2015屆高考數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)知識點同步學(xué)案：第一章 集合與常用邏輯用語 第3講 命題及其關(guān)系、充要條件

1、第 3 講命題及其關(guān)系、充要條件1命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題若原命題為“若 p，則 q”，則其逆命題是若 q，則 p；否命題是若綈 p，則綈 q；逆否命題是若綈 q，則綈 p(2)四種命題間的關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)“若 p，則 q”為真命題，記作：pq，則 p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件(2)如果既有 pq，又有 qp，記作：pq

2、，則 p 是 q 的充要條件，q 也是 p 的充要條件做一做1設(shè) a，b 是向量，命題“若 ab，則有|a|b|”的逆命題是()A若 ab，則|a|b|B若 ab，則|a|b|C若|a|b|，則 abD若|a|b|，則 ab答案：D2命題“若4，則 tan1”的逆否命題是()A若4，則 tan1B若4，則 tan1C若 tan1，則4D若 tan1，則4答案：C3(2014高考浙江卷)設(shè)四邊形 ABCD 的兩條對角線為 AC，BD，則“四邊形 ABCD 為菱形”是“ACBD”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析： 選 A.當四邊形 ABCD 為菱形時，

3、 必有對角線互相垂直， 即 ACBD.當四邊形 ABCD中 ACBD 時，四邊形 ABCD 不一定是菱形，還需要 AC 與 BD 互相平分綜上知， “四邊形 ABCD 為菱形”是“ACBD”的充分不必要條件1辨明兩個易誤點(1)易混否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論(2)注意區(qū)別 A 是 B 的充分不必要條件(AB 且 BA)； 與 A 的充分不必要條件是 B(BA 且 AB)兩者的不同2充要條件常用的三種判斷方法(1)定義法：直接判斷若 p 則 q、若 q 則 p 的真假(2)等價法：利用 AB 與綈 B綈 A，BA 與綈 A綈 B，AB 與綈

4、 B綈 A 的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若 AB，則 A 是 B 的充分條件或 B 是 A 的必要條件；若 AB，則 A 是 B 的充要條件做一做4 “在ABC 中，若C90，則A、B 都是銳角”的否命題為：“_”解析：原命題的條件：在ABC 中，C90，結(jié)論：A、B 都是銳角否命題是否定條件和結(jié)論即“在ABC 中，若C90，則A、B 不都是銳角”答案：在ABC 中，若C90，則A、B 不都是銳角5 “1x2”是“x0，則函數(shù) f(x)logax(a0，a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；命題“若 a0，則 ab0”的否命題是“若

5、a0，則 ab0”；命題“若 x，y 都是偶數(shù)，則 xy 也是偶數(shù)”的逆命題為真命題解析：對于，若 log2a0log21，則 a1，所以函數(shù) f(x)logax 在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故不正確；對于，依據(jù)一個命題的否命題的定義可知，該說法正確；對于，原命題的逆命題是“若 xy 是偶數(shù)，則 x、y 都是偶數(shù)”，是假命題，如 134 是偶數(shù)，但 3和 1 均為奇數(shù)，故不正確綜上可知正確的說法有.答案：考點二_充分條件、必要條件的判斷(高頻考點)_充分條件、必要條件以其獨特的表達形式成為高考命題的亮點常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，作為一個重要載體，考查的數(shù)學(xué)知識面很廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識的各個方面高

6、考對充要條件的考查主要有以下三個命題角度：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件；(3)與命題的真假性相交匯命題(1)(2014高考廣東卷)在ABC 中，角 A，B，C 所對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，則“ab”是“sin Asin B”的 ()A充分必要條件B充分非必要條件C必要非充分條件D非充分非必要條件(2)(2015鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)函數(shù) f(x)x|xa|b 是奇函數(shù)的充要條件是()Aab0Bab0Ca2b20Dab(3)給出下列命題：“數(shù)列an為等比數(shù)列”是“數(shù)列anan1為等比數(shù)列”的充分不必要條件；“a2”是“函數(shù)

7、f(x)|xa|在區(qū)間2，)上為增函數(shù)”的充要條件； “m3”是“直線(m3)xmy20 與直線 mx6y50 互相垂直”的充要條件；設(shè) a， b， c 分別是ABC 三個內(nèi)角 A， B， C 所對的邊， 若 a1， b 3， 則“A30”是“B60”的必要不充分條件其中真命題的序號是_.充要條件解析(1)由正弦定理， 知 ab2Rsin A2Rsin B(R 為ABC 外接圓的半徑)sinAsinB故選 A.(2)f(x)為奇函數(shù)且 xR，故 f(0)0b0.又 f(x)f(x)，即x|xa|x|xa|，得|xa|xa|，|xa|xa|恒成立，需 a0.綜上可知，ab0，即 a2b20，故選

8、 C.(3)對于，當數(shù)列an為等比數(shù)列時，易知數(shù)列anan1是等比數(shù)列，但當數(shù)列anan1為等比數(shù)列時，數(shù)列an未必是等比數(shù)列，如數(shù)列 1，3，2，6，4，12，8顯然不是等比數(shù)列，而相應(yīng)的數(shù)列 3，6，12，24，48，96是等比數(shù)列，因此正確；對于，當 a2 時，函數(shù) f(x)|xa|在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，因此不正確；對于，當 m3 時，相應(yīng)的兩條直線互相垂直，反之，這兩條直線垂直時，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正確；對于，由題意得basin Bsin A 3，若 B60，則 sin A12，注意到 ba，故 A30，反之，當 A30時，有 sin B32，由于 ba，所以 B6

9、0或 B120，因此正確綜上所述，真命題的序號是.答案(1)A(2)C(3)規(guī)律方法充要條件問題的解題策略：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系解決此類問題應(yīng)分三步：確定條件是什么，結(jié)論是什么；嘗試從條件推結(jié)論，從結(jié)論推條件；確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系(2)探究某結(jié)論成立的充要、充分、必要條件解答此類題目，可先從結(jié)論出發(fā)，求出使結(jié)論成立的必要條件，然后再驗證得到的必要條件是否滿足充分性(3)充要條件與命題真假性的交匯問題依據(jù)命題所述的充分必要性，判斷是否成立即可2.(1)已知 p：“a，b，c 成等比數(shù)列”，q：“b ac” ，那么 p 是 q 的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既

10、不充分也不必要條件(2)(2015北京東城區(qū)質(zhì)檢)若集合 Ax|x25x40， Bx|xa|4Ca1Da1解析：(1)選 D.若 a，b，c 成等比數(shù)列，則有 b2ac，所以 b ac，所以充分性不成立當 abc0 時，b ac成立，但此時 a，b，c 不成等比數(shù)列，所以必要性不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要條件(2)選 A.由題意知 Ax|1x4，Bx|1ax1a，若 BA，則1a4，1a1，解得 2a3，所以必要性不成立反之，若 2a4 是命題為真的充分不必要條件考點三_充分條件、必要條件的應(yīng)用_已知集合 Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求實數(shù) a 的取值范圍，使它成

11、為 MPx|5x8的充要條件；(2)求實數(shù) a 的一個值，使它成為 MPx|5x8的一個充分但不必要條件解(1)由 MPx|5x8，得3a5，因此 MPx|5x8的充要條件是a|3a5(2)求實數(shù) a 的一個值，使它成為 MPx|5x8的一個充分但不必要條件，就是在集合a|3a5中取一個值，如取 a0，此時必有 MPx|5x8；反之，MPx|5x8未必有 a0，故“a0”是“MPx|55.實數(shù) a 的取值范圍為(5，)規(guī)律方法利用充要條件求參數(shù)的值或范圍，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，準確地將每個條件對應(yīng)的參數(shù)的范圍求出來，然后轉(zhuǎn)化為集合的運算，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗其思維方式是：(1)若 p 是

12、q 的充分不必要條件，則 pq 且 qp；(2)若 p 是 q 的必要不充分條件，則 pq，且 qp；(3)若 p 是 q 的充要條件，則 pq.3.已知 p：12x1， q： (xa)(xa1)0， 若 p 是綈 q 的充分不必要條件，則實數(shù) a 的取值范圍是_解析：綈 q：(xa)(xa1)0axa1.由 p 是綈 q 的充分不必要條件知：a12且 a110a12.答案：0，12,學(xué)生用書 P9)方法思想等價轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用已知 p：2x10，q：x22x1m20(m0)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分條件，求實數(shù) m 的取值范圍解綈 p 是綈 q 的必要而不充分條件，p 是

13、 q 的充分而不必要條件，由 q：x22x1m20(m0)，得 1mx1m，設(shè) q：Qx|1mx1m，p：Px|2x10，p 是 q 的充分而不必要條件，PQ，m0，1m0，1m2，1m10，即 m9 或 m9.m9.名師點評本題將“綈 p 是綈 q 的必要而不充分條件”轉(zhuǎn)化為“p 是 q 的充分而不必要條件”；將 p、q 之間的條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)集合之間的包含關(guān)系，使抽象問題直觀化、復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用1.(2013高考山東卷)給定兩個命題 p、q.若綈 p 是 q 的必要而不充分條件，則 p 是綈 q 的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必

14、要條件解析： 選 A.由 q綈 p 且綈 pq 可得 p綈 q 且綈p， 所以 p 是綈 q 的充分不必要條件2已知命題 p：x22x30；命題 q：xa，且綈 q 的一個充分不必要條件是綈 p，則a 的取值范圍是()A1，)B(，1C1，)D(，3解析：選 A.由 x22x30，得 x1，由綈 q 的一個充分不必要條件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要條件，等價于 q 是 p 的充分不必要條件故 a1.1命題“若 x2y2，則 xy”的逆否命題是()A “若 xy，則 x2y，則 x2y2”C “若 xy，則 x2y2”D “若 xy，則 x2y2”解析：選 C.根據(jù)原命題和逆否命

15、題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若 x2y2，則 xy”的逆否命題是“若 xy，則 x2y2” 2設(shè)集合 AxR|x20，BxR|x0，則“xAB”是“xC”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件解析：選 C.由題意得 ABxR|x2，CxR|x2，故 ABC，則“xAB”是“xC”的充要條件3下列命題中為真命題的是()A命題“若 x1，則 x21”的否命題B命題“若 xy，則 x|y|”的逆命題C命題“若 x1，則 x2x20”的否命題D命題“若 x21，則 x1”的逆否命題解析：選 B.對于選項 A，命題“若 x1，則 x21”的否命題為“若 x1，則 x21”

16、 ，易知當 x2 時，x241，故選項 A 為假命題；對于選項 B，命題“若 xy，則 x|y|”的逆命題為“若 x|y|，則 xy”，分析可知選項 B 應(yīng)為真命題；對于選項 C，命題“若 x1，則 x2x20”的否命題為“若 x1，則 x2x20” ，易知當 x2 時，x2x20，故選項 C 為假命題； 對于選項 D， 命題“若 x21， 則 x1”的逆否命題為“若 x1， 則 x21，故選項 D 為假命題綜上可知，選 B.4命題“若ABC 有一內(nèi)角為3，則ABC 的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A與原命題同為假命題B與原命題的否命題同為假命題C與原命題的逆否命題同為假命題D與原命題同為真命

17、題解析：選 D.原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若ABC 的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則ABC 有一內(nèi)角為3” ，它是真命題5在斜三角形 ABC 中，命題甲：A6，命題乙：cos B12，則甲是乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 A.因為ABC 為斜三角形，所以若 A6，則 B3且 B2，所以 cos B12且 cos B0；反之，若 cos B12，則 B3，不妨取 B6，A4，C712，滿足ABC為斜三角形，所以選 A.6與命題“若 aM，則 bM”等價的命題是_解析：原命題與其逆否命題為等價命題答案：若 bM，則 aM7有下列幾個命題：“若 ab，

18、則 a2b2”的否命題；“若 xy0，則 x，y 互為相反數(shù)”的逆命題；“若 x24，則2x2”的逆否命題其中真命題的序號是_解析：原命題的否命題為“若 ab，則 a2b2” ，錯誤原命題的逆命題為：“若 x，y 互為相反數(shù)，則 xy0”，正確原命題的逆否命題為“若 x2 或 x2，則 x24” ，正確答案：8 已知： xa，： |x1|1.若是的必要不充分條件， 則實數(shù) a 的取值范圍為_解析：xa，可看作集合 Ax|xa，：|x1|1，0 x2，可看作集合 Bx|0 x2又是的必要不充分條件BA，a0.答案：(，09(2015河南開封調(diào)研)已知命題 p：“若 ac0，則一元二次方程 ax2

19、bxc0 沒有實根”(1)寫出命題 p 的否命題；(2)判斷命題 p 的否命題的真假，并證明你的結(jié)論解：(1)命題 p 的否命題為：“若 ac0，則一元二次方程 ax2bxc0 有實根”(2)命題 p 的否命題是真命題證明如下：ac0b24ac0一元二次方程 ax2bxc0 有實根該命題是真命題10指出下列各組命題中，p 是 q 的什么條件？(1)p：ab2，q：直線 xy0 與圓(xa)2(yb)22 相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)設(shè) l，m 均為直線，為平面，其中 l，m，p：l，q：lm.解：(1)若 ab2，則圓心(a，b)到直線 xy0 的距離 d|ab|2 2r，所

20、以直線與圓相切反之，若直線與圓相切，則|ab|2，ab2，故 p 是 q 的充分不必要條件(2)若|x|x，則 x2xx2|x|0 成立反之，若 x2x0，即 x(x1)0，則 x0 或 x1.當 x1 時，|x|xx，因此，p 是 q 的充分不必要條件(3)llm，但 lml，p 是 q 的必要不充分條件.1已知向量 a(sin，cos)，b(cos，sin)，且 a 與 b 的夾角為，則“|ab|1”是“60”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選 C.由條件可知|a|b|1，若|ab|1，則(ab)21，即 a2b22ab1，所以 112cos1，即 cos12，故60.同理，若60，則|ab|1 也成立故“|ab|1”是“60”的充分必要條件2(2015浙江省名校聯(lián)考)一次函數(shù) ymnx1n的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是()Am1，且 n1Bmn0，且 n0Dm0，且 n0，1n0，n0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為 nm30”是“sin A12”的充分不必要條件；“函數(shù) f(x)tan(x)為奇函數(shù)”的充要條件是“k(kZ)”其中真命題的序號是_(把真命題的序號都填上)解析：“若 x2x60，則 x2”的否命題是“若 x2x60，則 x30”是“sin A12”的必要不充分條件