初中與高中數(shù)學(xué)銜接練習之一元二次函數(shù)

1、22 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)yax2bxc的圖像和性質(zhì)問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x3210123x294101492x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了yx2y2x2圖2.2-1xOy再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x

2、2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)2

3、1與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由

4、于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減??；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，函數(shù)取最小值y（2）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減?。划攛時，函數(shù)取最大值y 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可

5、以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數(shù)y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減??；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲

6、目性，使畫圖更簡便、圖象更精確例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y×(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x

7、150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價于把

8、二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體

9、情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論解：（1）當a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數(shù)取最大值ya2；當x0時，函數(shù)取最小值y0xyO2

10、axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題練 習1選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是 （ ） （A）y2x2 （B）y2x24x2（C）y2x21 （D）y2x24x （2）函數(shù)y2(x1)22是將函數(shù)y2x2 （ ） （A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的 （B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的 （C）向下平移2個單位、再向右平移1個單

11、位得到的 （D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2填空題（1）二次函數(shù)y2x2mxn圖象的頂點坐標為(1，2)，則m ，n （2）已知二次函數(shù)yx2+(m2)x2m，當m 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 ；當x 時，函數(shù)取最 值y ；當x 時，y隨著x的增大而減小3求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函數(shù)yx22x3，當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值

12、或最小值，并求當函數(shù)取最大（小）值時所對應(yīng)的自變量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x32.2.2 二次函數(shù)的三種表示方式通過上一小節(jié)的學(xué)習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點式：ya(xh)2k (a0)，其中頂點坐標是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點個數(shù)當拋物線yax2bxc(a0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，

13、不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與方程的解的個數(shù)有關(guān)，而方程的解的個數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點，則0也成立（2）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點，則0也成立（3）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點，則0也

14、成立于是，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2) 由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標今后，在求二次函數(shù)的表達式

15、時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經(jīng)過點（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為2又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點坐標是（1，2）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，

16、再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設(shè)成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya(x3) (x1) (a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達式為y，或

17、y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設(shè)成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標為2，或2于是可設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函數(shù)圖象過點(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函數(shù)為y(x1)22，或y(x1)22說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不

18、同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例3 已知二次函數(shù)的圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達式解：設(shè)該二次函數(shù)為yax2bxc(a0)由函數(shù)圖象過點(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函數(shù)為y2x212x8通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？ 練 習1選擇題:（1）函數(shù)yx2x1圖象與x軸的交點個數(shù)是 （ ） （A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）無法確定 （2）函數(shù)y(x1)22的頂

19、點坐標是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為ya (a0) （2）二次函數(shù)yx2+2x1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為 3根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過點(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）當x3時，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(1，11)；（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1，0)和(1，0)，并與y軸交于(0，2)2.2.3 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換1平移變換問題1 在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特

20、點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可例1 求把二次函數(shù)yx24x3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數(shù)項），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式，然后，再依據(jù)平移變換后的

21、二次函數(shù)圖象的頂點位置求出平移后函數(shù)圖像所對應(yīng)的解析式解：二次函數(shù)y2x24x3的解析式可變?yōu)?y2(x1)21，其頂點坐標為(1，1)（1）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(3，2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為 y2(x3)22（2）把函數(shù)y2(x1)21的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數(shù)圖象的頂點坐標是(1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式就為 y2(x1)222對稱變換問題2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次

22、函數(shù)的圖象平移？xyOx1A(1,1)圖2.27我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置和開口方向來解決問題例2 求把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：（1）直線x1；（2）直線y1 解：（1）如圖227，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀由于y2x24x12(x1)21，可知，函數(shù)y2x24x1圖象的頂點為A(1,1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(3，1)，所以，二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1對稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y2(x3)21，即y2x212x17（2）如圖228，把二次函數(shù)y2x24x1的圖象關(guān)于直線x1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口