 1,0，根據(jù)焦半徑公式得：AF x0- 2 1 3.2故選：B【點睛】此題考查求拋物線上的點到焦點的距離，結合幾何意義根據(jù)焦半徑公式求解即可4 若x y

3、 0,則下列各式中一定正確的是（）111x1yD .In x In yA .B. tan xtan yC ()(-)xy22【答案】D【解析】若xc11y 0 ,-x y(1)x(1)y所以 AC 錯；x3,y ,tan x tan y44所以 B 錯；若x y 0,In X In y,所以D正確.【詳解】由題：若x y 0，根據(jù)反比例函數(shù)性質 一一，所以 A 錯誤;x y3若x y 0，取 x A 7，tanx tany，所以B錯;若x y 0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質若x y 0，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質故選：D【點睛】此題考查不等式的基本性質，結合不等關系和函數(shù)單調性進行判斷，也可考慮特值法推 翻命題.

4、1 1(-)x(1)y所以 C 錯；In x In y,所以D正確.第3頁共 18 頁5 .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的長度為（）第4頁共 18 頁A .2. 7B.4三C.2,11D.4 3【答案】C【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，即可求解 【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示：其中AB AC,PC平面ABC,由圖可得：CP AC 4,AB 23，所以BC 2.7, AP 4邁2 .7，BPPC2BC244 211 4 2，所以最長的棱長2.11故選：CtEtta側視圖第5頁共 18 頁【點睛】此題考查根據(jù)三視圖還原幾何體，計算幾何體中的棱長，關鍵在于正確認識三視圖，準第6頁共

5、 18 頁確還原6甲？乙?丙?丁四名同學和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，甲同學不與老師相鄰，乙同學與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為()A 24B. 12C 8D 6【答案】C【解析】 根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結合左右對稱原則求解【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2 種排法；第二步：排甲，此時甲有兩個位置可以站，2 種排法；第三步：排剩下兩位同學，2 種排法，所以共 8 種.故選：C【點睛】 此題考查計數(shù)原理，關鍵在于弄清計數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計數(shù)原理解決實際問題A 充分不必要條件B.必要不充分條件C 充要條件 必要條件【答案】B【詳解】當rb2a

6、 0時，滿足r ar a，不能推出小r r rrr r若0，則a b a，所以aa b5所以“a a b”是“b0”的必要不充分條件故選：B【點睛】此題考查充分條件與必要條件的關系判斷，關鍵在于弄清向量間的關系，正確辨析即可2x 18.關于函數(shù)f(x) x ax 1 e有以下三個判斷函數(shù)恒有兩個零點且兩個零點之積為-1 ；r rrr rr7.對于向量a,b，aa b”是b0”的(D .既不充分也不【解析】根據(jù)向量的運算法a a b”不能推出b0”0”能夠推出函數(shù)恒有兩個極值點且兩個極值點之積為-1；答案】 7第 5 頁共 18 頁討論導函數(shù)的零點問題即可得極值關系【詳解】=a240，所以關于x

7、的方程x2ax 1 0零點之積為 -1，即 正確；2x1 x12x a 2 x a 1 e，ex 10，對于x根，且導函數(shù)在這兩個實根附近左右異號，兩根之積為兩個極值點之積為a 1，所以 錯誤；若x2是函數(shù)的一個極值點 ,f242a4 a 1 0，則a1，fx2xx1x 1 e，fx2xx 2 ex 1x2x1x1ex 1，x,2U 1, f x0，x2,1,fx 0，故選：C【點睛】此題考查函數(shù)零點問題，利用導函數(shù)導論單調性和極值問題，綜合性比較強若x2是函數(shù)的一個極值點,則函數(shù)極小值為 -1.其中正確判斷的個數(shù)有 ( )A . 0 個B. 1 個【答案】 CC2個解析】 函數(shù)的零點個數(shù)即x

8、2ax 10的根的個數(shù)，利用判別式求解；對函數(shù)求導定有兩個實根，且兩根之積為-1，所以f (x)(x2ax 1)ex 1恒有兩個零點且兩個因為ex 10，方程x2ax 1 0，2a 224 a 1a28 0，所以x2a 2 x a 1 0恒有兩個不等實a 1，函數(shù)恒有兩個極值點且所以函數(shù)的增區(qū)間為2 , 1,，減區(qū)間為2,1，所以函數(shù)的極小值為11函數(shù)恒有兩個極值點且兩個極值點之積為-1；答案】 8第 5 頁共 18 頁二、填空題9已知向量am則|/ba/(.a,若m1rb23求解.第 6 頁共 i8 頁【解析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為 0 列方程求解即可【詳解】、2由題：a (a b)，所以a

9、 (a b) 0，a ab 0所以9 43 2m 0，解得：m 5.故答案為：5【點睛】此題考查向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)兩個向量垂直，數(shù)量積為0 建立方程計算求解10._ 在公差不為零的等差數(shù)列 an中,ai=2,且 ai,a3,a7依次成等比數(shù)列，那么數(shù)列an的前 n 項和Sn等于.【答案】門23n22【解析】根據(jù) ai,a3,a7依次成等比數(shù)列，求出公差，即可求解.【詳解】在公差不為零的等差數(shù)列an中,ai=2,設公差為d,d 02且 ai,a3,a7依次成等比數(shù)列，即2 2d 2 2 6d,d2d 0,d 0,所以d i,n n ii3所以數(shù)列an的前 n 項和Sn2nin2n.222

10、13故答案為：n2n22【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算，根據(jù)等比中項的關系列出方程解出公差，根據(jù)公式進行數(shù)列求和.11.已知中心在原點的雙曲線的右焦點坐標為 (、2, 0)，且兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的標準方程為_ .求解.第 6 頁共 i8 頁【答案】x2y2iK【解析】根據(jù)兩條漸近線互相垂直得出漸近線方程，即求出-的值，結合焦點坐標即可a第11頁共 18 頁【詳解】兩條漸近線互相垂直，即1，得a b,a a又因為右焦點坐標為（、,2,0）,所以a2b22，解得a b 1,所以雙曲線的標準方程為：x2y21.故答案為：x2y21【點睛】此題考查根據(jù)漸近線的關系結合焦點坐標求雙曲線

11、的基本量,程，考查通式通法和基本計算 12在ABC中，a 3,b 2J6,B 2 A則cosB _.1【答案】丄3【解析】根據(jù)正弦定理建立等量關系求解即可【詳解】在ABC中，由正弦定理得：-SinB,a sin A2.6 sin 2A3sin A2 .6 2sin A cos A2cos A3sin A6所以cos A32 1 cosB cos2A 2cos A 1 21.931故答案為：丄3【點睛】此題考查正弦定理的應用，結合三角恒等變換二倍角公式，求三角函數(shù)值，關鍵在于準確掌握基本計算方法正確求解由題雙曲線焦點在2x軸，設雙曲線方程篤ab21, a 0,b0,進而得第12頁共 18 頁13

12、.已知a,b,a m均為大于 0 的實數(shù)，給出下列五個論斷:a b,a b,m 0,m 0,-m b以其中的兩個論斷為條件，余下的a m a論斷中選擇一個為結論，請你寫出一個正確的命題 _ .【答案】 推出（答案不唯一還可以 推出等）【解析】選擇兩個條件根據(jù)不等式性質推出第三個條件即可，答案不唯一【詳解】已知a, b,a m均為大于 0 的實數(shù)，選擇推出a b，m 0,公路 I,花園中間有一條公路 AB（AB 是圓 0 的直徑），規(guī)劃在公路 I 上選兩個點 P,Q,并修建 兩段直線型道路 PB,QA.規(guī)劃要求：道路 PB,QA 不穿過花園已知OC I,BD I（C?D 為垂足），測得 OC=0

13、.9,BD=1.2（單位:千米）.已知修建道路費用為 m 元/千米.在規(guī)劃要求下 修建道路總費用的最小值為 _ 元【答案】2.1m【解析】 根據(jù)幾何關系考慮道路不穿過花園，求解最小距離，即可得到最小費用【詳解】“ b m b ab am ab bm則a m a a a m所以丄b.a m a故答案為：推出【點睛】此題考查根據(jù)不等式的性質比較大小， 于開放性試題，對思維能力要求比較高 14 .如圖，某城市中心花園的邊界是圓心為ambm在已知條件中選擇兩個條件推出第三個條件，屬0,直徑為 1 千米的圓，花園一側有一條直線型卩D C I.1IJ Iw第13頁共 18 頁如圖：過點B作直線BP AB交

14、I于P，取BD與圓的交點M,連接MA,MB，貝y MA MB, 過點A作直線AQ AB交|于Q,過點A作直線AC I交I于C，修建道路總費用的最小值為2.1m元.故答案為：2.1m【點睛】此題考查與圓相關的幾何性質，根據(jù)幾何性質解決實際問題, 題抽象成純幾何問題求解三、解答題15 .已知函數(shù)f(x) 2cos(x )sin x.3(1)求 f(x)的最小正周期；n求 f(x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值.所以cosPBD cos BAMcos QAC5所以BP1.5,BDAC2OC，所以AC0.6,最小距離為2.1 千米.根據(jù)圖象關系可得，直線上，點P左側的點與B連成線段不經(jīng)過圓內部,點Q右側

15、的點與A連成的線段不經(jīng)過圓的內部,最短距離之和即PB AC，根據(jù)幾何關系:PBD BAMQAC，sin BAM需要注意合理地將實際問第14頁共 18 頁/3【答案】(1); (2)最小值 0；最大值12【解析】(1)對函數(shù)進行三角恒等變換得fxsin(2x )3，即可得最小正周32期；2n(2)整體考慮2x ,的取值范圍，求出最大值和最小值33 3【詳解】第15頁共 18 頁解:f (x) 2cos(x )sin x 2(1 cosx fsinx)sinx13si n2x(1 cos2x) sin (2x)223(1) f(x)的最小正周期 T =2-=；-，即x 0時,f(x)取得最小值f(

16、0)33，即x時,f(x)取得最大值f212 12所以 f(x)在區(qū)間0,n上的最小值 0；最大值上31.22【點睛】此題考查利用三角恒等變換對函數(shù)進行化簡，求最小正周期和閉區(qū)間上的值域，關鍵在于利用公式準確化簡，正確求值.16 為了解某地區(qū)初中學生的體質健康情況，統(tǒng)計了該地區(qū) 8 所學校學生的體質健康數(shù)據(jù)，按總分評定等級為優(yōu)秀，良好，及格，不及格.良好及其以上的比例之和超過 40%的學校為先進校各等級學生人數(shù)占該校學生總人數(shù)的比例如下表：比例學校等級學校 A學校 B學校 C學校 D學校 E學校 F學校 G學校 H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%3

17、7%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%因為x0,2，所以2x-亍爭所以當2x當2x -3J2第16頁共 18 頁(1)從 8 所學校中隨機選出一所學校，求該校為先進校的概率;第17頁共 18 頁(2)從 8 所學校中隨機選出兩所學校，記這兩所學校中不及格比例低于30%的學校個數(shù)為X,求 X 的分布列；設 8 所學校優(yōu)秀比例的方差為Si2，良好及其以下比例之和的方差為S22，比較 Si2與 S22的大小(只寫出結果)1【答案】(1)-; (2)見解析；(3)Si2=S222【解析】(1)統(tǒng)計出健康測試成績達到良好及其以

18、上的學校個數(shù)，即可得到先進校的概率；(2)根據(jù)表格可得：學生不及格率低于30%的學校有學校 B?F?H 三所，所以 X 的取值 為 0,1,2，分別計算出概率即可得到分布列；(3)考慮優(yōu)秀的比例為隨機變量 Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y,根據(jù)方差關系 可得兩個方差相等【詳解】解:(1)8 所學校中有 ABEF 四所學校學生的體質健康測試成績達到良好及其以上的比例 超過 40% ,1所以從 8 所學校中隨機取出一所學校，該校為先進校的概率為 一；2(2)8 所學校中，學生不及格率低于30%的學校有學校 B?F?H 三所，所以 X 的取值為 0,1,2.所以隨機變量 X 的分布列為:X01

19、2P5141528328P(X 0)P(X 1)P(X 2)C52514c；c315C|28c；3c；28第18頁共 18 頁設優(yōu)秀的比例為隨機變量Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y，所以：Si2=s2【點睛】此題考查簡單的幾何概率模型求概率，求分布列，以及方差關系的辨析，關鍵在于熟練 掌握分布列的求法和方差關系 17 .如圖，在四棱錐 S-ABCD 中，底面 ABCD 為直角梯形，AD/BC,/ SAD=/ DAB =90,SA=3,SB=5,AB 4,BC 2,AD 1.(1) 求證:AB 平面 SAD ;(2) 求平面 SCD 與平面 SAB 所成的銳二面角的余弦值；點 E,F 分別

20、為線段 BC,SB 上的一點，若平面 AEF /平面 SCD,求三棱錐 B-AEF 的體積.12【答案】見解析；;(3)113【解析】(1)通過證明AB SA,AB AD得線面垂直；(2) 結合第一問結論，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，即可得二面角的余弦值；(3)根據(jù)面面平行關系得出點F 的位置，即可得到體積.【詳解】(1)證明:在VSAB中，因為SA 3,AB 4,SB 5,所以ABSA.又因為/ DAB=9 10所以ABAD,因為SAI ADA所以AB平面 SAD.解:因為SAAD,AB SA,AB AD,建立如圖直角坐標系:第19頁共 18 頁第20頁共 18 頁則 A(0,

21、0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).uur平面 SAB 的法向量為AD (1,0,0).3z 0r1 1所以平面 SDC 的法向量為m (1,丄,丄)4 3因為平面 AEF/平面 SCD,AEFI平面 ABCD=AE，平面 SCDI平面 ABCD=CD ,AEFI平面 SBC=EF，平面 SCDI平面 SBC=SC,由AE P CD,AD/BC得四邊形 AEDC 為平行四邊形 所以 E 為 BC 中點.又FEIISC,所以 F 為 SB 中點.3所以 F 到平面 ABE 的距離為一,2又ABE的面積為 2,所以VBAEFVF ABE1【點睛】此題考

22、查立體幾何中的線面垂直的證明和求二面角的大小,的位置求錐體體積.1 (a b 0)的長軸長為 4,離心率為 丄2,點 P 在橢圓 C 上.ruuvmCD0ruuvm SD04y 0所以有設平面SDC 的法向量為m (x, y, z)所以cosr, -utuml SD1213平面所以AEPCD,平面所以FE II SC根據(jù)面面平行的性質確定點2 218 已知橢圓 C:務占a bruurrmgSD第21頁共 18 頁2(1)求橢圓 C 的標準方程;第22頁共 18 頁已知點 M (4,0),點 N(0,n),若以 PM 為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN 的中點,求 n 的取值范2 2【答案】勻與1；n

23、2?！窘馕觥?1)根據(jù)長軸長和離心率求出標準方程;(2)取 PN 的中點為 Q,以 PM 為直徑的圓恰好經(jīng)過線段 PN 的中點，所以根據(jù)垂直關系建立等量關系，結合點P 的坐標取值范圍，即可得解【詳解】解：(1)由橢圓的長軸長 2a=4,得 a=2又離心率c .2 e,所以c2a 2所以b22 2a c 22 2所以橢圓 C 的方程為：0 L 1422 2法一:設點P(Xo，yo),則型也142所以 PN 的中點Q(生，兇n)2 2因為以 PM 為直徑的圓恰好經(jīng)過線段 PN 的中點UJUV UUV所以 MQ 丄 NP,則MQ NP即(Xo4)xo(專)(yon) o,2又因為Xo-2yo21，所

24、以 d28x02 n 0,422所以22Xon28xo2,Xo2,2,2函數(shù)f (Xo)X028xo2,Xo2,2的值域為12,20所以0 n220所以2一5 n 2一5.2 2法二:設點P(x),y。),則乞旦1.MQ 丄NP,uuuvMQ(Xo(24,yo2-),NP(Xo，yon)，第23頁共 18 頁42設 PN 的中點為 Q因為以 PM 為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN 的中點所以 MQ 是線段 PN 的垂直平分線，所以MP MN即.(xo4)2yo2一16一n22所以n2生8x02，22函數(shù)f(x0)江8x02 ,x0 2,2的值域為12 ,202所以0 n220，所以2、一5 n 2、

25、一5.【點睛】此題考查求橢圓的標準方程，根據(jù)垂直關系建立等量關系，結合橢圓上的點的坐標特征求出取值范圍.19 .已知函數(shù)f (x) xsinx cosx.(1)求曲線y f(x)在點(0,f(0)處的切線方程；12求函數(shù)g(x) f (x) x零點的個數(shù).4【答案】(1)y 1； (2)零點的個數(shù)為 2.【解析】(1)求出導函數(shù)，得出f (0)0,f(0)1即可得到切線方程；1(2)根據(jù)g(x) f(x)x2為偶函數(shù)，只需討論在x (0,)的零點個數(shù)，結合導函4數(shù)分析單調性即可討論.【詳解】解:(1)因為 f (x) xcosx ,所以f (0)0,又因為f (0)1,所以曲線y f (x)在

26、點(0,f (0)處的切線方程為y 1；第24頁共 18 頁12因為g(x) f(x)為偶函數(shù)，g(0)14所以要求g(x)在x R上零點個數(shù),只需求g(x)在x (0,)上零點個數(shù)即可11g (x) xcosx x x(cosx ), x 0225令g (x)0,得x 2k -,x 2k一 ,k N33所以g(x)在(0,3)單調遞增，在(,5)單調遞減，在(-,7-)單調遞增亠5在(2k,2k)單調遞減，在(2k,2k-)單調遞增 k N3333列表得：x0(0弓3(3, 3)53(53，牛)337371133113g(x)0+0-0+0-0g(x)1/極大值極小值/極大值極小值處取得極小值，g(匚)3120；36 23655.31252g()036236當kN*且k3 1時12函數(shù)g(x) f(x)4x(x R)零點的個數(shù)為2.【點睛】 此題考查求函數(shù)在某點處的切線方程，求函數(shù)零點的個數(shù)，根據(jù)奇偶性分類討論，結合由上表可以看出g(x)在x 2k(k3N)處取得極大值，在x 2kN)1 121g(2k3)(2