06機(jī)械振動基礎(chǔ)

1、機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：6.1 簡諧振動簡諧振動6.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成6.3 阻尼振動和受迫振動簡介阻尼振動和受迫振動簡介zxc6.1.1 簡諧振動簡諧振動 定義定義: : 特點(diǎn)特點(diǎn): (1)等幅振動等幅振動 (2)周期振動周期振動6.1 簡諧振動簡諧振動x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx m)()(Ttxtxl 諧振子諧振子1. 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)機(jī)械振動的力學(xué)機(jī)械振動的力學(xué)特點(diǎn)特點(diǎn)線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力kxFmxOzxc2. 動力學(xué)方程動力學(xué)方程makxF0dd222xtx) cos()(tAtx動力

2、學(xué)方程動力學(xué)方程其中其中 為為 固有固有(圓圓)頻率頻率mk 3. 速度和加速度速度和加速度 ) sin( tAv)2 cos( tA)cos(vvtA)cos(2tAa)cos(aatAzxc6.1.2 諧振動諧振動的振幅、周期、頻率和相位的振幅、周期、頻率和相位 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和頻率和頻率 vv = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + ) 是是 t 時刻的相位時刻的相位 (2) 是是 t =0 時刻的相位時刻的相位 初相初相mxO相位的意義相位的意義:) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAvv 相位確定了振動的狀態(tài)相位確定了振動的狀

3、態(tài). .v 相相位每改變相相位每改變 2 2 振動重復(fù)一次振動重復(fù)一次, ,相位相位 2 2 范圍內(nèi)變化范圍內(nèi)變化, ,狀態(tài)不重復(fù)狀態(tài)不重復(fù). . txOA-A = 2 zxcxtoA1A2- A2x1x2T同相同相v 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12時）（當(dāng)12m1xOm2當(dāng)當(dāng) 212k當(dāng)當(dāng)- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t反相反相兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同, ,稱稱同相。同相。) 12(12k兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反 , , 稱稱反相。反相。zxc6.1.3 振幅和初相位的確定振幅和初相位的確定) cos()(tAt

4、xcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意:如何確定最后的如何確定最后的 .zxc6.1.4 諧振動的能量諧振動的能量( (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) )1. 動能動能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk2 41d1kAtETETttkk2. 勢能勢能221kxEP)(cos2122tkA3. 機(jī)械能機(jī)械能221kAEEEPk（簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒）（簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒）0minkEzxc6.1.5 諧振動旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動旋轉(zhuǎn)矢量表示法 t + oxxtt = 0 Ava)sin(tAv)2c

5、os(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特點(diǎn)特點(diǎn):直觀方便直觀方便.)cos()(tAtxzxc例例 物理擺物理擺如圖所示如圖所示, 設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn)設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn) 動慣量為動慣量為J. 設(shè)設(shè) t = 0 時擺角向右最大為時擺角向右最大為 0.求求振動周期和振動方程振動周期和振動方程.解解JhmMsing0singJhm sin,5 時0gJhm JhmghmJTg2單單擺擺g2lT振動方程振動方程t cos0Cgmhzxc例例如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，在一個周期內(nèi)相繼通過距如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，在一個周期內(nèi)相繼通過距離為離為12cm的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)A和和B，歷時，歷

6、時2s，并且在，并且在A，B兩點(diǎn)處具有兩點(diǎn)處具有相同的速率；再經(jīng)過相同的速率；再經(jīng)過2s后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過后，質(zhì)點(diǎn)又從另一方向通過B點(diǎn)。點(diǎn)。AB解解Ox質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的周期和振幅。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的周期和振幅。求求由題意可知，由題意可知，AB的中點(diǎn)為平衡位置，周期為的中點(diǎn)為平衡位置，周期為T = 4 2 = 8 (s)cm6Axcm6Bx設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則)2cos(tAx設(shè)設(shè) t = 0 時，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，則振動方程可寫為時，質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置，則振動方程可寫為t = 1 時時, 質(zhì)點(diǎn)位于質(zhì)點(diǎn)位于B點(diǎn)點(diǎn), 所以所以 ) 282cos(6 A)282cos(tAcm 2

7、6Azxc6.2 諧振動的合成諧振動的合成6.2.1 同方向同頻率諧振動的合成同方向同頻率諧振動的合成1. 分振動分振動 : 2. 合振動合振動 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxxr 結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 仍是簡諧振動仍是簡諧振動zxcr 討論討論: (1)若兩分振動同相若兩分振動同相,即即 2

8、1= 2k (k=0,1,2,)(2)若兩分振動反相若兩分振動反相,即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)當(dāng)當(dāng) A1=A2 時時, A=0則則 A=A1+A2 , 兩分振動相互加強(qiáng)，兩分振動相互加強(qiáng)，則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱，兩分振動相互減弱，當(dāng)當(dāng) A1=A2 時時 , A=2A1)cos(212212221AAAAAzxcr 旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法處理諧振動的合成11 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA1. 分振動分振動)cos

9、(111tAx)cos(222tAx 2. 合振動合振動zxc6.2.2 同方向不同頻率諧振動的合成同方向不同頻率諧振動的合成 拍拍1. 分振動分振動 :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振動合振動 :21xxx當(dāng)當(dāng) 時時, , 當(dāng)當(dāng) 時，時，合振動振幅的頻率為合振動振幅的頻率為: :21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktA 有最大值有最大值A(chǔ)有最小值有最小值t )(122 )(12T12122vvvr 結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 不再是簡諧振動不再是簡諧振動zxctAtAxxx2121coscos當(dāng)當(dāng) 2

10、 1 時時 , 2 - 1 2 + 1 ，令，令其中其中 )2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt隨隨 t 緩變緩變隨隨 t 快變快變ttAxcos)(r 振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212 2. 合振動合振動 :1. 分振動分振動 :r 結(jié)論：結(jié)論：合振動合振動 x 可看作是振幅緩變的簡諧振動?？煽醋魇钦穹徸兊暮喼C振動。zxcxx2x1ttt3. 拍的現(xiàn)象拍的現(xiàn)象 OOO拍頻拍頻 : 單位時間內(nèi)單位時間內(nèi)合振動振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即合振動振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即 1212)2

11、()(vv/v拍原理的應(yīng)用拍原理的應(yīng)用zxc6.2.3 兩個相互兩個相互垂直諧振動的合成垂直諧振動的合成 利薩如圖利薩如圖1.1.分振動分振動2. 合運(yùn)動合運(yùn)動)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAxr 討論討論 當(dāng)當(dāng) = 2 1= k (k為整數(shù)為整數(shù))時時: 0221222212AyAxAyAx當(dāng)當(dāng) = ( 2k +1 ) /2 (k為整數(shù)為整數(shù))時：時： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxyzxc = 0(第一象限第一象限) = /2 = = = 3 = 3 /2/2(第二象限第二象限)( (第三象限第三象限) )( (

12、第四象限第四象限) )(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx12zxc6.3 阻尼振動和受迫振動簡介阻尼振動和受迫振動簡介6.3.1 阻尼振動阻尼振動1. 阻尼力阻尼力xf 2. 振動的微分方程振動的微分方程 xkxxm 022xxnx 式中，式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)) 3. 幾種阻尼振動模式幾種阻尼振動模式 （1）小阻尼）小阻尼（3）大阻尼）大阻尼fvl0 x（2）臨界阻尼）臨界阻尼zxc（2）臨界阻尼）臨界阻尼( n2 = 2 )（1）小阻尼）小阻尼 ( n2 2 )r 阻尼的應(yīng)用阻尼的應(yīng)用TnT222zxc6.3.2 受迫振動

13、受迫振動1. 受力分析受力分析 彈性力彈性力阻尼力阻尼力 x 周期性干擾力周期性干擾力tFxkxxm sin 0 kx2. 受迫振動的微分方程受迫振動的微分方程tfxxnxsin220 tFFsin0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF pNtFsin0 xl0 xzxc3.3.受迫振動微分方程的受迫振動微分方程的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)解為解為: :) sin(tBx其中，振幅其中，振幅 B 及受迫振動與干擾力之間的相位差及受迫振動與干擾力之間的相位差分別為：分別為：2/12222024)(nfB2202tannr 結(jié)論結(jié)論:振幅振幅 B 及受迫振動與干擾力之間的相位差及受迫振動與干擾力之間的相位差都都與起始條件無關(guān)。與起始條件無關(guān)。r 討論討論:（1）位移共振）位移共振(振幅取極值振幅取極值)（2）速度共振）速度共振(速度振幅取極值速度振幅取極值)zxc（1）位移共振）位移共振(振幅取極值振幅取極值)（振幅